（浙江专用）高考数学第三章函数、导数及其应用第二节函数的单调性与最值教案（含解析）.docx

第二节 函数的单调性与最值1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数yf(x)的单调区间2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M对于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M结论M为函数yf(x)的最大值M为函数yf(x)的最小值小题体验1给定函数yx，ylog(x1)，y|x1|，y2x1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是()ABC D解析：选Byx在(0,1)上递增；tx1在(0,1)上递增，且01，ylog(x1)在(0,1)上递减；结合图象(图略)可知y|x1|在(0,1)上递减；ux1在(0,1)上递增，且21，y2x1在(0,1)上递增故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是.2(2019绍兴调研)函数f(x)xlog2(x2)在区间1,1上的最大值为_解析：由于yx在R上单调递减，ylog2(x2)在1,1上单调递增，所以f(x)在1,1上单调递减，故f(x)在1,1上的最大值为f(1)3.答案：33(2018丽水模拟)已知函数 f(x)则f(f(3)_，f(x)的单调递减区间是_解析：f(3)log31，f(f(3)f(1)1234.当x1时，f(x)x22x3(x1)24，对称轴x1，f(x)在1,1上单调递减，且f(1)0，当x1时，f(x)单调递减，且f(x)f(1)0，f(x)在1，)上单调递减答案：41，)1易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集2若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集例如，函数f(x)在区间(1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(1,0)(0,1)上却不一定是减函数，如函数f(x).3两函数f(x)，g(x)在x(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)g(x)也为增(减)函数，但f(x)g(x)，等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比小题纠偏1设定义在1,7上的函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的增区间为_答案：1,1，5,72函数f(x)在6，2上的最大值是_，最小值是_解析：因为f(x)在6，2上是减函数，所以当x6时，f(x)取得最大值.当x2时，f(x)取得最小值.答案：题组练透1下列四个函数中，在(0，)上为增函数的是()Af(x)3xBf(x)x23xCf(x) Df(x)|x|解析：选C当x0时，f(x)3x为减函数；当x时，f(x)x23x为减函数，当x时，f(x)x23x为增函数；当x(0，)时，f(x)为增函数；当x(0，)时，f(x)|x|为减函数2试讨论函数f(x)(a0)在(1,1)上的单调性解：法一：(定义法)设1x1x21，f(x)aa，f(x1)f(x2)aa，由于1x1x21，所以x2x10，x110，x210，故当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上递增法二：(导数法)f(x).当a0时，f(x)0，函数f(x)在(1,1)上递减；当a0时，f(x)0，函数f(x)在(1,1)上递增3判断函数y在(1，)上的单调性解：法一：任取x1，x2(1，)，且x1x2，则y1y2.x11，x21，x110，x210，又x1x2，x2x10，0，即y1y20.y1y2，函数y在(1，)上单调递减法二：y1.yx1在(1，)上是增函数，y在(1，)上是减函数，y1在(1，)上是减函数即函数y在(1，)上单调递减谨记通法判断或证明函数的单调性的2种重要方法及其步骤(1)定义法，其基本步骤： (2)导数法，其基本步骤：典例引领求下列函数的单调区间：(1)yx22|x|1；(2)ylog(x23x2)解：(1)由于y即y画出函数图象如图所示，单调递增区间为(，1和0,1，单调递减区间为1,0和1，)(2)令ux23x2，则原函数可以看作ylogu与ux23x2的复合函数令ux23x20，则x1或x2.函数ylog(x23x2)的定义域为(，1)(2，)又ux23x2的对称轴x，且开口向上ux23x2在(，1)上是单调减函数，在(2，)上是单调增函数而ylogu在(0，)上是单调减函数，ylog(x23x2)的单调递减区间为(2，)，单调递增区间为(，1)由题悟法确定函数的单调区间的3种方法提醒单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结即时应用1函数f(x)的单调递增区间为()A.B.C. D.解析：选D令t，由xx20，得0x1，故函数的定义域为0,1因为g(t)t是减函数，所以f(x)的单调递增区间即t的单调递减区间利用二次函数的性质，得t的单调递减区间为，即原函数的单调递增区间为.2(2018温州十校联考)函数f(x)lg(9x2)的定义域为_；其单调递增区间为_解析：对于函数f(x)lg(9x2)，令t9x20，解得3x3，可得函数的定义域为(3,3)令g(x)9x2，则函数f(x)lg(g(x)，又函数g(x)在定义域内的增区间为(3,0所以函数f(x)lg(9x2)在定义域内的单调递增区间为(3,0答案：(3,3)(3,0锁定考向高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中常见的命题角度有：(1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小；(3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值 题点全练角度一：求函数的值域或最值1(2018台州三区适应性考试)已知函数f(x)2xax3bsin x(a0，b0)，若x0,1时，f(x)的最大值为3，则x1,0)时，f(x)的最小值是_解析：因为函数f(x)2xax3bsin x在区间1,1上为单调递增函数所以当x0,1时，f(x)的最大值为f(1)2a13bsin 13，absin 11，当x1,0)时，f(x)的最小值为f(1)21a(1)3bsin(1)(absin 1).答案：角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小2(2018杭州模拟)已知函数f(x)的图象关于直线x1对称，当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，设af，bf(2)，cf(e)，则a，b，c的大小关系为()AcabBcbaCacb Dbac解析：选D因f(x)的图象关于直线x1对称由此可得ff.由x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，知f(x)在(1，)上单调递减12e，f(2)ff(e)，bac.角度三：解函数不等式3已知函数f(x)为R上的减函数，则满足ff(1)的实数x的取值范围是()A(1,1)B(0,1)C(1,0)(0,1) D(，1)(1，)解析：选C由f(x)为R上的减函数且ff(1)，得即1x0或0x1.故选C.角度四：利用单调性求参数的取值范围或值4若f(x)是定义在R上的减函数，则a的取值范围是()A. B.C. D.解析：选A由题意知，解得所以a，故选A.通法在握函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)求函数最值方法步骤单调性法先确定函数的单调性，再由单调性求最值图象法先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值基本不等式法先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值导数法先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值换元法对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值(2)比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决(3)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域(4)利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数提醒若函数在区间a，b上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值演练冲关1设函数f(x)若函数f(x)在区间(a，a1)上单调递增，则实数a的取值范围是()A(，1 B1,4C4，) D(，14，)解析：选D作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知，若f(x)在(a，a1)上单调递增，需满足a4或a12，即a1或a4，故选D.2已知函数f(x)若f(2x2)f(x)，则实数x的取值范围是()A(，1)(2，) B(，2)(1，)C(1,2) D(2,1)解析：选D当x0时，两个表达式对应的函数值都为零，函数的图象是一条连续的曲线当x0时，函数f(x)x3为增函数，当x0时，f(x)ln(x1)也是增函数，函数f(x)是定义在R上的增函数因此，不等式f(2x2)f(x)等价于2x2x，即x2x20，解得2x1.3(2017浙江名校高考联盟联考)若函数f(x)a|xb|1在(1，)上是减函数，则实数a的取值范围是_，实数b的取值范围是_解析：当a0时，函数f(x)a|xb|1在(，b上是减函数，在(b，)上是增函数，不满足函数f(x)a|xb|1在(1，)上是减函数；当a0时，f(x)1，不满足函数f(x)a|xb|1在(1，)上是减函数；当a0时，函数f(x)a|xb|1在(，b上是增函数，在(b，)上是减函数，因为函数f(x)a|xb|1在(1，)上是减函数，所以a0且b1，即a0且b1.答案：(，0)1，)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2018珠海摸底)下列函数中，定义域是R且为增函数的是()Ay2xByxCylog2 x Dy解析：选B由题知，只有y2x与yx的定义域为R，且只有yx在R上是增函数2(2018绍兴模拟)已知函数f(x)的图象关于(1,0)对称，当x1时，f(x)loga(x1)，且f(3)1，若x1x22，(x11)(x21)0，则()Af(x1)f(x2)0 Bf(x1)f(x2)0Cf(x1)f(x2)可能为0 Df(x1)f(x2)可正可负解析：选B当x1时，f(x)loga(x1)，f(3)loga21，a，故函数f(x)在(1，)上为减函数，若x1x22，(x11)(x21)0，不妨令x11，x21，则x22x1，f(x2)f(2x1)，又函数f(x)的图象关于(1,0)对称，f(x1)f(2x1)，此时f(x1)f(x2)f(2x1)f(x2)0，故选B.3已知函数f(x)log4(4|x|)，则f(x)的单调递增区间是_；f(0)4f(2)_.解析：令ylog4u，其中u4|x|，且u4|x|0，由于函数ylog4u是单调递增函数，故要求f(x)的单调递增区间，只需求u4|x|的单调递增区间，得解得4x0，所以f(x)的单调递增区间是(4,0；易得f(0)4f(2)log444log42123.答案：(4,034函数yx(x0)的最大值为_解析：令t，则t0，所以ytt22，结合图象知，当t，即x时，ymax.答案：5(2018杭州十二校联考)设minx，y若定义域为R的函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)，则minf(x)，g(x)的最大值为_解析：设minf(x)，g(x)m，2mf(x)g(x)m，显然当m取到最大值时，x0，m，当且仅当时等号成立，即m的最大值是.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1已知函数f(x)，则该函数的单调递增区间为()A(，1 B3，)C(，1 D1，)解析：选B设tx22x3，由t0，即x22x30，解得x1或x3.所以函数的定义域为(，13，)因为函数tx22x3的图象的对称轴为x1，所以函数t在(，1上单调递减，在3，)上单调递增所以函数f(x)的单调递增区间为3，)2(2018浙江名校协作体联考)函数yx的值域为()A1，) B(，)C，) D(1，)解析：选D因为函数yxx，所以当x1时，函数为增函数，所以y1；当x1时，设x1t，则t0，函数yt11，所以函数在(，0)上为增函数，当t0时，y1，当t时，y1，所以1y1.综上所述，函数yx的值域为(1，)3定义新运算：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于()A1 B1C6 D12解析：选C由已知得当2x1时，f(x)x2，当1x2时，f(x)x32.f(x)x2，f(x)x32在定义域内都为增函数f(x)的最大值为f(2)2326.4已知函数f(x)是R上的单调函数，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.解析：选B由对数函数的定义可得a0，且a1.又函数f(x)在R上单调，则二次函数yax2x的图象开口向上，所以函数f(x)在R上单调递减，故有即所以a.5(2018湖州模拟)若f(x)是定义在(1,1)上的减函数，则下列不等式正确的是()Af(sin x)f(cos x) Bff(x)Cff Dff解析：选DAx时，sin xcos x，f(x)在(1,1)上为减函数，f(sin x)f(cos x)，该选项错误；Bx(1,1)，x(x1)20，x，且f(x)在(1,1)上单调递减，ff(x)，该选项错误；C.，x(1,1)，x(1,0)时，x1，且f(x)在(1,1)上为减函数，ff，该选项错误；D.，x(1,0时，x10,1x0，.x(0,1)时，x10,1x0，综上得，f(x)为(1,1)上的减函数，ff，该选项正确6(2019金华四校联考)若函数f(x)x2a|x2|在(0，)上单调递增，则实数a的取值范围是_解析：f(x)x2a|x2|，f(x)又f(x)在(0，)上单调递增，4a0，实数a的取值范围是4,0答案：4,07设函数f(x)的图象过点(1,1)，函数g(x)是二次函数，若函数f(g(x)的值域是0，)，则函数g(x)的值域是_解析：因为函数f(x)的图象过点(1,1)，所以m11，解得m0，所以f(x)画出函数yf(x)的大致图象如图所示，观察图象可知，当纵坐标在0，)上时，横坐标在(，10，)上变化而f(x)的值域是(1，)，f(g(x)的值域是0，)，因为g(x)是二次函数，所以g(x)的值域是0，)答案：0，)8若函数f(x)ax(a0，a1)在1,2上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)(14m)在0，)上是增函数，则a_.解析：函数g(x)在0，)上为增函数，则14m0，即m.若a1，则函数f(x)在1,2上的最小值为m，最大值为a24，解得a2，m，与m矛盾；当0a1时，函数f(x)在1,2上的最小值为a2m，最大值为a14，解得a，m.所以a.答案：9(2018杭州五校联考)函数yf(x)的定义域为R，若存在常数M0，使得|f(x)|M|x|对一切实数x均成立，则称f(x)为“圆锥托底型”函数(1)判断函数f(x)2x，g(x)x3是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由(2)若f(x)x21是“圆锥托底型”函数，求出M的最大值解：(1)函数f(x)2x.|2x|2|x|2|x|，即对于一切实数x使得|f(x)|2|x|成立，函数f(x)2x是“圆锥托底型”函数对于g(x)x3，如果存在M0满足|x3|M|x|，而当x 时，由3M，M，得M0，矛盾，g(x)x3不是“圆锥托底型”函数(2)f(x)x21是“圆锥托底型”函数，故存在M0，使得|f(x)|x21|M|x|对于任意实数恒成立x0时，M|x|，此时当x1时，|x|取得最小值2，M2.而当x0时，也成立M的最大值等于2.10已知函数f(x)a.(1)求证：函数yf(x)在(0，)上是增函数；(2)若f(x)2x在(1，)上恒成立，求实数a的取值范围解：(1)证明：当x(0，)时，f(x)a，设0x1x2，则x1x20，x2x10，f(x2)f(x1)0，所以f(x)在(0，