高考复习专题(力与圆类问题(上)(附答案详解).ppt

专题四: 力与圆类问题(上),一.命题趋向与考点,圆周运动的角速度、线速度、向心加速度和万有引力、人造卫星都是近年来高考的热点，与实际应用和与生产、生活、科技联系命题已经成为一种命题的趋向.飞船、卫星运行问题与物理知识（如万有引力定律、匀速圆周运动、牛顿运动定律等）及地理知识有十分密切的相关性，以此为背景的高考命题立意高、情景新、综合性强，对考生的理解能力、综合分析能力、信息提炼处理能力及空间想象能力提出了极高的要求，是新高考突出学科内及跨学科间综合创新能力考查的命题热点，特别是神舟六号的成功发射和回收，探月计划即将付诸实施，更会结合万有引力进行命题。,一.命题趋向与考点,1、重力场中的匀速圆周运动：明确天体运动的向心力是由万有引力来提供的，常见问题如计算天体质量和密度，星体表面及某一高度处的重力加速度和卫星运行的变轨等。不同星球表面的力学规律相同，但g不同，解决该类问题应注意求解该星球表面的重力加速度。,2、竖直圆轨道的圆周运动：质点在竖直面内的圆周运动的问题是牛顿定律与机械能守恒应用加小球通过最高点有极值限制的综合题,解题的关键在于判断不同约束条件下的速度临界问题。,二.知识概要与方法,1.圆周运动的问题重点是向心力的来源和运动的规律,主要利用 F向=mV2/R=m2R=m(42/T2) R求解.对于匀速圆周运动,合外力为向心力,利用F向=mV2/R, F切= 0求解.,(1)匀速圆周运动：,受力特征,合外力大小不变，方向始终与速度垂直且指向圆心,运动特征,速度和加速度大小不变，方向时刻变化的变加速曲线运动,(2)非匀速圆周运动：,受力特征,合外力大小和方向都在变,一方面提供圆周运动所需的向心力,另一方面提供切向分力以改变速度的大小,运动特征,速度和加速度的大小及方向都在变化的变加速曲线运动,向心力来源,2.处理圆周运动的方法和注意点 处理圆周运动的基本方法是牛顿运动定律与功能关系(动能定理、机械能守恒及能量守恒)的综合运用，关键是确定圆心画出圆轨迹，找出向心力。 （1）确定研究对象运动的轨道平面和圆心的位置，以便确定向心力的方向； （2）向心力是根据效果命名的； （3）建立坐标系：应用牛顿第二定律解答圆周运动问题时，通常采用正交分解法，其坐标原点是做圆周运动的物体，相互垂直的两个坐标轴中,一定要有一个轴的正方向沿着半径指向圆心。,3圆周运动的两种临界问题： 绳的模型和轻杆模型。,（1）绳的模型:,如图所示，没有物体支承的小球，在竖直平面作圆周运动：最高点FTmg=mv2/R,最低点FT mg=mv2/R,过最高点临界条件：,绳子和轨道对小球刚好没有力的作用。由mg=mv2/R得,注意：如果小球带电,且空 间存在电、磁场时，临界条 件应是小球所受重力、电场力和洛仑兹力的合力等于向心力，此时临界速度,能过最高点条件：vv临界（当vv临界时绳、轨道对球分别产生拉力、压力）,不能过最高点条件：vv临界（实际上球还没到最高点就脱离了轨道，脱离时绳、轨道和球之间的拉力、压力为零）,（2）杆的模型:,如图所示的有物体支承的小球，在竖直平面作圆周运动:最高点mgFN=mv2/R,当v=0时，Nmg （N为支持力，方向和指向圆心方向相反),当 0v 时， N随v增大而减小，且mgN0（N仍为支持力）,当v 时，N=0,当v 时，N随v增大而增大，且N0（N为拉力，方向指向圆心）,4天体的运动研究思路及方法：,(1).基本方法：把天体运动近似看作圆周运动，它所需要的向心力由万有引力提供，即：,(2).估算天体的质量和密度,由 得： 即只要测出环绕星体M运转的一颗卫星运转的半径和周期，就可以计算出中心天体的质量.,由 得： R为中心天体的星体半径,特殊:当时，即卫星绕天体M表面运行时， 由此可以测量天体的密度.,(3)行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题,表面重力加速度g0,由,得：,轨道重力加速度g,由,得：,()卫星的绕行速度、角速度、周期与半径的关系,(1)由 得: 即轨道半径越大，绕行速度越小,(2)由 得: 即轨道半径越大，绕行角速度越小,(3)由 得: 即轨道半径越大，绕行周期越大,()地球同步卫星,所谓地球同步卫星是指相对于地面静止的人造卫星，它的周期T24h要使卫星同步，同步卫星只能位于赤道正上方某一确定高度h,由:,得：,=3.6104=5.6,表示地球半径,对于人造卫星运动应注意,(1)圆周运动的轨道问题,-圆轨道的圆心必过地心,(2)发射速度与运行环绕速度的区分,(3)同步卫星与近地卫星的区分,(4)人造卫星的圆周运动与地球自转的圆周运动的区分,即:周期一定,高度一定,位置一定,三颗卫星覆盖赤道,r月地=3.84108m t=1.28S,r地日=1.51011m t=500S,日,地,月,天体的有关数据,同步卫星,近地卫星,月球,重力场中的圆周运动问题,例1长L的轻绳一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球,现使小球在竖直平面内作圆周运动,小球通过最低点和最高点时所受的绳拉力分别为T1和T2(速度分别为v0和v).求证：(1)T1T26mg (2)v0,证明：(1)由牛顿第二定律，在最低点和最高点分别有：,T1mgmv02/L T2mgmv2/L ,T1T22mg(m/L)(v02v2) ,由机械能守恒得：mv02/2mv2/2mg2L，,得：v02v24gL ,由、两式得：T1T26mg,(2)由式知，由于绳拉力T20，可得v,代入式得：v0,例2.(05广东卷)如图所示，半径R=0.40m的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与粗糙的水平地面相切于圆环的端点A。一质量m=0.10kg的小球，以初速度v0=7.0m/s在水平地面上向左作加速度a=3.0m/s2的匀减速直线运动，运动4.0m后，冲上竖直半圆环,最后小球落在C点.求A、C间的距离(取重力加速度g=10m/s2),解:,匀减速运动过程中，有：,恰好作圆周运动时物体在最高点B满足：,假设物体能到达圆环的最高点B，由机械能守恒：,vB12m/s,联立得 vB=3m/s,因为vBvB1，所以小球能通过最高点B。,小球从B点作平抛运动,有:2Rgt2,sAC=vBt, 得：sAC1.2m,例3、如图所示，M为悬挂在竖直平面内某一点的木质小球，悬线长为L，质量为m的子弹以水平速度V0射入球中而未射出，要使小球能在竖直平面内运动，且悬线不发生松驰，求子弹初速度V0应满足的条件。,解：,子弹击中木球时，由动量守恒定律得： mV0=(m+M)V1,（1）若小球能做完整的圆周运动，则在最高点满足：,由机械能守定律得：,由以上各式解得：,(2)若木球不能做完整的圆周运动，则上升的最大高度为L,此时满足：,解得：,所以，要使小球在竖直平面内做悬线不松驰的运动，V0应满足的条件是：,或,拓展:,若该题中绳子可以松驰,则小球在到达最高点之前的某一位置以某一速度开始做斜向上抛运动。设小球运动到某一临界位置C时，如图所示，木块所受的重力在绳子方向的分力恰好等于木块做圆周运动所需要的向心力.此时绳子的拉力为零，绳子便开始松弛了.木块就从这个位置开始，以此刻所具有的速度vc作斜上抛运动.,在C点:(M+m)gcos=(M+m)VC2/L,(M+m)V12=(M+m)gL(1+cos)+(M+m)VC2,当=0时,;当=900时,即,时,小球将做斜抛运动,2.天体(卫星)运动类问题,例4.（04广东广西）某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g,地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射。,答：设所求的时间为t,用m、M分别表示卫星和地球的质量,r表示卫星到地心的距离. 有,春分时，太阳光直射地球赤道，如图所示，,图中圆E表示赤道，S表示卫星,A表示观察者,O表示地心.,由图可看出当卫星S绕地心O转到图示位置以后（设地球自转是沿图中逆时针方向），其正下方的观察者将看不见它. 据此再考虑到对称性，有,由以上各式可解得,例5:侦察卫星在通过地球两极上的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高度为h，要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件的情况下全都拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少？设地球半径为R，地面处的重力加速度为g，地球自转的周期为T。,解:,如果周期是12小时，每天能对同一地区进行两次观测。如果周期是6小时，每天能对同一纬度的地方进行四次观测。如果周期是24/n小时，每天能对同一纬度的地方进行n次观测。,设卫星运行周期为T1，则有,物体处在地面上时有,解得：,在一天内卫星绕地球转过的圈数为,，即在日照条件下有n次经过赤道上空，所以每次摄像机拍摄的赤道弧长为,将T1结果代入得,例5.(2005广东卷)已知万有引力常量G,地球半径R,月球和地球之间的距离r,同步卫星距地面的高度h,月球绕地球的运转周期T1,地球的自转周期T2,地球表面的重力加速度g.某同学根据以上条件,提出一种估算地球质量M的方法：同步卫星绕地球作圆周运动,由,得,请判断上面的结果是否正确，并说明理由。如不正确，请给出正确的解法和结果。 请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。,答,(1)上面结果是错误的，地球的半径R在计算过程中不能忽略。,正确的解法和结果是：,得,（2）方法一：对月球绕地球作圆周运动，由,得,方法二：在地面重力近似等于万有引力，由,得,解析：根据题意，星体能绕其旋转，它绕“黑洞”作圆周运动的向心力，显然是万有引力提供的，据万有引力定律，可知“黑洞”是一个有质量的天体。,例6.天文学家根据天文观察宣布了下列研究成果：银河系中可能存在一个大“黑洞”，距“黑洞”60亿千米的星体以2000km/s的速度绕其旋转；接近“黑洞”的所有物质即使速度等于光速也被“黑洞”吸人，试计算“黑洞”的最大半径。,设黑洞和转动星体的质量分别为M和m，两者距离为R，利用万有引力定律和向心力公式列式：,GMmR2mv2R，,得到 GMv2R，,题中还告诉一个信息：即使是等于光速的物体也被“黑洞”吸入，据此信息，可以设想速度等于光速的物体恰好未被“黑洞”吸入，可类比近地卫星绕地球作圆周运动，,设“黑洞”半径为r, 用类比方法得到,GMc2r（c为光速），,所以rv2Rc22.7108m,例6.如图所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是：A.b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度； B.b、c的向心加速度大小相等,且大于a的向心加速度； C.c加速可追上同一轨道上的b，b减速可等候同一轨道上的c； D.a卫星由于某原因,轨道半径缓慢减小,其线速度将增大.,b,解：,因为b、c在同一轨道上运行,故其线速度大小、加速度大小均相等.又b、c轨道半径大于a的轨道半径,由,知,Vb=VcVa,故A选项错；由加速度a=GM/r2可知ab=acaa, 故B选项错。,当c加速时,c受到的万有引力Fmv2/r,故它将偏离原轨道做向心运动.所以无论如何c也追不上b,b也等不到c,故C选项错.,对C选项，不能用,来分析b、c轨道半径的变化.,对a卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，在转 动一段较短时间内，可近似认为它的轨道半径未变，视为稳定运行，由,知，r减小时V逐渐增大，故D选项正确。,例（04浙江）在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v0，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计火星大气阻力已知火星的个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T火星可视为半径为r0的均匀球体,V0,Vt,联立可得,解：以g/表示火星表面附近的重力加速度，M表示火星的质量,m表示火星的卫星的质量，m/表示火星表面处某一物体的质量,由万有引力定律和牛顿第二定律，有,着陆器做平抛运动,设vt表示着陆器第二次落到火星表面时的速度，它的竖直分量为v1，水平分量仍为v0，有,V1,例8. 2005年10月12日9时整，我国自行研制的“神舟六号”载人飞船顺利升空，飞行115小时32分绕地球73圈于17日4时33分在内蒙古主着陆场成功着陆，返回舱完好无损，宇航员费俊龙、聂海胜自主出舱，“神舟六号”载人航天飞行圆满成功.飞船升空后,首先沿椭圆轨道运行，其近地点约为200公里，远地点约为347公里。在绕地球飞行四圈后,地面发出指令，使飞船上的发动机在飞船到达远地点时自动点火，实施变轨，提高了飞船的速度.使得飞船在距地面340公里的圆轨道上飞行。,解:(1)由,和r=R0+h 得：,（2）如图所示若已知飞船的质量为M，飞船在Q点时通过发动机向后喷出一定质量气体使飞船速度增加而进入圆轨道，这时的运动速度大小v2 ，设喷出的气体的速度为u，质量为m，求：飞船在椭圆轨道上经Q点的速度v1及椭圆轨道Q点处的重力加速度。,（1）求在圆轨道上飞船的飞行速度v和 运行周期T(已知g0、R0),解析：由动量守恒得：,得出：,因为在Q点上的重力加速度由万有引力提供，则有：,得出：,（3）飞船在圆轨道上运行时,需要进行多次轨道维持.轨道维持就是通过控制飞船上的发动机的点火时间和推力,使飞船能保持在同一轨道上稳定运行.如果不进行轨道维持,飞船的轨道高度就会逐渐降低,在这种情况下,飞船的动能、重力势能和机械能变化的关系应该是 A动能、重力势能和机械能逐渐减小 B重力势能逐渐减小，动能逐渐增大,机械能不变 C重力势能逐渐增大，动能逐渐减小,机械能不变 D重力势能逐渐减小，动能逐渐增大,机械能逐渐减小,(D),（4）飞船绕地球飞行73圈后于16日9时57分收到返回信号，5时58分发动机制动点火，假设点火通过喷气使飞船做减速运动，飞船应向什么方向喷气?,答:飞船应该向前进的方向喷气，减少这一时刻的瞬时速度，使万有引力大于所需要的向心力，飞船开始做向心运动，实施返回计划。,（5）飞船在竖直向上发射升空阶段、进入轨道绕地球做匀速圆周运动阶段和返回地球竖直向下加速下降阶段，两名航天员分别处于什么状态： A超重、完全失重、失重 B超重、完全失重、超重 C超重、失重、完全失重 D失重、完全失重、超重,(A),3.综合力作用下的圆周运动问题,例9如图所示，在倾角=300的光滑斜面顶点处固定一原长L0=0.2m的轻质弹簧，弹簧另一端与放在光滑斜面上质量m=2Kg的物体C相连后，弹簧长度变为L1=0.25m.当斜面体连同物体C一起绕竖直轴AB转动时，求： （1）转速n=60转/分时，弹簧的长度是多少？ （2）转速为多少时，物体C对斜面恰好无压力？,解:由题意知mgsin=k(L1L0),代入数据得:k=200N/m,(1)对物体受力分析,TcosNsin=m2r, Tsin+Ncos=mg.设此时弹簧的长度为L,则T=k(LL0), r=Lcos,联立以上各式得,(2)C对斜面无压力时,即N=0,则T=mg/sin,此时弹簧长度,代入得,例10.(03江苏)如图（a）所示为一根竖直悬挂的不可伸长的轻绳，下端拴一小物块A，上端固定在C点且与一能测量绳的拉力的测力传感器相连已知有一质量为m0的子弹B沿水平方向以速度v0射入A内（未穿透），接着两者一起绕C点在竖直面内做圆周运动，在各种阻力都忽略的条件下测力传感器测得绳的拉力F随时间t的变化关系如图(b)所示已知子弹射入的时间极短，且图（b）中t0为A、B开始以相同速度运动的时刻，根据力学规律和题中（包括图）提供的信息，对反映悬挂系统本身性质的物理量（例如A的质量）及A、B一起运动过程中的守恒量，你能求得哪些定量的结果？,解析:,由图可直接看出，A,B一起做周期性运动，运动的周期T2t0,令m表示A的质量，L表示绳长，v1表示B陷入A内时即t=0时A,B的速度（即圆周运动最低点的速度）,v2表示运动到最高点时的速度，Fl表示运动到最低点时绳的拉力，F2表示运动到最高点时绳的拉力，,根据动量守恒定律，得m0v0（m0m)v1，,在最低点和最高点处运用牛顿定律,Fl (mm0)g=(mm0),F2(mm0)g(mm0),根据机械能守恒定律可得,2L(mm0)g=(mm0)v12(mm0)v22；,由图可知F2=0; F1=Fm,由以上各式可解得，反映系统性质的物理量是,;,A,B一起运动过程中的守恒量是机械能E，若以最低点为势能的零点，则E(mm0) v12,由式解得,例11.如图所示，有一质量为m的小球P与穿过光滑水平板上小孔O的轻绳相连，用手拉着绳子另一端，使小球在水平板上绕O点做半径为a、角速度为的匀速圆周运动.,求：（1）此时绳上的拉力有多大？,（2）若将绳子从此状态迅速放松，后又拉直，使小球绕O做半径为b的匀速圆周运动.从放松到拉直这段过程经历了多长时间？,（3）小球做半径为b的匀速圆周运动时，绳子上的拉力又是多大？,解析:（1）绳子上的拉力提供小球做匀速圆周运动的向心力，故有：F=m2a,（2）松手后绳子上的拉力消失，小球将从松手时的位置沿圆周的切线方向，在光滑的水平面上做匀速直线运动.当绳在水平板上长为b时，绳又被拉紧.在这段匀速直线运动的过程中小球运动的距离为,s=,如图所示,故t=s/v=,（3）将刚拉紧绳时的速度分解为沿 绳子的分量和垂直于绳子的分量.在 绳被拉紧的短暂过程中，球损失了沿绳 的分速度，保留着垂直于绳的分速度做匀速圆周运动.被保留的速度的大小为： v1=va/b=a2/b. 所以绳子后来的拉力为： F=mv21/b=m2a4/b3.,例12.(05上海)一水平放置的圆盘绕竖直固定轴转动,在圆盘上沿半径开有一条宽度为2mm的均匀狭缝.将激光器与传感器上下对准,使二者间连线与转轴平行,分别置于圆盘的上下两侧,且可以同步地沿圆盘半径方向匀速移动,激光器连续向下发射激光束.在圆盘转动过程中,当狭缝经过激光器与传感器之间时,传感器接收到一个激光信号,并将其输入计算机,经处理后画出相应图线.图(a)为该装置示意图,图(b)为所接收的光信号随时间变化的图线,横坐标表示时间,纵坐标表示接收到的激光信号强度,图中t1=1.0 10-3s,t2=0.810-3s (1)利用图(b)中的数据求1s时圆盘转动的角速度； (2)说明激光器和传感器沿半径移动的方向； (3)求图(b)中第三个激光信号的宽度t3,解:(1)由图线读得，转盘的转动周期T0.8s,角速度,(2) 由于脉冲宽度在逐渐变窄，表明光信号能通过狭缝的时间逐渐减少，即圆盘上对应探测器所在位置的线速度逐渐增加，因此激光器和探测器沿半径由中心向边缘移动,(3)设狭缝宽度为d，探测器接收到第i个脉冲时距转轴的距离为r1，第i个脉冲的宽度为ti，激光器和探测器沿半径的运动速度为v,r3r2r2r1vT,r2r1,r3r2,联立各式解得：,1.（04上海）火星有两颗卫星，分别是火卫一和火卫二，它们的轨道近似为圆。已知火卫一的周期为7小时39分。火卫二的周期为30小时18分，则两颗卫星相比 A.火卫一距火星表面较近。B.火卫二的角速度较大 C.火卫一的运动速度较大。D.火卫二的向心加速度较大 2.（04江苏）若人造卫星绕地球作匀速圆周运动，则下列说法正确的是 A.卫星的轨道半径越大，它的运行速度越大. B.卫星的轨道半径越大，它的运行速度越小 C.卫星的质量一定时,轨道半径越大,它需要的向心力越大 D.卫星的质量一定时,轨道半径越大,它需要的向心力越小,AC,BD,3.（04全国3）我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星。某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动。由天文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1,S1和S2的距离为r，已知引力常量为G。由此可求出S2的质量为 A B C D,D,B,5.（04北京春季）神舟五号载入飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度h=342km的圆形轨道。已知地球半径R=6.37103km，地面处的重力加速度g=10m/s2。试导出飞船在上述圆轨道上运行的周期T的公式（用h、R、g表示），然后计算周期T的数值（保留两位有效数字）。,解：设地球质量为M，飞船质量为m，速度为v，圆轨道的半径为r，由万有引力和牛顿第二定律，有,地面附近,由已知条件 r=R+h,解以上各式得,代入数值，得 T=5.4103s,6（04全国卷）把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周。由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得 A火星和地球的质量之比 B火星和太阳的质量之比 C火星和地球到太阳的距离之比 D火星和地球