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第三章 中值定理与导数的应用,第 一 节 中值定理,一、罗尔(Rolle)定理,几何解释:,证,讨论：,不妨设,因而,下证：,且,则有,得,则有,得,（1）,（2）,证毕。,注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,下面举例说明。,不满足条件(1).,不满足条件（2）,不满足条件（3）,例1,证,由零点定理得：,矛盾!,注：,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,几何解释:,分析:,弦AB方程为,作辅助函数,证,由已知得：,且,即,根据罗尔定理，得：,使得,即,即,证毕。,拉格朗日中值公式,注：,从而,记,则,这样，拉格郎日公式可表示为,此式称为有限增量公式.,注: 拉格朗日公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,推 论,证（1）,解,定理,证,证毕,例3,证,即,例4,证,三、柯西(Cauchy)中值定理,证,作辅助函数,即,即,证毕。,注,注,从几何上看，,柯西中值定理就是拉格郎日中值定理的参数形式。,即:,拉格朗日中值公式,例5,分析:,证,即,即,即,证毕,例6,证,分析:,结论可变形为,四、小结,Rolle 定理,Lagrange 中值定理,Cauchy 中值定理,罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系:,注意定理成立的条件；,注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.,P134习题3-1
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