数学教学论期末作1

数学教学论期末作业数学教学过程是一个以教师、学生、教材、教学目的和教学方法为基本要素的多维结构；它是一个教师引导学生掌握数学知识、发展数学能力、形成良好心理品质的认识与发展相统一的过程；是一个有目的，有计划的师生相互作用的双边活动过程。教学过程既是一种特殊的认识过程，又是一个促进学生全面发展的过程，认识与发展相统一的活动过程。数学教学过程是师生双方在数学教学目的指引下，一数学教材为中介，教师根据所学课程内容的背景，历史，发展，组织和指导学生主动了解所学数学知识的历史，掌握数学知识、发展数学能力、形成良好个性心理品质懂得认识与发展的活动过程。 “教学”一词，最简单的理解便是“教”与“学”，也可以理解为“师教生学”或“以教导学”、“以教促学”。归根结底，“教”为了“学”。在新课程下，数学教学过程是实现课程目标的重要途径，它突出对学生创新意识和实践能力的培养，教师是数学教学过程的组织者和引导者。新课程要求教师在设计教学目标、选择课程资源、组织教学活动、运用现代教育技术、以及参与研制开发学校课程等方面，必须围绕实施素质教育这个中心，同时面向全体学生，因材施教，了解历史，创新性地进行教学。案例一 有理数历史背景：值得一提的是有理数的名称。“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是rational number，而rational通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。与之相对，“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。数的概念、数码的写法和十进制的形成都是人类长期实践活动的结果。 随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示自然数是远远不行的。如果分配猎获物时，5个人分4件东西，每个人人该得多少呢？于是分数就产生了。中国对分数的研究比欧洲早1400多年！自然数、分数和零，通称为算术数。自然数也称为正整数。 随着社会的发展，人们又发现很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西。为了表示这样的量，又产生了负数。正整数、负整数和零，统称为整数。如果再加上正分数和负分数，就统称为有理数。有了这些数字表示法，人们计算起来感到方便多了。 整数和分数统称为有理数注意：有理数集可用大写黑正体符号Q代表。但Q绝对不表示有理数。因为有理数集与有理数是两个不同的概念。有理数集是元素为全体有理数的集合，而有理数则为有理数集中的所有元素。有理数2运算法则有理数加法法则1 同号两数相加，把绝对值相加，所得值符号不变。如-1+(-1)=-|1+1|=-2 、 1.1+1.1=2.2。2 异号两数相加，若绝对值不等，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。若绝对值相等即互为相反数的两个数相加得0。如-1+2=+|2-1|=1 、 2+(-3)=-|3-2|=-1 、-3.2+3.2=0。3 一个数同0相加，仍得这个数。如3.14+0=3.14。有理数减法法则减去一个数，等于加这个数的相反数。两变：减法运算变加法运算，减数变成它的相反数做加数。一不变：被减数不变。用符号可表示成：a-b=a+（-b）。有理数乘法法则1 两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘。2 任何数同0相乘，都得0。3 乘积为1的两个有理数互为倒数。4 几个不是0的数相乘，负因数得个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。5 几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。有理数除法法则1 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。2 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。3 0除以任何一个不等于0的数，都得0。注意：0不能做除数。混合运算有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果是同级运算，则按照从左到右的顺序依次计算。在代数运算中不当使用除以零可得出无效证明：2 = 1。 由：01=0，02=0，得出01=02。 两边除以零，得出0/01=0/02。 化简，得：1=2以上谬论一个假设，就是某数除以0是容许的并且0 / 0 = 1。 在矩阵代数或线性代数中，可定义一种虚假的除法，设a/b=ab+，当中b代表b的虚构倒数。这样，若b存在，则b=b；若b等于0，则0 = 0。参见广义逆。案例二 二元一次方程组含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。把两个含有相同未知数的一次方程联合在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。1相关定义把两个含有相同未知数的一次方程联合在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。二元一次方程定义：一个方程含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的整式方程，叫二元一次方程。二元一次方程组定义：含有两个相同未知数的两个一次方程所组成的方程组叫做二元一次方程组。二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。二元一次方程组的解必是它所含的二元一次方程的解。消元法1）代入消元法2）加减消元法案例三 因式分解把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做因式分解Factorization，也叫作分解因式。在数学求根作图方面有很广泛的应用。原则：1、分解必须要彻底（即分解后之因式均不能再做分解）2、结果最后只留下小括号3、结果的多项式首项为正。 在一个公式内把其公因子抽出，例子：其中，是公因子。因此，因式分解后得到的答案是：公式重组透过公式重组，然后再抽出公因子，例子：十字交乘法主条目：十字交乘法两个平方之和或两个平方之差（请参见平方差）根据以上两条恒等式，如原式符合以上条件，即可运用代用法直接分解。例如, 就可被分解为 。两个n次方数之和与差两个立方数之和可分解为两个立方数之差可分解为两个n次方数之差两个奇数次方数之和 平方差公式完全平方公式立方和（差）十字相乘公式1含义因式分解的定义和主要方法常规因式分解主要公式定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）。例如：m-n=（m+n）（m-n)分解因式与整式乘法为相反变形。同时也是解一元二次方程中因式分解法的重要步骤。高级结论：十字相乘法十字相乘法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。公式法公式法，即运用公式分解因式。公式一般有1、a-b=（a+b）（a-b）2、a2ab+b=（ab）3注意四原则：1分解要彻底（是否有公因式，是否可用公式）2最后结果只有小括号3最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x2+x=x(-3x+1)）不一定首项一定为正，如-2x-3xy-4xz=-x(2+3y+4z)案例四 一元二次方程历史：方程这个名词，最早见于我国古代算书九章算术.九章算术是在我国东汉初年编定的一部现有传本的、最古老的中国数学经典著作.书中收集了246个应用问题和其他问题的解法，分为九章，“方程”是其中的一章.在这一章里的所谓“方程”，是指一次方程组.例如其中的第一个问题实际上就是求解三元一次方程组古代是将它用算筹布置起来解的，如图所示，图中各行由上而下列出的算筹表示x，y，z的系数与常数项.我国古代数学家刘徽注释九章算术说，“程，课程也.二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程.”这里所谓“如物数程之”，是指有几个未知数就必须列出几个等式.一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比方阵，所以叫做方程.上述方程的概念，在世界上要数九章算术中的“方程”章最早出现.其中解方程组的方法，不但是我国古代数学中的伟大成就，而且是世界数学史上一份非常宝贵的遗产窗体顶端an一元二次方程名：是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程，该方程式的一般形式是：ax+bx+c=0（a0），其中，ax是二次项，bx是一次项，c是常数项，a、b是常数。a0是一个重要条件，否则就不能保证该方程未知数的最高次数是二次。一元二次方程最常规的解法是求根公式法，其外亦有因式分解法和配方法等方法。整式方程标准形式ax+bx+c=0（a0）求根公式x=-b(b-4ac)/2a满足条件一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母，那么分母中无未知数；只含有一个未知数；未知数的最高次数是2。方程形式一般式一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如ax2+bx+c=0 (a0,a,b,c是常数)的形式。这种形式叫一元二次方程的一般形式。一次项系数b和常数项c可取任意实数，而二次项系数a必须是不等于0的实数。要确定二次项系数、一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式。2变形式（a、b是实数，a0）（a、c是实数，a0）（a是实数，a0）配方式两根式方程解含义（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解。一元二次方程的解也称为一元二次方程的根（只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根3）。（2）一元二次方程一定且最多有两个解，但不一定有两个实数解。判别式利用一元二次方程根的判别式（）可以判断方程的根的情况。案例五 分式形如A/B，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式（fraction）。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。如x/y是分式，还有x(y+2)/y也是分式。目录1基本定义2注意3运算法则4基本性质5四则运算6分式方程基本定义注意掌握分式的概念应注意： 有意义的条件运算法则约分分式的乘法法则分式的加减法法则异分母分式的加减法法则基本性质基本性质约分分式的约分步骤最简分式通分分式的通分步骤四则运算分式方程基本简介解法介绍基本步骤基本定义形如A/B，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式（fraction）。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分母不能为0，若分母的值为零，则分式无意义。2注意2.1掌握分式的概念应注意：判断一个式子是否是分式，要看式子是否是A/ B的形式，关键要满足：（1）分式的分母中必须含有字母。（2）分母的值不能为零。由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。整式和分式统称为有理式。（有理数）无理式和有理式统称代数式不能化简后再看，例如:6X/3X（这也是分式)2.2 有意义的条件（1）分式有意义条件：分母不为0；（2）分式无意义条件：分母为0；（3）分式值为0条件：分子为0且分母不为0；（4）分式值为正(负)数条件：分子分母同号时，分式值为正；分子分母异号时，分式值为负 。3运算法则3.1约分把一个分式的分子和分母的公因式约去的过程为约分。3.2分式的乘法法则两个分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置（除数的倒数）后再与被除式相乘。3.3分式的加减法法则同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。3.4异分母分式的加减法法则异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。4基本性质4.1基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为：A/B=(A*C)/(B*C)， A/B=（AC）/（BC）（A,B,C为整式，且B、C0）。4.2约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。4.4最简分式一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。约分时，一般将一个分式化为最简分式。4.5通分把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式，叫做分式的通分。案例六 函数及其图像历史：函数就是在某变化过程中有两个变量X和Y，变量Y随着变量X一起变化，而且依赖于X。如果变量X取某个特定的值，Y依确定的关系取相应的值，那么称Y是X的函数。这一要领是由法国数学家黎曼在19世纪提出来的，但是最早产生于德国的数学家菜布尼茨。他和牛顿是微积分的发明者。17世纪末，在他的文章中，首先使用了 “function 一词。翻译成汉语的意思就是 “ 函数。不过，它和我们今天使用的函数一词的内涵并不一样，它表示 ” 幂 ” 、 “ 坐标 ” 、 “ 切线长 ” 等概念。 直到18世纪，法国数学家达朗贝尔在进行研究中，给函数重新下了一个定义，他认为，所谓变量的函数，就是指由这些变量和常量所组成的解析表达式，即用解析式表达函数关系。后来瑞士的数学家欧拉又把函数的定义作了进一步的规范，他认为函数是能描画出的一条曲线。我们常见到的一次函数的图像、二次函数的图像、正比例函数的图像、反比例的图像等都是用图像法表示函数关系的。如果用达朗贝尔和欧拉的方法来表达函数关系，各自有它们的优点，但是如果作为函数的定义，还有欠缺。因为这两种方法都还停留在表面现象上，而没有提示出函数的本质来。 19世纪中期，法国数学家黎紧吸收了莱布尼茨、达朗贝尔和欧拉的成果，第一次准确地提出了函数的定义:如果某一个量依赖于另一个量，使后一个量变化时，前一个量也随着变化，那么就把前一个量叫做后一个量的函数。黎曼定义的最大特点在于它突出了就是之间的依赖、变化的关系，反映了函数概念的本质属性在数学中，函数 f 的图像指的是所有有序对(x, f(x)组成的集合。具体而言，如果x为实数，则函数图像在平面直角坐标系上呈现为一条曲线。如果函数自变量x为两个实数组成的有序对(x1, x2)，则图像就是所有三重序(x1, x2, f(x1, x2)组成的集合，呈现为曲面（参见三维计算机图形）。目录基本简介点集(x，y)丨y=x叫做函数y=x的图像2主要特点2.1一次函数自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b（k，b为常数，k0）则称y是x的一次函数。特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。2.2一次函数的性质若两个变量x，y间的关系式可以表示为y=kx+b（k，b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。2.3一次函数的图象及性质1 作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图象一条直线。2 性质：在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。3 k，b与函数图象所在象限。当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k0时，直线必通过一、二象限；当b0时，直线只通过一、三象限；当k0时，直线只通过二、四 象限。案例七 三角形三角形的历史：人们常把数的三角形与数学家帕斯卡的名字结合起来，成了众所周知的帕斯卡三角形巴斯卡三角形是一个包含了发生在代数、几何、和自然界中数字模式之有名的算术三角形。帕斯卡最早是在他的书论算术三角形中写到它的(约1653年)然而，这个冠以巴斯卡之名的三角形，早在巴斯卡出生之前500多年就被发现了。 在公元1303年，中国数学家朱世杰在他的一本叫做四元玉鉴一书的序中发表了这个有名的三角形。朱世杰甚至没有宣扬发现了这个三角形的荣耀。四元玉鉴(1303年)的开卷中，有一张算术三角形的说明，标题为“古法七乘方图”，显示了二项展开式八次方的系数朱世杰提到，算术三角形是一种求二项式第八次方和较低次方的古老方法这种古老的方法见于另一本中国的数学著作，该书写于公元1100年，书上显示了一种表示二项式系数的系统，这暗示了算术三角形当时就已存在有证据表明，二项式定理和算术三角形那时也已为波斯的诗人、天文学家和数学家海亚姆(Omar Khayyam，1050？1123)所知道在他的书代数中，他提到他在别的地方叙述了确定二项式4次，5次，6次和高次方的规律的发现不幸的是，论述后者的著作现已失传残存的最早的包含有算术三角形的阿拉伯著作出自15世纪的阿尔卡西公元1527年，P阿皮安的书Rechnung的内封页，就印有算术三角形而在M斯蒂费尔的书整数算术(1544)中，也含有“帕斯卡的”三角形虽然帕斯卡不是算术三角形的创始者，但应该承认他发现并证明了算术三角形的一些新的性质三角形是由三条线段顺次首尾相连，组成的一个闭合的平面图形是最基本的多边形。一般用大写英语字母、和，为顶点标号。用小写英语字母、和表示边；、和或者顶点标号表示角。定义：由三条线段首尾顺次相连，得到的封闭几何图形叫做三角形。三角形是几何图案的基本图形。2.1按角度分a.锐角三角形：三个角都小于90度。b.直角三角形：简称Rt（Right triangle），其中一个角必须等于90度。c.钝角三角形：其中一个角必须大于90度。其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形。案例八 相似图形形状相同的图形叫做相似图形。基本简介形状相同的图形叫做相似图形。2基本法则1. 如果选用同一个长度单位量得的两条线段AB,CD的长度分别是m,n那么就说这两条线段的比AB：CD=m:n，或写成AB/CD=m/n。分别叫做这个线段比的前项后项。2. 在地图或工程图纸上，图上长度与实际长度的比通常称为比例尺。3. 四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段。 4. 如果a/b=c/d，那么ad=bc. 如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0)，那么a/b=c/d.5. 如果a/b=c/d，那么(ab)/b=(cd)/d；那么（akb)/b=(ckd)/d；那么a/bka=c/dkc6如果a/b=c/d=m/n(b+d+n0)，那么（a+c+m)/(b+d+n)=a/b.7 如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，（5-1）/2叫做黄金比。8. 长于宽的比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形。9. 三角形ABC与三角形ABC是形状形同的图形，其中10 各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。11.相似多边形的比叫做相似比。12.三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。若三角形ABC与三角形DEF相似，记作： ABCDEF，把对应定点的字母写在相应的位置上13.探索三角形相似的条件： 两角对应相等的两个三角形相似。 三边对应成比例的两个三角形相似。 两边对应成比例且夹角相等的两个三角相似。14.相似多边形的性质： 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比。 相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方（或相似比等于面积比的算术平方根）。15.如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。16.位似图形上任一对对应点到位似中心的距离之比和周长比等于位似比，且面积比等于位似比的平方对应角相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。17. 相似具有方向性与传递性。案例九 圆元的历史：人最早是从太阳，从阴历十五的月亮得到圆的概念的，那么是什么人作出第一个圆的呢？ 18000年前的山顶洞人用一种尖状的石器来钻孔，一面钻不透，再从另一面钻。石器的尖是圆心，它的宽度的一半就是半径，这样以同一个半径和圆心一圈圈地转就可以钻出一个圆的孔。到了陶器时代，许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。 6000年前，半坡人就已经会造圆形的房顶了。古代人还发现圆的木头滚着走比较省劲。后来他们在搬运重物时，就把几段圆木垫在重物的下面滚着走，这样就比扛着走省劲得多。 大约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子圆的木轮。约在4000年前，人们将圆的木轮固定在木架上，这就成了最初的车子。 会作圆并且真正了解圆的性质，却是在2000多年前，是由我国的墨子给出圆的概念的：“一中同长也。”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等。这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100年。圆是一种几何图形，指的是平面中到一个定点距离为定值的所有点的集合。这个给定的点称为圆的圆心。作为定值的距离称为圆的半径。当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹就是一个圆。1.1 到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆（circle）.这个定点叫做圆的圆心.1.2 连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径（radius）.1.3 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径（diameter）.1.4 连接圆上任意两点的线段叫做弦（chord）.最长的弦是直径.1.5 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧（arc）.大于半圆的弧称为优弧，优弧是用三个字母表示。小于半圆的弧称为劣弧，劣弧用两个字母表示。.半圆既不是优弧，也不是劣弧.1.6 由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形（sector）由弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形。.1.7 顶点在圆心上的角叫做圆心角（central a