北大附中高考数学专题复习三角函数.docx

学科：数学教学内容：三角函数(上)【考点梳理】一、考试内容1.角的概念的推广，弧度制，0360间的角和任意角的三角函数。同角三角函数的基本关系。诱导公式。已知三角函数的值求角。2.用单位圆中的线段表示三角函数值。正弦函数的图像和性质。余弦函数的图像和性质。函数y=asin(x+)的图像。正切函数、余切函数的图像和性质。3.两角和与差的三角函数。二倍角的正弦、余弦、正切。半角的正弦、余弦、正切。三角函数的积化和差与和差化积。4.余弦定理、正弦定理。利用余弦定理、正弦定理解斜三角形。5.反正弦函数、反余弦函数、反正切函数与反余切函数。6.最简单的三角方程的解法。二、考试要求1.理解弧度制的意义，并能正确地进行弧度和角度的换算。2.掌握任意角的三角函数的定义，三角函数的符号，三角函数的性质，同角三角函数的关系式与诱导公式，了解周期函数和最小正周期的意义。会求函数y= asin(x+)的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角代数式的周期。能运用上述三角公式化简三角函数，求任意角的三角函数值与证明较简单的三角恒等式。3.了解正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的图像的画法，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y= asin(x+)的简图，并能解决与正弦曲线有关的实际问题。4.能推导并掌握两角和、两角差、二倍角与半角的正弦、余弦、正切公式。5.了解三角函数的积化和差与和差化积公式，不要求记忆。6.能正确地运用上述公式化简三角函数，求某些角的三角函数值，证明较简单的三角恒等式以及解决一些简单的实际问题。7.掌握余弦定理、正弦定理及其推导过程，并能运用它们解斜三角形。8.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图像得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题。9.掌握最简单的三角方程的解法。三、考点简析1.三角函数相关知识关系表2.终边相同的角、区间角与象限角（1）终边相同的角是指与某个角具有同终边的所有角，它们彼此相差2k(kz)，即|=2k+，kz，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。（2）区间角是介于两个角之间的所有角，如|=，。（3）象限角，的终边落在第几象限，就称是第几象限角。（4）、2之间的关系。若终边在第一象限则终边在第一或第三象限；2终边在第一或第二象限或y轴正半轴。若终边在第二象限则终边在第一或第三象限；2终边在第三或第四象限或y轴负半轴。若终边在第三象限则终边在第二或第四象限；2终边在第一或第二象限或y轴正半轴。若终边在第四象限则终边在第二或第四象限；2终边在第三或第四象限或y轴负半轴。3.三角函数线三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法。利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便。4.函数y= asin(x+)（a，0）的性质（1）定义域是r；（2）值域a，a；（3）单调区间：在区间，（kz）上是增函数；在区间，（kz）上是减函数；（4）奇偶性：当=k+时是偶函数，当=k时是奇函数，当时是非奇非偶函数（kz）；（5）周期性：是周期函数且最小正周期为t=；（6）对称性：关于点（，0）中心对称，关于直线x=轴对称。5.函数图像变换理论（1）函数y=f(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y轴对称；（2）函数y=f(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于x轴对称；（3）函数x=f(y)的图像与函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称；（4）函数x=f(y)的图像与函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称； （5）函数y=f(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于原点（0，0）对称；（6）函数y=f(x+p)(p0)的图像是将函数y=f(x)的图像向左平移p个单位而得；（7）函数y=f(xp)(p0)的图像是将函数y=f(x)的图像向右平移p个单位而得；（8）函数y=f(x)+q的图像是将函数y=f(x)的图像向上或向下平移|q|个单位而得，当q0时，向上，q0)的图像是将函数y=f(x)的图像上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）；（10）函数qy=f(x)(q0)即y=f(x)的图像是将函数y=f(x)的图像上各点的纵坐标变为原来的（横坐标不变）。6.三角函数公式内在联系7.常用的三角恒等式（1）sin2sin2=sin(+)sin()（2）cos2cos2=sin()sin(+)（3）cos+cos+cos=（4）sin3=3sin4sin3（5）cos3=4cos33cos（6）sin2(+)=cos2+cos22coscoscos(+)（7）sin+sin(+)+sin(+)=0（8）sin2+sin2 (+)+sin2 (+)= （9）sin3+sin3 (+)+sin3 (+)= sin3（10）cos3+cos3 (+)+cos3 (+)=cos3（11）sin6+cos6=+cos4（12）sin()sin()+sin()sin()+sin() sin()=0（13）sin+sin+sinsin(+) =4sinsinsin（14）cos+cos+cos+cos(+) =4coscoscos（15）tantan2+tan2tan3+tan(n1)tann=n8.在abc中常用的恒等式（1）tana+tanb+tanc=tanatanbtanc（2）cotacotb+cotbcotc+cotccota=1（3）tantan+tantan+tantan=1（4）+=1（5）sina+sinb+sinc=4coscoscos（6）cosa+cosb+cosc=1+4sinsinsin9.三角形中的公式（1）正弦定理： =2r（2）余弦定理：a2+b2c2=2abcoscb2+c2a2=2bccosac2+a2b2=2cacosb正弦定理、余弦定理沟通了角与边的关系，可使边转化为角，也可使角化为边。（3）三角形的面积公式，设abc的面积为，则=absinc=bcsina=acsinb=2r2sinasinbsinc=pr其中p为abc周长的一半，即p=(a+b+c),r与r分别为abc的外接圆与内切圆的半径。（4）若在abc中，三边a、b、c成等差数列，则有下列结论：a+c=2bsina+sinc=2sinbcos=2cos（4）tantan=（5）0sin，那么下列命题成立的是（ ）a.若、是第一象限角，则coscosb.若、是第二象限，则tantanc.若、是第三象限角，则coscosd.若、是第四象限角，则tantan（2）下列命题中正确的是（ ）a.y=tanx是增函数b.y=sinx在第一象限是增函数c.y=arccosx是奇函数d.y=sinx的反函数是y=arcsinx（3）函数y=sin(2x+)的图象是由函数y=sin2x的图像（ ）a.向左平移单位b.向右平移单位c.向左平移单位d.向右平移单位解析 （1）当，（0，）时，由sinsin得，此时cossin得,，此时tansin得，此时cossinsin2sin21cos2cos2tan2tan2 tan0,tantan。故答案选d。（2）y=tanx在每一个定义区间上都是增函数，但在其定义域内并不是增函数；y=sinx在第一象限的每个区间上都是增函数，但在第一象限上并不是增函数；y=arcsinx只是y=sinx，x,的反函数；令f(x)= arccosx,则f(x)= arccos(x)=arccosx= f(x)所以y=arccosx是奇函数。故答案选c。（3）y=sin2x图像向左平移单位后得:y=sin2(x+)=sin(2x+);y=sin2x图像，向右平移单位后得y=sin2(x)=sin(2x);y=sin2x图象向左平移单位后得：y=sin2(x+)=sin(2x+)=sin(2x);y=sin2x图像向右平移单位后得：y=sin2(x)=sin(2x)=sin(2x+)，故答案选d。例2 已知函数f(x)=tan(sinx)（1）求f(x)的定义域和值域；（2）在（，）中，求f(x)的单调区间；（3）判定方程f(x)=tan在区间（，）上解的个数。解 （1）1sinx1 sinx。又函数y=tanx在x=k+(kz)处无定义，且 （，）,（, ），令sinx=，则sinx=解之得：x=k (kz)f(x)的定义域是a=x|xr，且xk，kztanx在（，）内的值域为（，+），而当xa时，函数y=sinx的值域b满足（，）bf(x)的值域是（，+）。（2）由f(x)的定义域知，f(x)在0，中的x=和x=处无定义。设t=sinx，则当x0, )（，）（，）时，t0, (,，且以t为自变量的函数y=tant在区间（0，），（，上分别单调递增。又当x0，时，函数t=sinx单调递增，且t0, 当x（，时，函数t=sinx单调递增，且t（, 当x，时，函数t=sinx单调递减，且t（, 当x（，）时，函数t=sinx单调递减，且t（0，）f(x)=tan(sinx)在区间0，,（,上分别是单调递增函数；在上是单调递减函数。又f(x)是奇函数，所以区间（，0，也是f(x)的单调递增区间是f(x)的递减区间。故在区间（，）中,f(x)的单调递增区间为：，（，），（，单调递减区间为。（3）由f(x)=tan得：tan(sinx)=tan()sinx=k+ （kz）sinx=k+(kz)又1sinx1，k=0或k= 1当k=0时，从得方程sinx=当k=1时，从得方程sinx= +显然方程sinx=,sinx= +，在（, ）上各有2个解，故f(x)=tan在区间（，）上共有4个解。注 本题是正弦函数与正切函数的复合。（1）求f(x)的定义域和值域，应当先搞清楚y=sinx的值域与y=tanx的定义域的交集；（2）求f(x)的单调区间，必须先搞清f(x)的基本性质。如奇偶性、周期性、复合函数单调性等。例3 化简下列各式(1)cos3a+cos3(+a)+cos3(a);(2) +。 解 （1）由三倍角公式cos3=4cos33cos得：原式=cos3a+cosa+cos3（+a）+cos（+a）+cos3（a）+cos（a）=cos3a+cos3a+cos3a+ cosa+cos(+a)+cos(a)cosa+cos(+a)+cos(a)=cosa+2coscosa=0原式=cos3a(2) = = =cotcot2+=cotcot2+cot2cot4+cot4cot8+cot32cot64=cotcot64=注 本题（1）主要是降幂，通过降幂达到化简的目的。（2）利用裂项法求和。三角函数中最好记住一些简单的常用结论。如：=cotcot2,cosa+cos（+a）+cos（a）=0,cos2a+cos2(+a)+cos2(a)=等。这样既可提高运算速度又可产生联想的火花。例4 已知:sin3+cos3=1，求sin+cos; sin4+cos4;sin6+cos6的值。解法一 令sin+cos=t，则sincos=sin3+cos3=(sin+cos)(sin2sincos+cos2)=t(1)=1，得：t33t+2=0(t1)2(t+2)=0t2 t=sin+cos=1，且sincos=0。sin4+cos4=(sin2+cos2)2 2sin2cos2=120=1sin6+cos6=(sin2+cos2)(sin4sin2cos2+cos4)=1解法二 sin3sin2,cos3cos2sin3+cos3sin2+cos2=1等号当且仅当时成立，或sin+cos=sin4+cos4=sin6+cos6=1注 （1）凡是遇到sinx+cosx与sinxcosx类的问题，均应采用换元法，令sinx+cosx=t，得sinxcosx=。（2）三角中的恒等变形与初中所学整式的恒等变形结合是解本题的关键所在。（3）本题还可推广到一般情形：若k2且sin2k1+cos2k1=1，则sin=1，cos=0或sin=0,cos=1，若sin2k+cos2k=1，则sin=1，cos=0或sin=0,cos=1。例5 （1）已知sin(+)sin()=, (,)，求sin4；（2）已知cos(x+)=,x，求的值。解 （1）+=sin()=cos(+)sin(+)sin()=sin(+)cos(+)=sin(+2)= cos2= 又22,cos2=,sin2= sin4=2sin2cos2= 本题也可以这样解：sin(+)sin()=（sin+cos）(cossin)= cos2sin2=cos2=也可以用积化和差公式：sin(+)sin()= (cos2cos)= cos2=（2）法一:由x+(,2)知sin(x+)= cosx=cos(x+)=cos(x+)cos+sin(x+)sin= 由cosx0可知，xf()证明 tanx1+ tanx2=+=x1,x2（0，），且x1x22sin(x1+x2)0,cosx1cosx20,0cos(x1x2)1从而有0cos(x1+x2)+cos(x1x2)=2tan另证：以上是采用化弦，放缩后利用公式tan=加以证明的，也可以利用正切的和差角公式加以证明。左边右边=tanx1+tanx2tan= tanx1tan+tanx2tan=tan(x1)(1+tanx1tan)+tan(x2)(1+tanx2tan)=tan(1+tanx1tan1tanx2tan)=tantan(tanx1tanx2)(0, ) tan0又tan和tanx1tanx2在x1x2时，同为正，在x10。综上tantan(tanx1tanx2)0，即f(x1)+f(x2)f()注 在三角函数恒等式、条件等式、不等式证明中，常采用化弦法。本题解法一是化弦，了解决把两个分数的单角转化为和角，同时又使函数值适当缩小。例7 已知三角形abc的三边a、b、c和对应的三内角a、b、c满足条件：atana+btanb=(a+b)tan求证：abc是等腰三角形。证明 由atana+btanb=(a+b)tan得：a(tanatan)=b（tantanb）化弦得：a=b两边约去cos，及正弦定理把a,b换成sina,sinb，则上式变为sin=sinsin(tanatanb)=0所以,tana=tanb或者sin=0由这两个式子都可以得到a=b，因此abc为等腰三角形。注 （1）三角形中的计算和证明是三角函数的一个重要课题，这里除了应用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，三个内角的互补关系和它们半角之间的互余关系之外，还有一些独特的解题思路和方法，其中把角的函数化成边或把边化成角的函数是最基本也最常用的方法。（2）在三角形中有不少有趣的关系式，如:tana+tanb+tanc=tanatanbtanccot+cot+cot=cotcotcottantan+tantan+tantan=1sina+ sinb+ sinc=4coscoscoscosa+ cosb+ cosc=1+4sinsinsinsina+sinb+sincsinasinbsinccosa+cosb+cosccosacosbcoscsin+sin+sinsinsinsin熟悉这些关系式常常会给解某些与三角形有关的题目带来一些方便。例8 如图，a、b是一矩 oefg边界上不同的两点，且aob=45,oe=1,ef=，设aoe=.（1）写出aob的面积关于的函数关系式f();（2）写出函数f(x)的取值范围。解 （1）oe=1，ef=eof=60当0，15时，aob的两顶点a、b在e、f上，且ae=tan,be=tan(45+)f()=saob=tan(45+)tan=当a（15,45时，a点在ef上，b点在fg上，且oa=，ob=saob=oaobsin45=sin45=综上得：f()= （2）由（1）得：当0，时f()= ,1且当=0时，f()min= =时，f()max=1当时,2f（）=,且当=时，f() min=当=时，f() max=所以f(x) ,。注 三角函数与其他数学知识有着紧密的关系，它几乎渗透了数学的每一个分支。练习时注意三角函数的综合应用。例9 已知函数y=cos2x+sinxcosx+1 （xr）,（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图像可由y=sinx(xr)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解 （1）y=cos2x+sinxcosx+1= (2cos2x1)+ +（2sinxcosx）+1=cos2x+sin2x+=(cos