平稳时间序列预测(1).ppt

第六章 平稳时间序列预测,第一节 平稳时间序列预测概念 第二节 最小均方误预测 第三节 条件期望预测 第四节 适时修正预测 第五节 指数平滑预测与ARMA模型,第一节 平稳时间序列预测的概念,返回本节首页,下一页,上一页,一、最小均方误差预测概念 二、平稳ARMA模型最小均方误预测的推导,第二节 最小均方误预测(正交投影预测),返回本节首页,下一页,上一页,一、最小均方误差预测概念,（若预测函数是线性的，则称线性最小均方误预测）,返回本节首页,下一页,上一页,返回本节首页,下一页,上一页,由于预测只能建立在到t时刻为止的可用信息的基础上， 因此，根据最小均方误预测的第二个准则，以及平稳可 逆序列可以表示成传递函数形式的论断，可以将预测值 表示成能够估计的项at，at-1，的加权和的 形式：,由上得以t为原点，向前l步的预测误差为：,由于at是白噪声，故有：,因此可得xt+l的最小均方误预测为：,预测误差为：,误差方差为：,由上推导可知， （1）最小均方误预测误差的方差和预测步长l有关，而和 预测的时间原点无关。 （2）预测步长l越大，预测误差的方差也越大，即预测的 准确性越差。,上述最小均方误预测公式中包含有无穷项求和，而在实际 中我们只可能有有限的数据，因此，只能用充分多项的有 穷和近似，即：,第三节 条件期望预测,一、条件期望预测的一般公式 二、用条件期望进行预测 三、ARMA(p,q)模型条件期望预测的一般结果 四、ARMA(p,q)条件期望预测的置信区间,返回本节首页,下一页,上一页,一、条件期望预测的一般公式,用公式表示如下：,返回本节首页,下一页,上一页,有关xt和at的条件期望有如下性质：,由于：,利用条件期望的性质，对上式两端求条件期望， 得xt+l 的条件期望预测为：,可见， xt+l 的条件期望预测和它的最小均方误预测是一致的。,二、用条件期望进行预测,1.AR(1)模型的条件期望预测(参见P130) 设xt适合如下AR(1)模型:,(1)以t为原点，向前一步预测公式(l=1),返回本节首页,下一页,上一页,(2) 向前二步预测公式(l=2),(3) 向前l步预测公式(l2),由上推导可见，对于l0，条件期望预测值 满足如下差分方程：,2、AR(2)模型的条件期望预测,设xt适合如下AR(2)模型:,(1)以t为原点，向前一步预测公式(l=1),(2) 向前二步预测公式(l=2),(3) 向前l步预测公式(l3),可见，当l1时，AR(2)预测值可由如下差分方程求出：,(预测值的一般解略),3、ARMA(1,1)模型的条件期望预测,设,(1) 向前一步预测 (l=1),(2) 向前二步预测 (l=2),(3) 向前l步预测公式(l2),可见，当l1时，ARMA(1,1)预测值也是由如下差分方程决定的。,解得：,由于：,所以：,因此：,4、MA(1)模型的条件期望预测,设,(1) 向前一步预测 (l=1),(2) 向前二步预测 (l=2),(3) 向前l步预测公式(l2),设：,（1）向前一步预测(l=1)：,对上式两端求条件期望得：,三、ARMA(p,q)模型条件期望预测的一般结果,返回本节首页,下一页,上一页,(2)向前二步预测公式(l=2),(3)向前l步预测公式(lp，且l q),(3)向前l步预测公式(lp，且l q),由推导可以看出，对于ARMA(p,q)模型的向 前l 步预测(lp，且l q)，预测结果满足如 下差分方程：,（预测值解的一般形式参见课本P134）,由解的一般形式可以看出，对于ARMA(p,q)模型，自回归部分 决定了预测函数的形式，而滑动平均部分则用于确定预测函数 中的系数。,预测举例：,例1：利用对zl14所建立的模型进行预测。 先对原序列零均值化， 然后建模如下：,已知：,解：,同理：,当 时，预测值满由模型自回归部分决定的差分方程：,解此差分方程即可求出预测函数。,前已证明，条件期望预测与最小均方误预测是一致的，因此，预测误差和误差方差也是相同的。 因此，条件期望的预测误差为：,四、ARMA(p,q)条件期望预测的置信区间,返回本节首页,下一页,上一页,预测误差的方差为：,其中：,l =1时的预测误差为：,于是有：,可见ARMA模型中白噪声项at其实就是以xt-1为原点， 向前一步预测误差。,预测误差和白噪声项的关系：,再由预测误差方差的公式得：,可见：向前一步预测误差的方差其实就是白噪声项的方差。,预测误差的置信区间：,对于正态过程，预测误差的分布为：,所以：对xt+l预测的95%的置信区间为：,因此：,根据预测置信区间的公式得：,可见：随着预测步长的加大，预测误差的置信区间也越大， 预测结果越不准确。,例1：zl14磨轮剖面数据，所建模型如下：,于是以t=250为原点，向前一步、二步、三步预测 的95%的置信区间分别为：,所以对于原序列，以t=250为原点向前一步，二步、三步 的预测分别为：,例2. 对ARMA21.wf1文件中的序列x建模如下：,已知：,模型的剩余平方和为260.04。,（1）求预测值,解：,a250未知，故需先将其求出。,由已知数据得：,同理：,因此：,（2）求预测值的95%的置信区间：,由ARMA(2,1)模型的格林函数得：,所以预测值的95%的置信区间为：,在Eviews中利用ARMA模型进行预测。 （1）Eviews中进行预测时的两个选项。 Dynamic动态预测。（含义） Static一步超前预测。（含义） 对于ARMA模型： 若对序列进行拟合分析(即追溯预测)，则选static。 若向前l步预测，则要选dynamic，并且要先对工作区间、样本区间进行调整如下： (1)expand first t+l (2)smpl t+1 t+l,具体操作见演示。,(2)通过Eviews计算预测置信区间。,例：根据磨轮剖面数据zl14.wf1， (1)建立模型。 (2)模型追溯预测分析。 (3)进行外推预测(l=3).,第四节 适时修正预测,一、问题的提出 二、适时修正预测公式,返回本节首页,下一页,上一页,一、问题的提出,返回本节首页,下一页,上一页,二、适时修正预测公式,1、适时修正预测公式的推导 （1）适时修正预测公式,返回本节首页,下一页,上一页,2、适时修正预测公式的推导：,综合上述推导，可得适时修正预测公式为：,上述公式说明：新的预测值是在旧的预测值 的基础上，加上一个修正项推算出来的，而 这一个修正项比例于旧的一步预测误差，比 例系数随着预测超前步数的变化而变化。,例：对于 zl14磨轮剖面数据，,解：,适时修正预测公式为：,所以：,第五节 指数平滑预测与ARMA模型,一、一次指数平滑预测的原理 二、ARIMA(0,1,1)模型的预测,返回本节首页,下一页,上一页,一、一次指数平滑预测的原理,一次指数平滑预测的基本公式为：,其中：01为平滑系数。,将上述公式展开得：,如此展开下去可得：,返回本节首页,下一页,上一页,设有ARIMA(0,1,1)模型如下:,将其表示成逆转形式得：,返回本节首页,下一页,上一页,二、ARIMA(0,1,1)模型的预测,上式即为:,对其作向前一步预测可得：,令1-=，上式可变为：,其中， = 1-1,由上述推导推可见： （1）一次指数平滑是ARIMA(0,1,1)模型预测的特例，且ARIMA模型提供了最优方式预测所需要的权数。 （2）ARIMA预测也是最小均方误预测，但一次指数平滑预测却不具有这种最优特性。 （3）对于ARIMA预测，仅对可逆过程才是有意义的，对于ARIMA(0,1,1)就是要求|1。 （4）只有原序列适合于ARIMA(0,1,1)模型时，采用一次指数平滑预测才是合适的。,所谓传递形式：就是将序列xt的当前值， 表示为当前冲击值at 与过去冲击值 at-i(i=1,2,3)的线性组