平均数、标准差与变异系数(5).ppt

第 3 章,平均数、标准差与变异系数,数据有两种变化趋势：集中趋势和离散趋势。 表示数据集中趋势的指标有多个，如平均数（算术平均数、几何平均数）、中位数、众数，使用最多的是算术平均数。 表示数据离散趋势的指标有多个，如极差、平均离差、方差与标准差，使用最多的是方差与标准差。,资料中各观察值的总和除以观察值的个数所得的商，称为算术平均数，简称为平均数或均数。用符号 表示。 平均数的意义： 平均数用来描述资料的集中性，即指出资料中数据集中较多的中心位置,常用于同类性质资料间的相互比较。,一、集中趋势,计算方法 1. 直接法 适用于样本含量较小的非频数资料 如果一个含量为n的样本，其n个观察值分别用x1、x2xn表示，则它们的平均数为 其中，（Sigma）为总和符号， 表示从第一个观察值x1累加到第n个观察值xn，若在意义上已明确时，简记为x。,常数的总和等于该常数的n倍，即 代数和的总和等于总和的代数和，即 总和符号内的常数因子可以提取到总和符号之外，即,其中C为常数,（a为常数）,关于总和符号的几个性质,2. 加权法 如果样本中有n1个x1，有n2个x2，那么，n1+n2个数的平均数是加权平均数。 同理： 各组的次数 fi 是权衡各组中值 xi在资料中所占比重大小的数量，因此f被称为是x的“权”，加权法也由此而得名。,在计算离散型频数资料的平均数时， 式中x为组值，f为频数，N为总频数（f），k为组数。,表3-1 50只小鸡出壳天数的频数分布表,在计算连续型频数资料的平均数时， 式中m为组中值，f、N和k同上式。,表3-2 某纯系蛋鸡200枚蛋重的频数分布表,=10695/200 =53.475,平均数有以下几个基本特性：,（1）平均数的计算与样本内每个值都有关，它的大小受每个值的影响。 （2）若每个xi都乘以相同的数k，则平均数亦应乘以k。 （3）若每个xi都加上（或减去）相同的数A，则平均数亦应加上（或减去） A。,中位数(median),将资料中所有观察值从小到大依次排列，处于中间位置的数。以Md表示。 适用条件 资料呈偏态分布或频数分布类型不明，以及一端或两端无确定数值,这种资料用中位数作为代表值比用算术平均数为好。 非频数资料，先将各观察值由小到大排列，当n为奇数时，第(n+1)/2位置的观察值即为中位数，即： Md =x (n+1)/2,其中：L中位数所在组的下限；i组距；f中位数所在组的频数；n总频数；c小于中数所在组的累积频数。,当n为偶数时， 和 位置的两个观察值之和的二分之一即为中位数，即： 若资料已分组，并编制成了频数分布表，可利用频数分布表计算中数。,例某地区有164人因沙门氏菌食物中毒，其潜伏期资料经整理如下表，试计算中位数。,众数（Mode）,资料中出现次数最多的那个数或频数最多一组的组中值，记为Mo。,fmax=24, Mo=22,50只小鸡出壳天数的频数分布表,Md=22,表3-2 某纯系蛋鸡200枚蛋重的频数分布表,=10695/200 =53.475,fmax=44, Mo=52.5,Md=53.35,几何平均数(Geometric mean),定义 指n个观察值乘积的n次方根。即 适用条件 主要应用于数据呈倍数关系或不对称分布的资料，算术平均数对这类资料的代表性差。如抗体效价（1：10，1：100，1：1000，1：10000）、增长率或生长率、动态发展速度等。,计算 1、应用公式计算（实际应用时常取对数）,例 海虾养殖试验，各旬的生长速度3.0，1.5 1.3，1.2，1.2，1.1，1.1，求海虾的旬平均生长速度。 解： 即海虾平均生长速度为1.38。 其算术平均数为,当资料编成频数分布表时， 各组组中值； 各组次数；,二、离散趋势,资料的另一方面的特征是变异程度。如： A 组资料： 3 、 4 、 5 、 6 、 7 平均数为： 5 B 组资料： 1 、 3 、 5 、 7 、 9 平均数为： 5 这里的平均数 5 对于 A 组资料的代表性好？还是对于 B 组资料的代 表性好？ 可见，只表明了数据的集中程度是远远不够的，还需要进一步说明数据的变异程度。只有通过变异程度的描述，才知道代表值的代表性。表示数据变异特征的数值叫变异数。常用的变异数有：极差、平均离差、方 差、标准差、变异系数等。,极差（全距） 极差 = 最大值 - 最小值 只利用了资料中最大值和最小值，不能准确表达资料中各个观察值的变异程度。 平均离差,它不能表示整个资料中所有观察值的总偏离程度,使用不方便，在统计学中未被采用,消除离均差的负号,离均差的平方之和（简称平方和，记为SS）,称为均方（缩写为MS），又称为样本方差，记为S2,标准差S,离均差,首先求出离均差，即每个数与它们的平均数之间的离差；然后将所有的离均差平方，再相加，得出离均差平方和；最后用n-1除离均差平方和（按照统计学理论，不要用样本含量n去除），所得的商称为样本方差，用符号s2表示。 方差s2是离均差平方的平均数。虽然方差在实际应用中用得最广泛，但因它的单位是原始数据单位的平方，所以它不能直接地指出某个数x与平均数之间的偏离究竟达到什么程度。为此，采用标准差s做标准，衡量x与平均数之间的离散程度。,自由度 (degree of freedom) ：统计学借此来反映一批变量的约束条件。 例如一个有 5 个观察值的样本，因为受到统计数的约束，在5个离均差中，只有4个数值可以在一定范围内自由变动取值，而第五个离均差必须满足这一限制条件。 自由度记作 DF ， 一般样本自由度等于观察值个数 ( n ) 减去约束条件的个数 ( k ) ，即 DF n k 。,样本方差,样本标准差,为了方便计算，将离均差平方和转化为另一种形式，同时略去下标，上式可表示为：,在计算离散型频数资料的标准差时， 式中x为组值，f为频数，N为总频数（f），k为组数。,在计算连续型频数资料的标准差时， 式中m为组中值，f、N和k同上式。,标准差的特性 （一）标准差的大小受资料中各观察值的影响，观察值间变异大的标准差也大，反之则小； （二）计算标准差时，各观测值加上或减去一个常数，标准差的值不变； (三)当每个观察值都乘以一个常数a时，所得的标准差是原来标准差的a倍,样本的方差为,总体的方差为,变异系数 Coeffcient of variation,资料的单位不同或平均数相差很大时，直接利用标准差比较资料间变异程度是不妥的，需用变异系数。 变异系数同标准差一样是衡量资料变异程度的统计量。变异系数消除了不同单位和平均数的影响，可以用来比较不同资料的相对变异程度。,变异系数是标准差与平均数的比，记为CV。 两个小麦