对坐标的曲面积分的概念与性质.ppt

,一、对坐标的曲面积分的概念与性质,二、对坐标的曲面积分的计算法,三、两类曲面积分之间的联系,105 对坐标的曲面积分,有向曲面、,流向曲面一侧的流量,对坐标的曲面积分的定义、,对坐标的曲面积分的性质,计算公式,一、对坐标的曲面积分的概念与性质,有向曲面： 通常我们遇到的曲面都是双侧的曲面的方向可以用曲面上 的单位法向量n cosa , cosb , cosg的方向来确定 例如由方程zz(x, y)表示的曲面分为上侧与下侧，,在曲面的上侧cosg 0，,一、对坐标的曲面积分的概念与性质,有向曲面： 通常我们遇到的曲面都是双侧的曲面的方向可以用曲面上 的单位法向量n cosa , cosb , cosg的方向来确定 例如由方程zz(x, y)表示的曲面分为上侧与下侧，,在曲面的上侧cosg 0，,在曲面的下侧cosg 0,g (,一、对坐标的曲面积分的概念与性质,有向曲面： 通常我们遇到的曲面都是双侧的曲面的方向可以用曲面上 的单位法向量n cosa , cosb , cosg的方向来确定 例如由方程zz(x, y)表示的曲面分为上侧与下侧，在曲面的上 侧cosg 0，在曲面的下侧cosg 0,闭曲面分为内侧与外侧,类似地， 如果曲面的方程为yy(z, x)，则曲面分为左侧与右 侧，在曲面的右侧cosb 0，在曲面的左侧cosb 0,如果曲面的方程为xx(y, z)，则曲面分为前侧与后侧，在曲面 的前侧cos a0，在曲面的后侧cosa 0,流向曲面一侧的流量：,设稳定流动的不可压缩流体的速度场由 V(x, y, z) P(x, y, z) , Q(x, y, z) , R(x, y, z) 给出，S是速度场中的一片有向曲面，函数P(x, y, z)、 Q(x, y, z)、 R(x, y, z)都在S上连续，求在单位时间内流向S指定侧的流体的体 积，即流量m,V(x, y, z),显然在t时间内流过s 的是一个弯曲 的柱体,流向曲面一侧的流量：,对于S上的一个小块s，,它的体积近似于以s为底，而高为 (|V|t)cos(V,n)Vn t 的柱体的体积：Vn t S ，这里n cosa , cosb , cosg是s上的单 位法向量，S表示s的面积,V(x, y, z),显然在t时间内流过s 的是一个弯曲 的柱体,流向曲面一侧的流量：,对于S上的一个小块s，,它的体积近似于以s为底，而高为 (|V|t)cos(V,n)Vn t 的柱体的体积：Vn t S ，这里n cosa , cosb , cosg是s上的单 位法向量，S表示s的面积,所以单位时间内流向s 指定侧的流 体的流量近似于 V n S P(x, y, z)cosa Q(x, y, z)cosb R(x, y, z)cosg S ,流向曲面一侧的流量：,对于S上的一个小块s，单位时间内流向s 指定侧的流体的流 量近似于 V n S P(x, y, z)cosa Q(x, y, z)cosb R(x, y, z)cosg S ,舍去流体这个具体的物理内容，我们就抽象出如下对坐标的 曲面积分的概念,按对面积的曲面积分的定义，在单位时间内流向S指定侧的流量,对坐标的曲面积分的定义：,设S是空间内一个光滑的曲面，n cosa , cosb , cosg是其上 的单位法向量，V(x, y, z) P(x, y, z) , Q(x, y, z) , R(x, y, z)是确 定在S上的向量场如果下列各式右端的积分存在，我们定义,并分别称为P在曲面S上对坐标y、z的曲面积分， Q在曲面S上对 坐标z、x的曲面积分，R 在曲面S上对坐标y、z的曲面积分其中 P、Q、R叫做被积函数，S叫做积分曲面,以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分,三个对坐标的曲面积分之和的简记形式：,根据对坐标的曲面积分的定义，通过S流向指定侧的流量m可 表示为,如果S是分片光滑的有向曲面，我们规定函数在S上对坐标的 曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和,在分片光滑的曲面上对坐标的曲面积分：,对坐标的曲面积分的性质：,对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分类似的些性质 例如： (1)如果把S分成S 1和S2，则,(2)设S是有向曲面，S表示与S取相反侧的有向曲面，则,这是因为如果n cosa , cosb , cosg是S的单位法向量，则S上的 单位法向量是-n - cosa , - cosb , - cosg,二、对坐标的曲面积分的计算法,设积分曲面S由方程zz(x, y)给出，S在xOy面上的投影区域为 Dxy，函数zz(x, y)在Dxy上具有一阶连续偏导数，被积函数 R(x, y, z)在S上连续，则有,其中如果取曲面的上侧则积分前带正号，如果取曲面的下侧则积 分前带负号,这是因为,二、对坐标的曲面积分的计算法,设积分曲面S由方程zz(x, y)给出，S在xOy面上的投影区域为 Dxy，函数zz(x, y)在Dxy上具有一阶连续偏导数，被积函数 R(x, y, z)在S上连续，则有,其中如果取曲面的上侧则积分前带正号，如果取曲面的下侧则积 分前带负号,这是因为,二、对坐标的曲面积分的计算法,设积分曲面S由方程zz(x, y)给出，S在xOy面上的投影区域为 Dxy，函数zz(x, y)在Dxy上具有一阶连续偏导数，被积函数 R(x, y, z)在S上连续，则有,其中如果取曲面的上侧则积分前带正号，如果取曲面的下侧则积 分前带负号,类似地，如果S由xx(y, z)给出，则有,如果S由yy(z, x)给出，则有,问：如何确定积分前的符号？,W的整个表面的外侧，W=(x, y, z) |0xa，0yb，0zc ,解 把有向曲面S分成以下六部分：,S1：zc (0xa, 0yb)的上侧；,S2：z0 (0xa, 0yb)的下侧；,S3：xa (0yb, 0zc)的前侧；,S4：x0 (0yb, 0zc)的后侧；,S5：yb (0xa, 0zc)的右侧；,S6：y0 (0xa, 0zc)的左侧,除S3、S4外，其余四片曲面在 yO z 面上的投影为零，因此,例1,W的整个表面的外侧，W=(x, y, z) |0xa，0yb，0zc ,解 把有向曲面S分成以下六部分：,S1：zc (0xa, 0yb)的上侧；,S2：z0 (0xa, 0yb)的下侧；,S3：xa (0yb, 0zc)的前侧；,S4：x0 (0yb, 0zc)的后侧；,S5：yb (0xa, 0zc)的右侧；,S6：y0 (0xa, 0zc)的左侧,除S3、S4外，其余四片曲面在 yO z 面上的投影为零，因此,类似地可得,于是所求曲面积分为 (abc)abc,例1,在x0，y0的部分,解 把有向曲面S分成以下两部分：,S1和S2在xOy面上的投影区域都是 D x y ：x2y21(x0, y0),S2,S1,在x0，y0的部分,解 把有向曲面S分成以下两部分：,