函数、极限与连续(10).ppt

专转本数学辅导,“理解概念、硬记公式、 变通技巧、拆分考点”,“三要诀”,数字要敏感,眼睛要雪亮,题目要练习,一、考试时间,2013年4月份（2小时）,二、考试题型（24个题目）,150分,选择题24分（4分6题）,填空题24分（4分6题）,计算题64分（8分8题）,综合题20分（10分2题）,证明题18分（9分2题）,三、考试内容,第一章 函数、极限、连续（3个考点）,第二章 一元函数微分学（4个考点）,第三章 一元函数积分学（4个考点）,第四章 多元函数微积分学（2个考点）,第五章 微分方程（3个考点）,第六章 向量代数与空间解析几何（2个考点）,第七章 无穷级数（2个考点）,20个 考点,4分,12分,12分,20分,38分,35分,29分,8分,12分,12分,20分,34分,40分,24分,8分,12分,13分,24分,39分,30分,24分,8分,12分,13分,24分,29分,34分,30分,约占 65%,第一章 函数、极限、连续,一、函数的基本概念,1.函数的定义,称y是x的函数,自变量x的集合D称为函数 的定义域，记作,因变量y的集合称为函数 的值域，记作,第一节 函数,2.函数的定义域,例1-1.求函数 的定义域.,3.函数的值域（即求最值）,例1-2. （1）设 ，求 . （2）已知函数 的定义域是 ，求函数 的定义域.,（4）求最值的三种方法,不等式法,配方法,求导法,二、六类基本初等函数,1.常函数,2.幂函数,（C为常数，图像为平行于x轴的直线）,（图像为平行于y轴的直线）,（ 为一切实数）,3.指数函数,（a为底数， 且 ）,（2）所有指数函数的图像都经过点（0,1）,（3）当 时，增函数；当 时，减函数,（1）,（2）所有对数函数的图像都经过点（1,0）,（3）当 时，增函数；当 时，减函数,（1）,5.三角函数,6.反三角函数,三、函数的几种特殊表达形式,1.分段函数,由两个或两个以上的分析表达式表示的一个函数,分段点0的左右两侧表达式一样,分段点1的左右两侧表达式不一样,例1-3.设 ，求 的定义域，并求 .,2. 隐函数,显函数：,隐函数：,函数中y可用x的式子表示出来.,但并非所有隐函数都可以化成显函数,函数的y与x的对应关系是一个方程 表示的.,3. 复合函数,4. 初等函数,由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合而得到并且用一个式子来表达的函数.,1.增减性,四、函数的性质,任取,（变量x与y同方向变化）,（变量x与y反方向变化）,注意：等号只是在个别点处取得，不影响函数的增减性,2.奇偶性,I关于原点不对称,I关于原点对称,一般地，设函数 的定义域为I,非奇非偶,既不相等，也不相反,例1-4.判别下列函数的奇偶性,3.有界性,例1-5. （1）判断函数 是否有界？ （2）判断函数 在区间 上是否有界？,4周期性,存在正数 ，对任意 ，都有 则称函数 为周期函数，满足这个等式的最小正数 称为函数的周期.,例1-6.(1)设 为奇函数， ， 为不 等于1的正常数，则 的（ ） A.偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶函数 D.奇偶性与 有关,（2） ，是 （ ） A.有界函数 B.奇函数 C.偶函数 D.周期函数,一、数列的极限,1.数列极限的描述性定义,已知数列 ，如果当 越来越大时， 与某个常数 A越来越近，则称数列 极限存在或收敛，并把A称 为数列 的极限，记作,若数列 极限不存在，则称数列 发散.,第二节 函数的极限,极限不存在,以A为极限,2.数列极限的四则运算,（1）,若有,（2）,（3）,（4）,结论：,例1-7.(1)用观察的方法判断下列数列是否收敛？,(2)求下列数列的极限,二、函数的极限,1.自变量沿x轴趋于无穷远时，函数 的极限,（1）左、右极限,右极限,左极限,（2）极限存在定理,2.自变量趋于有限值 时函数的极限,3.极限四则运算,若有,4.无穷小量与无穷大量,（1）无穷大量,（2）无穷小量,（3）无穷小量与无穷大量的关系,（倒数关系）,三、函数的极限求法,1.直接运用四则运算,例1-8.求下列函数极限,例9.,2.约去非零公因子,例1-9.求下列函数极限,（1）分子有理化,（2）分母有理化,（3）分子、分母有理化,3.有理化（去掉相应的根号）,例10.,例1-10.求下列函数极限,（2006-13）计算,例1-11.(1)求下列函数极限,(2)已知 ，求,4.,5.求分段函数在分段点的极限要利用左、右极限,例1-12.设 ，求,设,（1）无穷小量的阶,6.利用等价无穷小替换求极限,如果 ，则称 是 的高阶无穷小，,如果 ，则称 是 的低阶无穷小.,如果 ，则称 是 的同阶无穷小.,（2）无穷小量的等价替换定理,设 ，且 存在， 则有,（3）常用的无穷小量等价替换公式,注意：等价无穷小替换，一般只用于乘除运算，对加、减项的无穷小量不能随意替换.,例1-13.求下列函数的极限,（2007-2）已知当 时， 是 的高阶无穷小，而 又是 的高阶无穷小，则正整数 ( ) A.1 B.2 C. 3 D.4,7.利用两个重要极限求极限,例1-14.求下列函数的极限,例1-15.求下列函数的极限,(与a,b无关，与d,c有关),例1-16.求下列函数的极限,一、函数的连续性,1.函数 点 的连续性,第三节 函数的连续,（2007-7）设函数 ，在点 处连续，则常数,2.左、右连续,3.函数 点区间 上的连续性,二、函数的间断点及分类,1.函数间断的定义,函数 在 处满足下列情况之一，则点 为 的间断点.,（1）考察 在点 处的连续性.,（4）考察 在点 处的连续性.,（3）设 考察 在点 处的连续性.,（2）设 考察 在点 处的连续性.,例1-17.,2.函数间断点的分类（依据左右极限来分类）,例1-18.设,求函数的间断点，并判断其类型.,且,且,例1-19.已知 在 处连续， 求,（2003-19）求函数 的间断点并判断其类型.,