极限的运算法则-2.ppt

7/12/2019 6:25 PM,微积分讲义,设计制作,王新心,7/12/2019 6:25 PM,2.5 极限的运算法则,变量极限的四则运算法则,7/12/2019 6:25 PM,【定理 2.8】在某一变化过程中，,则,证,总有那么一个时刻，,刻以后，,也总有那么一个时刻，,第二章 极限与连续,在那个时,恒有,在那个时刻以后，恒有,中较晚的那个时刻以后，,在两时刻,两式同时成立，即,若,7/12/2019 6:25 PM,所以,证毕。,推论 两个无穷小量的代数和仍为无穷,第二章 极限与连续,小量。,到有限个，,说明 定理和推论中的“两个”都可以推广,但不能推广到无穷个。,7/12/2019 6:25 PM,【定理 2.9】在某一变化过程中，,则,证 利用变量极限与无穷小量的关系,其中,其中 均为无穷小量，,第二章 极限与连续,若,小量（为什么？），,则和仍为无穷,7/12/2019 6:25 PM,推论1 两个无穷小量的乘积仍为无穷,推论3 若 是正整数，则,说明 定理和推论中的“两个”都可以推广,第二章 极限与连续,小量。,到有限个，,但不能推广到无穷个。,7/12/2019 6:25 PM,【定理 2.10】在某一变化过程中，,则,（证明略）,说明 在应用极限运算法则时，,第二章 极限与连续,若,个变量的极限必须存在。,要求每一,7/12/2019 6:25 PM,多项式的极限,例1 计算,解,第二章 极限与连续,7/12/2019 6:25 PM,例2 计算,解 因为,所以,有理分式的极限,设 ，且 ，则,第二章 极限与连续,7/12/2019 6:25 PM,例3 计算,解 因为 ，,利用无穷小量与无穷大量之间的关系,先求,则,设 ，且,则,第二章 极限与连续,的运算法则。,不能直接用极限,7/12/2019 6:25 PM,解 由于分子和分母的极限不存在，,将分子和分母同除以未知数的最高次幂,例4 计算,第二章 极限与连续,直接应用极限的运算法则。,不能,7/12/2019 6:25 PM,例5 计算,解 方法同例4。,例6 计算,解 方法同例4。,第二章 极限与连续,7/12/2019 6:25 PM,当 时，有理分式的极限,说明 以后计算极限时可直接应用。,第二章 极限与连续,7/12/2019 6:25 PM,例7 计算,解 因为分子和分母的极限都为0，,由极限的定义，,约去极限为0的公因子,第二章 极限与连续,直接应用极限的运算法则。,不能,消去 的因子。,时， ，,分解因式,7/12/2019 6:25 PM,例8 计算,解 因为分子和分母的极限都为，,将分子有理化,将分子或分母有理化，再约去公因子,第二章 极限与连续,直接应用极限的运算法则。,不能,7/12/2019 6:25 PM,例9 计算,解 因为两个分式的极限都不存在，,先通分,先通分，再约去公因子,第二章 极限与连续,不能直接应用极限的运算法则。,7/12/2019 6:25 PM,例10 已知,计算,解,即,第二章 极限与连续,分段函数分点处的极限利用充要条件计算,7/12/2019 6:25 PM,内容小结,1.极限的运算法则,2.利用运算法则求极限,作业 P91 11-21,-几种特殊形式函数的极限,第二章 极限与连续,7/12/2019 6:25 PM,备用题,1.若 存在， 不存在，,是否存在，为什么？,解 不存在。,若存在，,由极限的运算法则知，,思考 本题条件改成 和 都不存,在，,第二章 极限与连续,问,存在，矛盾。,结论又如何？,7/12/2019 6:25 PM,2.计算,解,所以,思考 下列做法是否正确，为什么？,第二章 极限与连续,7/12/2019 6:25 PM,3.若 求 的值。,解 由于分式的极限存在，,即,将其代入已知极限中,得,第二章 极限与连续,为0，,而分母的极限,则分子的极限必为0。,7/12/2019 6:25 PM,4.计算,解 这是无穷个无穷小量的和，,第二章 极限与连续,运算法则。,不能用,7/12/2019 6:25 PM,5.设 ，,（1979）,解,第二章 极限与连续,求,7/12/2019 6:25 PM,6.设函数 ，,（1