(播放版)第13章非正弦周期电流电路和信号的频谱.ppt

2019年7月13日星期六,1,第十三章 非正弦周期电流电路和信号的频谱,主要内容,1. 非正弦周期信号及其分解复习傅里叶级数； 2. 非正弦周期信号的频谱、平均值、有效值、平均功率的概念和计算； 3. 非正弦周期信号稳态电路的分析法谐波分析法； 4. 对称三相电路的高次谐波。,2019年7月13日星期六,2,基本要求,(1)了解周期函数分解为傅里叶级数的方法和信号频谱的概念。 (2)理解周期量的有效值和平均值的概念，掌握周期量有效值的计算方法。 (3)掌握非正弦周期电流电路的谐波分析法和平均功率的计算，进一步了解滤波器的概念。,(1)非正弦周期电流电路的电流、电压的有效值、平均值； (2)非正弦周期电流电路的平均功率； (3)非正弦周期电流电路的计算方法(叠加定理、戴维宁定理和诺顿定理)。, 重点,2019年7月13日星期六,3, 难点,(1)叠加定理在非正弦周期电流电路中的应用；,(2)非正弦周期电流电路功率的计算。, 与其它章节的联系,本章主要讨论在非正弦周期电流、电压信号的作用下，线性电路的稳态分析和计算方法。,非正弦周期信号可以分解为直流分量和一系列不同频率的正弦量之和，对每一信号单独作用下的响应，与直流电路及交流电路的求解方法相同，应用叠加定理将各分量的响应叠加得最后结果，是前面内容的综合。,2019年7月13日星期六,4,13-1 非正弦周期信号,生产实际中，会碰到许多非正弦信号，原因有： 激励本身是非正弦信号； 在电气工程、电子信息、自动控制、计算机等技术领域中经常用到非正弦信号，例如交流发电机的输出电压严格地说是非正弦量。 电路中含有非线性元件。例如整流电路等。,不是正弦波； 按周期规律变化。, 非正弦周期交流信号的特点,f (t) = f (t + nT),2019年7月13日星期六,5,实践中常见的非正弦周期信号,T,2T,锯齿波,T,尖顶脉冲,T,整流波,数字电路、计算机的CP等,通过显像管偏转线圈的扫描电流,晶闸管的触发脉冲等,桥式或全波整流电路的输出波形,2019年7月13日星期六,6,实践中常见的非正弦周期信号（续）,正弦电压在铁心线圈中产生的电流波形,三角波,PWM调制器的时间基准信号波形,半波,T,阶梯波,由数字电路或计算机产生的正弦信号,整流波,T,T,2019年7月13日星期六,7,13-2 周期函数分解为傅里叶级数,1. 非正弦周期函数的分解 根据高等数学知识：若非正弦周期信号 f(t) 满足“狄里赫利条件”，就能展开成一个收敛的傅里叶级数。,系数 a0、ak、 bk 分别为：,f(t) = a0 +,akcos(k1t) + bksin(k1t),k=1,a0=,T,1,0,T,f(t) dt,ak=,T,2,0,T,f(t) cos(k1t) dt,bk=,T,2,0,T,f(t) sin(k1t) dt,2019年7月13日星期六,8,根据给定 f(t) 的形式，积分区间也可以改为：,积分区间也可以是 02p 或 -pp ，例如：,2019年7月13日星期六,9,展开式同时存在正弦项和余弦项，在进行不同信号的对比时不方便，而且数 ak、bk的意义也不明确。将展开式合并成另一种形式余弦级数： 令 ak= Akmcos k bk= -Akmsink,则 f(t) = A0+,k=1,Akmcos (k1t + k),式中： A0 = a0,Akm=,ak,2,+ bk,2,k = arctg,ak,-bk,2019年7月13日星期六,10, A0 是 f(t) 的恒定分量，,或称为直流分量。, k=1的项 Amcos(1t +1) 具有与 f(t) 相同的频率，称基波分量。 基波占f(t)的主要成分，基本代表了f(t)的特征。 k2的各项，分别称为二次谐波，三次谐波等。 统称高次谐波。,2019年7月13日星期六,11,2. 非正弦周期信号的频谱, f(t)中各次谐波的幅值和初相不同，为形象地反映一个周期函数分解为傅里叶级数后包含哪些频率分量，以及所占“比重”，引入振幅频谱和相位频谱的概念。 振幅频谱： f(t)展开式中Akm与 (=k1)的关系。 反映了各频率成份的振幅所占的“比重”，因 k是正整数，故频谱图是离散的，也称线频谱。 相位频谱：指k与 的关系。,2019年7月13日星期六,12,锯齿波的振幅频谱图, 今后若无说明，均指振幅频谱。,i(t) =,p,2I,cos(1t-90o) +,cos(21t+90o) +,cos(31t-90o) +,cos(41t+90o) + ,锯齿波的傅里叶级数展开式为,2019年7月13日星期六,13,3. 波形特征及其与级数分解的关系,(1)若f(t)为“镜”对称 满足 f(t) = - f(tT/2),则a2k = b2k = 0,移动半个周期，得另半个周期的镜像,知 A0是 f(t) 在一个周期内与横轴围成的面积。,由,所以即使 f(t)不是“镜”对称，只要它的正、负半周与横轴围成的面积相等，就有 A0 =0。另外，对某些 f(t)，求 A0时也可以不用积分。,无直流分量；,展开式中,不含偶次谐波。,又称奇谐函数。,2019年7月13日星期六,14,(2) 若f(t)是偶函数,即满足 f(t)= f(-t),(3) 若f(t)是奇函数,则 ak= 0，只求bk即可：,A0 =,T,2,0,f(t) dt,T/2,ak =,T,4,0,f(t) cos(k1t)dt,bk =,T,4,0,f(t) sin(k1t)dt,T/2,T/2,即满足 f(-t) = - f(t),则 bk= 0。,2019年7月13日星期六,15,(4)若 f(t)为半波对称,即满足 f(t) = f(tT/2), 对某些 f(t)，适当移动纵坐标(另选一个计时起点)，就变为偶函数或奇函数。 Akm与计时起点无关，k与计时起点有关，所以ak、bk与计时起点有关,T 是整流电源周期,即展开式中不含奇次谐波。,则a2k+1 = b2k+1 = 0,2019年7月13日星期六,16,例：求右图方波的傅里叶级数展开式及频谱。,矩形波电流在一个周期内的表达式为:,解：,i(t) =,Im ， 0tT/2,0 ， T/2tT,I0 =,T,0,i(t)dt,T,1,=,T,0,Im dt,T /2,1,=,2,Im,直流分量:,基波、谐波分量:,bk =,p,0,i(t) sin(kwt) d(wt),2p,1,=,p,0,Im sin(kwt) d(wt),p,1,=,0,k 为偶数,kp,2Im,k 为奇数,=,Im,kp,1-cos(kp),2019年7月13日星期六,17,ak =,p,0,Im cos(kwt)d(wt),p,1,=,Im,kp,sin(kwt),0,p,= 0,i(t) =,2,Im,(sint +,3,1,+,2Im,p,sin3t +,5,1,sin5t +,),代入,得 i(t) 的展开式为,(k为奇数),Ikm=,ak,2,+ bk,2,= bk =,kp,2Im,谐波振幅,2019年7月13日星期六,18,取到5次谐波的情况,实用中，根据展开式的收敛速度和误差要求取前几项，高次谐波可以忽略。,2019年7月13日星期六,19,矩形波的幅度频谱,矩形波的相位频谱,2019年7月13日星期六,20,13-3 有效值、平均值和平均功率,三角函数的性质, sin、cos在一个周期内的积分为0；,0,2p,coskwt d(wt) = 0,0,2p,cos2kwt d(wt) = p,sin2、cos2 在一个周期内的积分为p；,例如：, 正交性质 (kq),0,2p,coskwt sinqwt d(wt) =0,0,2p,coskwt cosqwt d(wt) =0,0,2p,sinkwt sinqwt d(wt) =0,2019年7月13日星期六,21,1. 有效值,为了找出有效值与各次谐波的关系，将展开式代入,I =,T,0,T,i2(t)dt,i2 = I0,2,+ 2I0,S,k=1,Ikmcos(kw1t+fk) + ,k=1,S,Ikmcos(kw1t +fk)2,定义式积分：,第一项,第二项,1,2019年7月13日星期六,22, 非正弦周期电流的有效值与各分量的关系为,(kq),2019年7月13日星期六,23,结论, 对非正弦周期电压,当給出的电流或电压是展开的级数形式时，可分别用以上两式计算有效值。,周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。,2019年7月13日星期六,24,2. 平均值,对同一非正弦量进行测量时，不同类型的仪表有不同的结果：,Iav,T,1,0,T,| i | dt,直流仪表(磁电系仪表)表针的偏转角,测量结果是,0,T,i dt,a,恒定分量A0。,交流仪表(电磁系仪表)表针的偏转角,测量结果是,0,T,i2 dt,a,有效值。,全波整流(磁电系)仪表表针的偏转角,测量结果是,0,T,| i |dt,a,平均值。,2019年7月13日星期六,25,3. 平均功率,平均功率直流分量的功率 + 各次谐波的平均功率。 式中， Uk 、Ik 是第 k次谐波的有效值；jk 是第 k次谐波电流与电压的相位差。,P =,T,1,0,T,ui dt,P = U0 I0 +,k=1,Uk Ikcosjk,因电流与电压的参考方向关联，故一端口吸收的瞬时功率为 p=ui。,所以平均功率为,利用三角函数的正交性,得,2019年7月13日星期六,26,13-4 非正弦电流电路的计算,分解；,计算；,叠加。,把给定电源的非正弦周期电流或电压作傅里叶级数分解。,利用直流和正弦交流电路的计算方法，对直流和各次谐波激励分别计算其响应。,将以上计算结果转换为瞬时值迭加。, 注意,交流各次谐波电路计算可应用相量法，迭加时必须用瞬时值；,L、C 对直流分量、各次谐波分量的“态度”是不同的：,XkL= kwL,XkC=,kwC,1,2019年7月13日星期六,27,例1,uS = 10+141.40cos(w1t)+47.13cos(3w1t) +28.28 cos(5w1t)+20.20 cos(7w1t) +15.71 cos(9w1t) + V, 试求 i 和P。,k = 0，C 有隔直作用,k = 1，基波作用,. Im(1)=,3 - j9.45,141.4,0o,解：分析步骤,分解；已是级数形式。,分别求各分量单独作,用的结果；,注意感抗、容抗与频,率的关系！,=14.26,72.39o A,P(1)= I(1),2,R =,2,1,Im(1),2,R,= 305.02W,所以 I0 = 0，P0 = 0,2019年7月13日星期六,28,同理可求得：,和 P(5)、P(7)、P(9)。,用叠加原理，按时域形式叠加,k = 3，,XC(3)=,3,1,XC(1),=,3,9.45,= 3.15W,. Im(3) =,3 - j3.15,47.13,0o,= 10.83,46.4o A,P(3)= I(3),2,R =,2,1,Im(3),2,R,= 175.93 W,. Im(5)、,. Im(7)、,. Im(9),i = 14.26cos(w1t+72.39o),P = P0 + P(1) + P(3) + +P(9), 注意：同频率的电压电流构成有功功率。,+ 10.83cos(3w1t+46.4o) + ,= 669.8W,2019年7月13日星期六,29,例2：已知u(t)是周期函数(波形如图), 求理想变压器原边电流i1(t)及输出电压u2的有效值。L=1/2 H , C=125/ F,解：, = 2/T = 2103 rad/s,u(t)=12+12cost,当u=12V作用时，电容开路、电感短路，有：,i1 = 12/8 = 1.5 A ,u2 = 0 。,当u=12cost 作用时：,XC = -1/C,= - 4 ,2103125 10-6,- ,=,2019年7月13日星期六,30,XL=L= 2103,2,10-3,=1,XC = - 4 ,. I1m =,j4,. U1m,=,12,0o,j4,= - j3 A,. U1m =,. Um,0o V,. U2m =,n,1,. U1m,= 6,0o V,U2 =,= 12,6,= 4.243V ,i1 =1.5 + 3cos(t -90o) A,副边阻抗j1 折算到原边为j4。(Zeq=n2ZL),发生并联谐振,2019年7月13日星期六,31,例3：已知,求Uab、i 及功率表的读数。,解：,三次谐波作用：,4402 + 1002,=,Uab,= 451.22V,一次谐波作用：,. Uab(1)= 440,0o V,. I(1) =,60+j20,440,=,6.96,-18.4o A,. Uab(3)= 100,30o V,. I(3) =,60+j60,= 1.18,-15o A,100,30o,i =6.96,cos(3t-15o)A,+1.18,P = 2206.96 cos18.4,测量的是u1的功率,= 1452.92W,cos(t-18.4o),2019年7月13日星期六,32,例4：已知 L=0.1H，C3=1F，电容C1中只有基波电流，电容C3中只有三次谐波电流，求C1、C2和各支路电流。 给定,iS=5+20cos1000t+10cos3000t A。,解： C1、C3“有隔直通交”的作用，所以i2、i3中不含直流分量。,I1(0)=5A,C1中只有基波电流，说明 L和 C2对三次谐波发生并联谐振：,I2(0)= I3(0)=0，,C2 =,w2L,1,=,9,10,mF,C3中只有三次谐波电流，说明L、C1、C2对基波发生串联谐振：,jwC1,1,+,j(wL-1/wC2),L/C2,= 0,C1 =,9,80,mF,2019年7月13日星期六,33,基波作用时发生串联谐振,i2(1)=20cos1000t A,i1(1)= i3(1)= 0,三次谐波作用时发生并联谐振,. I3m(3) =,100+200-j103/3,10010,=,9-j10,30,= 2.23,48o A,. I1m(3)=,. IS(3)-,. I3m(3),-11o A,iS=5+20cos1000t+10cos3000t A,i2(3)= 0。,Z1(3)= 100 ,Z3(3)= 200 - j,3,103,=8.67,2019年7月13日星期六,34,iS=5+20cos1000t+10cos3000t A,直流作用时,I1(0)=5A，I2(0)= I3(0)=0,基波作用时,i2(1)=20cos1000t A,i1(1)= i3(1)= 0,三次谐波作用时的瞬时值,i3(3)=2.23cos(3000t+48o)A,i1(3)=8.67cos(3000t-11o)A,按时域形式叠加：,i1=5+8.67cos(3000t-11o)A,i2=20cos1000t A,i3=2.23cos(3000t+48o)A,. I3m(3),三次谐波作用时,= 2.23,48o A,. I1m(3)=8.67,-11o A,i2(3)= 0。,2019年7月13日星期六,35,*13-5 对称三相电路的高次谐波,设 A相电压,则 uB=u(wt-120o),由于三相发电机每相电压或电流总是奇谐函数，,uC=u(wt+120o),所以傅里叶级数展开式中不含偶次谐波。,三相发电机、变压器、电动机等都带有铁心，所以由它们组成的对称三相电路，其电压、电流都可能含有高次谐波分量。,uA=u(wt),2019年7月13日星期六,36,1. 分析以uA、 uB、uC为例的展开式(k为奇数)：,注意到三角函数的周期性， 展开式可以整理为,uA =Um1cos(w1t+f1)+Um3cos(3w1t+f3)+Um5cos(5w1t+f5),+Um7cos(7w1t+f7) + + Um(k)cos(kw1t+fk),uB =Um1cos(w1t-120o+f1)+Um3cos(3w1t-360o+f3),+Um5cos(5w1t-600o+f5)+Um7cos(7w1t-840o+f7 ),uC =Um1cos(w1t+120o+f1)+Um3cos(3w1t+360o+f3),+Um5cos(5w1t+600o+f5)+Um7cos(7w1t+840o+f7 ),+ + Um(k)cosk(w1t-120o)+fk),+ + Um(k)cosk(w1t+120o)+fk),2019年7月13日星期六,37,uA =Um1cos(w1t+f1) + Um3cos(3w1t+f3),+Um5cos(5w1t+f5) + Um7cos(7w1t+f7) + ,uB =Um1cos(w1t-120o+f1) + Um3cos(3w1t+f3),+Um5cos(5w1t+120o+f5)+Um7cos(7w1t-120o+f7 ) + ,uC =Um1cos(w1t+120o+f1) + Um3cos(3w1t+f3),+Um5cos(5w1t-120o+f5)+Um7cos(7w1t+120o+f7 ) + ,讨论(n=0,1,2,3, )：,基波、7次、(k=6n+1)次谐波分别是正序对称的三相电压，构成正序组； 5次、11次、(k=6n+5)次谐波分别构成负序组；,3次、9次、(k=6n+3) 次谐波分别构成零序组。,2019年7月13日星期六,38, 结论,三相对称的非正弦周期量(奇谐波)可以分解为3类对称组，即正序对称组、负序对称组和零序对称组。,分析计算时，按 3 类对称组分别进行。对于正序和负序对称组，可直接引用第12章的方法和有关结论。,2019年7月13日星期六,39,(1)对称的电源,零序组电压源等幅同相,k=3,9,15, k=6n+3,. UA(k)=,. UB(k)=,. UC(k)=,. US(k),在三