riemann猜想漫谈(十三)

Riemann 猜想漫谈 (十三)作者：卢昌海在我们这Riemann猜想之旅的前面各节中，已先后介绍了Riemann函数的定义及其零点(尤其是非平凡零点)，非平凡零点与素数分布之间的关联，以及非平凡零点的计算(包括对其是否符合Riemann猜想的验证，以及数值计算)。沿着零点计算这一线索，我们介绍了人们对零点分布的统计研究，以及由此而发现的零点分布与物理之间出人意料的关联。这无疑是整个旅程中最令人惊叹的风景事实上，我之所以萌生出写作这一系列的念头，这段风景乃是主要原因之一，因此，可以说正是这段风景使得我们的整个旅程成为可能。看过了这段风景，现在让我们重新回到纯数学的领地中来。从纯数学的角度讲，对一个数学猜想最直接的研究莫过于是寻求它的证明(或否证)，对Riemann猜想也是如此。可惜的是，Riemann猜想却一直顽固地抗拒着这种研究，直到今天为止，也还没有任何人能在这种研究上取得被数学界公认的成功。因此，我们所能介绍的只是数学家们试图逼近Riemann猜想或者说逼近临界线的过程。读者们想必还记得，在前面各节中，我们曾经介绍过两个具有普遍意义的零点分布结果：一个是第五节中提到的Riemann函数的所有非平凡零点都位于复平面上0Re(s)1的区域内。这是Euler乘积公式的一个简单推论(参阅附录一)；另一个则是第七节中提到的Riemann函数的所有非平凡零点都位于复平面上0Re(s)1的区域(即临界带)内。这是在证明素数定理的过程中由Hadamard与delaValle-Poussin所证明的，比前一个结果略进了一步，时间则是1896年。这两个结果与Riemann猜想虽然还相距很远，但它们是普遍而严格的结果，适用于所有的非平凡零点，在这点上它们远远胜过了有关零点的所有数值计算。令人欣喜的是，在Hadamard与Valle-Poussin之后“仅仅”过了十八个年头，即1914年，数学家们在对Riemann函数零点分布的研究上就又取得了两个重大进展注一。取得这两个重大进展的数学家正是我们在旅程伊始提到过的Hardy，Bohr和Landau。在本节中我们先来介绍Bohr与Landau的工作，即Bohr-Landau定理。但在介绍Bohr-Landau定理之前，让我们先对零点分布的基本对称性做一个简单分析。我们在第八节的注释中曾经提到，Riemann函数在上半复平面与下半复平面的非平凡零点是一一对应的。具体地讲，这种一一对应是通过以s=1/2(即实轴与临界线的交汇点)为原点的反演对称性实现的。这种对应性可以由零点与Riemann函数非平凡零点相重合的辅助函数(s)所满足的关系式(s)=(1-s)(参阅第五节)看出来。除了这一反演对称性外，Riemann函数非的平凡零点分布还满足一个对称性，那就是关于实轴的反射对称性。这是由于(s)除满足(s)=(1-s)外，还满足一个关系式：(请读者自行证明)。由这两个对称性可以推知Riemann函数非平凡零点的分布相对于临界线也具有反射对称性。这些对称性的存在表明，要研究零点的分布，只需研究临界带的四分之一，即Re(s)1/2,Im(s)0的区域就行了。我们以前介绍过的零点计算就是针对这一区域的，下面要介绍的Bohr-Landau定理的表述也是如此。Bohr与Landau所证明的是这样一个定理注二：Bohr-Landau定理：如果|(s)|2在直线Re(s)=上的平均值对1/2有界，且对01/2一致有界，则对于任何0，位于Re(s)1/2+的非平凡零点在全部非平凡零点中所占比例为无穷小。在进一步讨论这一定理之前，我们先来解释或定义一下该定理所涉及的一些术语的含义。首先解释一下什么叫做“|(s)|2在直线Re(s)=上的平均值”。这个平均值是由来定义的。这个定义与函数平均值的普遍定义即函数在区间上的积分除以区间的长度是完全一致的。只不过由于Re(s)=的长度无限，因此在定义中涉及到一个极限。此外由于我们真正关心的是t很大的区域，因此积分下限的选择并不重要，为了避免(s)在s=1处的极点对定理的表述造成不必要的麻烦，我们选了一个非零的积分下限。其次，什么叫做|(s)|2在直线Re(s)=上的平均值“对1/2有界，且对01/2一致有界”？“对1/2有界”很简单，就是说对任何1/2，存在常数T0及C使得：对所有TT0成立。而“对01/2一致有界”则是说对任何01/2，存在与无关的常数T0及C，使得上式对所有0及TT0都成立。最后，“位于Re(s)1/2+的非平凡零点在全部非平凡零点中所占比例为无穷小”指的是位于Re(s)1/2+,0tT的非平凡零点的数目与位于Re(s)1/2,0tT的非平凡零点(即所考虑的临界带四分之一区域内0tT的全部非平凡零点)的数目之比在T时趋于零注三。做了这些解释或定义，我们就对Bohr-Landau定理的字面含义有了一些了解。它实质上是在|(s)|2的平均值与(s)的零点分布之间建立了一种联系。这种存在于复变函数的模与零点之间的关联并不鲜见，1899年，丹麦数学家JohanJensen(1859-1925)提出的Jensen公式(JensensFormula)及其推广PoissonJensen公式(PoissonJensenformula)就是一例，它把一个亚纯函数在一个圆域内的零点和极点与函数的模在圆域边界上的性质联系在了一起。这一公式也正是Bohr与Landau在证明他们的定理时所用到的主要公式。很明显，我们感兴趣的是Bohr-Landau定理中有关非平凡零点分布的叙述，即“对于任何0，位于Re(s)1/2+的非平凡零点在全部非平凡零点中所占比例为无穷小”。但是这一叙述是否成立还有赖于Bohr-Landau定理的前提，即“|(s)|2在直线Re(s)=上的平均值对1/2有界，且对01/2一致有界”的成立与否。幸运的是，这一前提可以证明是成立的。为了看到这一点，我们来分析一个比较简单的情形，即01的情形。用我们在上文提到的关系式(s)=(s)，及1时(+it)的级数展开式nn-it可得：|(+it)|2=(+it)(-it)=nmn-itm-+it。另一方面，由于01时(s)在s=1处的极点对计算没有影响，因此我们可以将|(+it)|2的平均值定义中的积分下限取为-T(相应的将1/(T-1)改为1/(2T)以利于计算积分(这里再次用到了(s)=(s)。将上面有关|(+it)|2双重求和表达式代入平均值的定义，并先交换积分与求和的顺序，再交换求和与极限T的顺序(请读者自行证明这样做的合理性)，可以发现只有m=n的项才对结果有贡献，而它们的贡献一致收敛于nn-2=(2)(也请读者自行证明)。这表明对所有01，Bohr-Landau定理中的前提都是成立的。当然，这样的简单证明不适用于1的情形(因为(+it)的级数展开式不再适用)，但我们可以注意到证明结果中的(2)对所有1/2都有意义。因此读者们也许会猜测到这一结果的适用范围可以由01拓展到01/2。事实也正是如此。可以证明，对于任何01/2及0，存在与无关的常数T0使得：对所有0及TT0都成立。这一结果显然表明(请读者自行证明)Bohr-Landau定理中的前提是成立的。这一点在Bohr-Landau定理之前就已经被证明，并出现在1909年出版的Landau的名著素数分布理论手册(HandbuchderLehrevonderVerteilungderPrimzahlen)之中。既然前提成立，那么Bohr-Landau定理的结论也就成立了。这样我们就得到了继Hadamard与Valle-Poussin之后又一个有关Riemann函数非平凡零点分布的重要结果：对于任何0，位于Re(s)1/2+的非平凡零点在全部非平凡零点中所占比例为无穷小。或者换句话说，在包含临界线的无论多小的带状区域内都包含了几乎所有的非平凡零点。看到这里，有些读者也许会问：既然包含临界线的“无论多小”的带状区域都包含了几乎所有的非平凡零点，那么通过将这个带状区域无限逼近临界线，我们是不是就可以把那些零点“逼”到临界线上，从而证明几乎所有的非平凡零点都落在临界线上呢？很遗憾，我们不能。事实上单单从Bohr-Landau定理所给出的描述中，我们不仅无法证明几乎所有的非平凡零点都落在临界线上，甚至无法证明哪怕有一个零点落在临界线上！零点的分布完全有可能满足Bohr-Landau定理所给出的描述，却没有一个真正落在临界线上(请读者想一想这是为什么)。这是数学中与无穷有关的无数微妙细节中的一个。但尽管如此，Bohr-Landau定理对非平凡零点分布的描述比十八年前Hadamard与Valle-Poussin所证明的结果还是要强得多。它虽然没能直接证明临界线上有任何零点(Hadamard与Valle-Poussin的结果也同样不能证明这一点)，但它非常清楚地显示出了临界线在非平凡零点分布中的独特地位，即它起码是Riemann函数非平凡零点的汇聚中心。这是一个沉稳而扎实的进展，数学家们正在一步步地逼近着临界线。注释1.当然，在1914年之前也曾有过一些值得一提的结果，比较著名的一个是芬兰数学家ErnstLindelf(1870-1946)于1908年提出的有关虚部t趋于无穷时|(+it)|渐进行为的猜想，即所谓的Lindelf猜想(Lindelfhypothesis)。1918年，Lindelf的学生RalfJosefBacklund(1888-1949)证明了Lindelf猜想等价于这样一个命题，即Riemann函数在复平面上1/2Re(s)1,TtT+1的非平凡零点的数目为N(,T)=o(lnT)。读者们可以对比第五节中Riemann三个命题中的第一个来思考一下这一猜想的含义。不过Lindelf猜想虽然远比Riemann猜想弱，其证明却出乎意料地困难，直到今天也还只是一个猜想(2019年曾有人提出过一个长达89页的证明，但后来被发现是错误的)，因此我们只在这里简略地提一下。2.这里我们所用的表述和Bohr与Landau所用的略有差异。他们的表述是针对(1-21-s)(s)的平均值而给出的。要练说，先练胆。说话胆小是幼儿语言发展的障碍。不少幼儿当众说话时显得胆怯：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。总之，说话时外部表现不自然。我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生。一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘无束地和我交谈。二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的机会，培养幼儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助和鼓励他把话说完、说好，增强其说话的勇气和把话说好的信心。三是要提明确的说话要求，在说话训练中不断提高，我要求每个幼儿在说话时要仪态大方，口齿清楚，声音响亮，学会用眼神。对说得好的幼儿，即使是某一方面，我都抓住教育，提出表扬，并要其他幼儿模仿。长期坚持，不断训练，幼儿说话胆量也在不断提高。课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取