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文档简介

第五章 相似矩阵和二次型习题课,重点与难点,内容提要,典型例题,一、重点与难点,3. 正定二次型的判定及有关问题,2. 用正交变换法化二次型为标准型,1. 二次型的矩阵表示,二、基础知识,1 二次型的矩阵表示、二次型的秩,2 二次型的标准型与规范标准型,化二次型为标准型的方法： （1）正交变换法 （2）配方法,4 合同变换与合同矩阵,5 惯性定律,6 正定二次型,（2）正定性的判定方法,例1用矩阵记号表示下列二次型:,(1),(2),解 (1),三、典型例题,(2),解 (1) 二次型的矩阵为,故 的特征值为,当 时,得基础解系,解方程,由,取,当 时,得基础解系,解方程,由,取,当 时,得基础解系,解方程,由,取,于是正交变换为,且有,证明 为实对称矩阵，则有一正交矩阵 ，使得,成立,其中 为 的特征值，不妨 设最大，,为正交矩阵，则 且 ，故,则,其中,当 时，,即,即,例4判别下列二次型的正定性：,解,故 为正定,例5,解:,其秩为 2 ，,例 6,解: 经非退化线性变换,故 f 的秩为 3 ， 正惯性指数为 2 ，负惯性指数为 1 。,例 7,例 8,即为所求的常数 。,
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