反证法与放缩法课件(人教A.ppt

读教材填要点,1反证法 先假设 ，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等) 的结论，以说明 不正确，从而证明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法 2放缩法 证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值 或 ，简化不等式，从而达到证明的目的我们把这种方法称为放缩法,要证的命题不成立,矛盾,假设,放大,缩小,小问题大思维,1用反证法证明不等式应注意哪些问题？ 提示：用反证法证明不等式要把握三点： (1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一 论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的 (2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法 (3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的,2运用放缩法证明不等式的关键是什么？ 提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式,研一题,例1 设a，b，c，d都是小于1的正数，求证：4a(1b)，4b(1c)，4c(1d)，4d(1a)这四个数不可能都大于1. 精讲详析 本题考查反证法的应用解答本题若采用直接法证明将非常困难，因此可考虑采用反证法从反面入手解决,悟一法,(1)当证明的结论中含有“不是”，“不都”，“不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体 (2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式与已知相矛盾，与假设矛盾，与显然成立的事实相矛盾,通一类,1已知f(x)是R上的单调递增函数，且f(a)f(b)f(a) f(b)求证：ab. 证明：假设ab，则当ab时ba， 于是有f(a)f(b)f(b)f(a)与已知矛盾 当ab时，ab，于是有f(a)f(b)，f(b)f(a)， f(a)f(b)f(b)f(a)与已知矛盾 ab.,研一题,例2 实数a、b、c、d满足abcd1，acbd1，求证：a、b、c、d中至少有一个是负数 精讲详析 本题考查“至多”、“至少”型命题的证明方法解答本题应假设a、b、c、d都是非负数，然后证明并得出矛盾 假设a、b、c、d都是非负数， 即a0，b0，c0，d0， 则1(ab)(cd)(acbd)(adbc)acbd， 这与已知中acbd1矛盾， 原假设错误， a、b、c、d中至少有一个是负数,悟一法,(1)在证明中含有“至少”、“至多”、“最多”等字眼时，或证明否定性命题、惟一性命题时，可使用反证法证明在证明中常见的矛盾可以与题设矛盾，也可以与已知矛盾，与显然的事实矛盾，也可以自相矛盾 (2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾,通一类,2已知函数yf(x)在区间(a，b)上是增函数，求证：yf(x) 在区间(a，b)上至多有一个零点 证明：假设函数yf(x)在区间(a，b)上至少有两个零点， 不妨设x1，x2(x1x2)为函数yf(x)在区间(a，b)上的两个零点，且x1x2，则f(x1)f(x2)0. 函数yf(x)在区间(a，b)上为增函数， x1，x2(a，b)且x1x2， f(x1)f(x2)，与f(x1)f(x2)0矛盾， 原假设不成立 函数yf(x)在(a，b)上至多有一个零点,研一题,精讲详析 本题考查放缩法在证明不等式中的应用，解答本题要注意欲证的式子中间是一个和的形式，但我们不能利用求和公式或其他方法求和，因此可考虑将分母适当放大或缩小成可以求和的形式，进而求和，并证明该不等式,悟一法,(1)放缩法证不等式主要是根据不等式的传递性进行变换，即欲证ab，可换成证ac且cb，欲证ab，可换成证ac且cb. (2)放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等比如：,通一类,反证法和放缩法在高考中单独命题的可能性不大，一般以解答题一问的形式出现，但反证法和放缩法是一种重要的思维模式，在逻辑推理中有着广泛的应用,考题印证,(2011安徽高考)设直线l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中实数k1，k2满足k1k22