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文档简介

Ch4 二次型,如,如,在平面解析几何中,配方得:,在空间解析几何中,配方:,为椭圆.,为球面.,对二次曲线及二次曲面的研究,二次型不仅在几何中出现,二次曲线的一般方程为:,令,得,发展了二次型的理论。,在数学的其它分支,以及工程技术,和经济管理的许多问题中也常常遇到.,二次曲面的一般方程为:,定义4.1 只含有二次项的n元多项式,称为 的一个n 元二次型,令aij=aji ,则二次型可写为：,(一)二次型及其矩阵,简称为二次型.,令,其中,A为对称矩阵.,对称矩阵A称为,例如二次型,它的矩阵为,矩阵A的秩称为,例如二次型,此二次型的矩阵为,是对称矩阵.,又如二次型,此二次型的矩阵为,是对称矩阵.,的矩阵为,此二次型的矩阵为,二次型,对称矩阵,的矩阵为,反之，,设A是任一对称矩阵,故二次型可以用矩阵的形式表示：,对称矩阵A为,=,二次型,对称矩阵A,二次型,二次型 的矩阵,为矩阵A对应的二次型,例如对称矩阵,=,=,又如,又如:,A为对称矩阵,A对应的二次型为:,A对应的二次型为:,给定一个n 元二次型,反之,给定一个n 阶对称矩阵A,二次型和对称矩阵一一对应.,就可得到唯一的,n 阶对称矩阵A,A为该二次型的矩阵,二次型可写为,就可得到唯一的,A就是此二次型的矩阵。,A的秩称为该二次型的秩。,n元二次型,在平面解析几何中,所表示的曲线的性态，,使曲线方程化为标准形,作转轴变换,方程化为：,整理得,此方程只含x,y 的平方项,从x,y到x,y的线性替换,（二）线性替换,是双曲线.,为了了解二次方程,通常利用转轴变换,标准形,定义4.2 设两组变量,称为由变量,线性替换(4.3)可以用矩阵形式表示,C称为线性替换(4.3)的矩阵,(4.3),和,具有如下关系,的线性替换.,到,(4.3)称为非退化的线性替换.,此时C-1存在,当C是正交矩阵时,称为线性替换 x=Cy 的逆替换.,称线性变换 x=Cy,为正交替换.,例如转轴变换,为由变量x,y 到 x,y 的线性替换.,此线性替换是正交替换.,其逆变换也是正交替换.,是正交矩阵,此线性替换也是非退化线性替换,Q可逆,其逆变换为,给定二次型,设该二次型经过非退化线性替换,化为:,证:,在上式中，矩阵B仍为对称矩阵，Y是以B为矩阵的二次型，两个二次型的秩相等。A和B之间的关系是什么呢？,定义4.3 设A,B是两个n 阶矩阵,定理 经过非退化线性替换,如果存在n 阶,使得 CTAC=B 成立,则称矩阵A与B合同,原二次型的矩阵与新二次型,的矩阵合同。,A与B合同,记为,A与B相似记为,存在可逆矩阵C,使得,存在可逆矩阵P, 使得,如果C是正交矩阵,则,此时若 B=CTAC,则B与A既相似又合同.,可逆矩阵C,记为,它具有如下性质：,证 (1),C1和C2都可逆,（1）反身性：对任意方阵A，有,（2）对称性
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