信号与系统教案第2章.ppt

信号与系统,第二章 连续系统的时域分析,授课教师：吕晓丽,第二节总结,总 结 1、LTI系统的判定方法 线性性质 时不变性质 2、 LTI系统的分类 因果系统 稳定系统 3、系统的描述 系统框图与系统方程,信 号 分 析,连续信号,离散信号,抽样,时域：信号分解为冲激信号的线性组合,频域：信号分解为不同频率正弦信号的线性组合,复频域：信号分解为不同频率复指数的线性组合,时域：信号分解为单位脉冲序列的线性组合,频域：信号分解为不同频率正弦序列的线性组合,复频域：信号分解为不同频率复指数的线性组合,第二章 连续系统的时域分析,LTI系统的响应 冲激响应和阶跃响应 卷积积分 卷积积分的性质,2.1 LTI连续系统的响应,连续LTI系统用N阶常系数线性微分方程描述,ai 、 bj为常数。,线性时不变(LTI)系统的描述,如何求解？,经典时域分析方法 卷积法,2.1 LTI连续系统的响应,一、经典时域分析方法(微分方程经典解),微分方程的全解即系统的完全响应, 由齐次解yh(t)和特解yp(t)组成,齐次解yh(t)的形式由齐次方程的特征根确定,特解yp(t)的形式由方程右边激励信号的形式确定,例 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程 初始条件y(0)=1, y (0)=2, 输入信号f (t)=e-t(t)，求系统的完全响应y(t)。,特征根为,齐次解yh(t),解: (1) 求齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t),特征方程为,t0,例 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程 初始条件y(0)=1, y (0)=2, 输入信号f (t)=e-t (t)，求系统的完全响应y(t)。,解: (2) 求非齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t) = f(t)的特解yp(t),由输入f (t)的形式，设方程的特解为,yp(t) = Pe-t,将特解带入原微分方程即可求得常数P=1/3。,t0,例 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程 初始条件y(0)=1, y (0)=2, 输入信号f (t)=e-t (t)，求系统的完全响应y(t)。,解: (3) 求方程的全解,解得 C1=5/2，C2= -11/6,齐次解,特解,自由响应,强迫响应,1) 若初始条件不变，输入信号 f(t) = sin t (t)，则系统的完全响应 y(t) = ？,2) 若输入信号不变，初始条件 y(0) = 0, y (0) = 1, 则系统的完全响应 y(t) = ？,讨论,经典法不足之处,若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。,二、关于0-和0+初始值,例：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y(0-)= 0，f(t)=(t)，求y(0+)和y(0+)。,解： y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6(t) （1）利用系数匹配法分析： 由于等号右端为2(t)，故y”(t)应包含冲激函数，从而y(t)在t= 0处将发生跃变， 即 y(0+)y(0-)。 由于y(t)中不含(t)，故y(t)在t=0处是连续的。 故 y(0+) = y(0-) = 2,y(0+) y(0-) + 3y(0+) y(0-)=2 y(0+) = y(0-)=2 所以 y(0+) y(0-) = 2 y(0+) = y(0-) + 2 =2,由上可见，当微分方程等号右端含有冲激函数（及其各阶导数）时，响应y(t)及其各阶导数中，有些在t=0处将发生跃变。但如果右端不含时，则不会跃变。,例：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y(0-)= 0，f(t)=(t)，求y(0+)和y(0+)。,三、零输入响应和零状态响应,y(t) = yzi(t) + yzs(t) 注意： y(j)(0-)= yzi(j)(0-)+ yzs(j)(0-) y(j)(0+)= yzi(j)(0+)+ yzs(j)(0+) 对于零输入响应 yzi(j)(0+)= yzi(j)(0-) = y (j)(0-) 对于零状态响应 yzs(j)(0-)=0 如何求yzs(j)(0+)？,例：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t), 已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)。求该系统的零输入响应和零状态响应,解：（1）零输入响应yzi(t) 激励为0 ，故yzi(t)满足 yzi”(t) + 3yzi(t) + 2yzi(t) = 0 yzi(0+)= yzi(0-)= y(0-)=2 yzi(0+)= yzi(0-)= y(0-)=0 该齐次方程的特征根为1， 2，故 yzi(t) = Cx1e t + Cx2e 2t 代入初始值并解得系数为Cx1=4 ,Cx2= 2 ，代入得 yzi(t) = 4e t 2e 2t ,t 0,（2）零状态响应yzs(t) 满足 yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 2(t) + 6(t) 并有 yzs(0-) = yzs(0-) = 0 即yzs(0+) = yzs(0-) = 0， yzs(0+)- yzs(0-)+ 3yzs(0+)- yzs(0-)+2,因此，yzs(0+)= 2 yzs(0-)=2,对t0时，有 yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 6 不难求得其齐次解为Cf1e-t + Cf2e-2t，其特解为常数3， 于是有 yzs(t)=Cf1e-t + Cf2e-2t + 3 代入初始值求得 yzs(t)= 4e-t + e-2t + 3 ，t0,例：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t), 已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)。求该系统的零输入响应和零状态响应,yzs(t)= 4e-t + e-2t + 3 ，t0,例：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t), 已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)。求该系统的零输入响应和零状态响应,yzi(t) = 4e t 2e 2t ,t 0,y(t) = yzi(t) + yzs(t)=-e-2t + 3,2.2 冲激响应和阶跃响应,2.2 冲激响应和阶跃响应,一、冲激响应,由单位冲激函数(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。h(t)=T0,(t),2.2 冲激响应和阶跃响应,由单位冲激函数(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。h(t)=T0,(t),例1 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t) 求其冲激响应h(t)。,解 根据h(t)的定义 有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = (t) h(0-) = h(0-) = 0 先求h(0+)和h(0+)。,h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)(t) 代入初始条件求得C1=1,C2=-1, 所以 h(t)=( e-2t - e-3t)(t),2.2 冲激响应和阶跃响应,二、阶跃响应,由于(t) 与(t) 为微积分关系，故,三、连续系统的阶跃响应,求解方法:,1) 求解微分方程,2) 利用冲激响应与阶跃响应的关系,2.2 冲激响应和阶跃响应,2.2 冲激响应和阶跃响应,例2 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)= f”(t) + 2f(t) + 3f(t) 求其冲激响应h(t)。,解 根据h(t)的定义 有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t) (1) h(0-) = h(0-) = 0 先求h(0+)和h(0+)。 由方程可知， h(t) 中含(t) 故令 h(t) = a(t) + p1(t) pi(t) 为不含(t) 的某函数 h(t) = a(t) + b(t) + p2(t) h”(t) = a”(t) + b(t) + c(t)+ p3(t) 代入式(1)，有,2.2 冲激响应和阶跃响应,a”(t) + b(t)+ c(t) + p3(t) + 5a(t) + b(t) + p2(t) + 6a(t) + p1(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t),整理得 a”(t)+(b+5a)(t)+(c +5b+6a)(t) + p3(t)+5 p2(t)+6 p1(t) = ”(t) + 2(t) + 3(t),利用(t) 系数匹配，得 a =1 ，b = - 3，c = 12 所以 h(t) = (t) + p1(t) （2） h(t) = (t) - 3(t) + p2(t) （3） h”(t) = ”(t) - 3 (t) + 12(t)+ p3(t) （4）,对式(3)从0-到0+积分得 h(0+) h(0-) = 3 对式(4)从0-到0+积分得 h(0+) h(0-) =12 故 h(0+) = 3， h(0+) =12,2.2 冲激响应和阶跃响应,微分方程的特征根为 2， 3。故系统的冲激响应为 h(t)= C1e2t + C2e3t ， t0 代入初始条件h(0+) = 3， h(0+) =12 求得C1=3，C2= 6, 所以 h(t)= 3e2t 6e3t , t 0 结合式(2)得 h(t)= (t) + (3e2t 6e3t)(t),对t0时，有 h”(t) + 6h(t) + 5h(t) = 0,第二节总结,复 习 1、LTI连续系统响应 经典解法 卷积法 2、冲激响应 阶跃响应,1.信号的时域分解,(1) 预备知识,2.3 卷积积分（Convolution）,2.3 卷积积分,1.信号的时域分解,2.3 卷积积分（Convolution）,2.3 卷积积分,1.信号的时域分解,四. 卷积积分（Convolution）,2.3 卷积积分,2.卷积积分定义,虚设变量,参变量,已知定义在区间（ ，）上的两个函数f1(t)和f2(t)，则定义积分,2.3 卷积积分,1. 换元,3.卷积积分计算(图解法),2. 反转，平移,4. 积分,3. 乘积,2.3 卷积积分,图解法,2.3 卷积积分,浮动坐标,下限 上限,t-3,t-0,t ：移动的距离,t =0 f2(t-) 未移动,t 0 f2(t-) 右移,t 0 f2(t-) 左移,-1,1,2.3 卷积积分,两波形没有公共处,2.3 卷积积分,2.3 卷积积分,即1 t 2,2.3 卷积积分,即2 t 4,2.3 卷积积分,即t 4,t-31,2.3 卷积积分,图解法,2.3 卷积积分,2.3 卷积积分,2.3 卷积积分,2.3 卷积积分,2.3 卷积积分,2.3 卷积积分,已知f(t) = f2(t)* f1(t)， f1(t), f2(t)如图所示，求f(2) =?,练 习（Exercise）,2.3 卷积积分,1. 经典时域分析方法:,2. 卷积法:,系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应,求解齐次微分方程得到零输入响应,利用卷积积分可求出零状态响应,2.1 LTI连续系统的响应,2.2 冲激响应和阶跃响应,卷积法求解系统零状态响应yzs (t)推导,由时不变特性,由齐次性,由积分特性,2.2 冲激响应和阶跃响应,例 已知某LTI系统的动态方程式为： y(t) + 3y(t) = 2f(t)系统的冲激响应 h(t) = 2e-3t (t), f(t) = 3(t), 试求系统的零状态响应yzs (t)。,解：,2.2 冲激响应和阶跃响应,2.3 卷积积分,例：f (t) = e t,（-t)，h(t) = (6e-2t 1)(t)，求yzs(t)。,解： yzs(t) = f (t) * h(t),当t t时，(t -) = 0,（1）LTI系统分析,描述输入输出之间的运算关系,LTI系统,3.卷积应用,（2）幅度调制与OFDM技术,将信号频谱搬移到任何所需的较高频率范围的过程。,2.3 卷积积分,例 计算 y(t) = p1(t) * p1(t)。,a) - t -1,b) -1 t 0,y (t) = 0,2.3 卷积积分,c) 0 t 1,d) t 1,y (t) = 0,例 计算 y(t) = p1(t) * p1(t)。,2.3 卷积积分,c) 0 t 1,d) t 1,y (t) = 0,a) - t -1,b) -1 t 0,y (t) = 0,例 计算 y(t) = p1(t) * p1(t)。,2.3 卷积积分,练习1：(t) * (t),练习2：计算 y (t) = f (t) * h(t)。,= r(t),2.3 卷积积分,2.4 卷积积分的性质,1) 交换律 f1(t) * f2(t) = f2(t) * f1(t) 2) 分配律 ( f1(t) + f2(t) ) * f3(t) = f1(t) * f3(t) + f2(t) * f3(t) 3) 结合律 ( f1(t) * f2(t) ) * f3(t) = f1(t) * ( f2(t) * f3(t) ) 4) 展缩特性 已知 f1(t) * f2(t) = y(t),2.4 卷积积分的性质,一、卷积的代数运算,2004年某大学入学考试题： 若y(t)=f1(t)*f2(t)，则y(2t)=2f1(2t)*f2(2t)， 该结论是否正确？,展缩特性 已知 f1(t) * f2(t) = y(t) 则,证明：,展缩特性,2.4 卷积积分的性质,2.4 卷积积分的性质,二、奇异函数的卷积特性,1. f(t)*(t)=(t)*f(t) = f(t),证：,2. f(t)*(t t1) = f(t t1),3. (t-t1)*(t-t2) = (t-t1-t2),4. f(t-t1)*(t-t2) = f(t-t1-t2),5. f1(t)*f2(t) = f(t) f1(t-t1)*f2(t-t2) = f(t-t1-t2),三、卷积的积分与微分,f(t)= f 1(t) * f 2(t) 1) 微分特性 f (t)=f 1(t) * f 2(t)=f 1(t) * f 2(t) 2) 积分特性f (-1)(t)=f 1(-1)(t) * f 2(t)=f 1(t) * f 2(-1)(t),3) 等效特性,2.4 卷积积分的性质,解:,例 计算下列卷积积分。,(1),(2),(3),(1),2.4 卷积积分的性质,解:,例 计算下列卷积积分。,(1),(2),(3),(2),利用卷积的平移性质和题(1)的结论,(3),2.4 卷积积分的性质,四、相关函数,互相关函数,四、相关函数,相关函数与卷积的区别,自相关函数,2.4 卷积积分的性质,求卷积是本章的重点与难点。 求解卷积的方法可归纳为： （1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。 （2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。 （3）利用性质。比较灵活。 三者常常结合起来使用。,2.4 卷积积分的性质,解：,f1(t) = (t) (t 2),f1(t)* f2(t)= (t) * f2(t) (t 2) * f2(t), (t) * f2(t)= f2 (-1)(t),四、卷积的时移特性,若 f(t) = f1(t)* f2(t)， 则 f1(t t1)* f2(t t2) = f1(t t1 t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t t1 t2) = f(t t1 t2),前例：f1(t) 如图, f2(t) = et(t)，求f1(t)* f2(t),利用时移特性，有 (t 2) * f2(t)= f2 (-1)(t 2),f1(t)* f2(t)=(1- et)(t) 1- e(t-2)(t-2),2.4 卷积积分的性质,例：f1(t), f2(t)如图，求f1(t)* f2(t),解： f1(t) = 2 (t) 2 (t 1) f2(t) = (t+1) (t 1),f1(t)* f2(t) = 2 (t)* (t+1) 2 (t)* (t 1) 2 (t 1)* (t+1) +2 (t 1)* (t 1),由于 (t)* (t) = t (t) 据时移特性，有 f1(t)* f2(t) = 2 (t+1) (t+1) - 2 (t 1) (t 1) 2 t (t) +2 (t 2) (t 2),2.4 卷积积分的性质,求卷积是本章的重点与难点。 求解卷积的方法可归纳为： （1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。 （2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。 （3）利用性质。比较灵活。 三者常常结合起来使用。,解: 系统的特征方程为,例 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y“ (t)+5y (t) +6y (t) =4f(t), t0 系统的初始状态为y(0-) = 1，y (0-) = 3，求系统的零输入响应yzi(t)。,系统的特征根为,yzi(0+)= yzi(0-)=C1+C2=1 yzi(0+)= yzi(0-)= - 2C1-3C2 =3,解得 C1= 6，C2= -5,例 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y“ (t)+4y (t) +4y (t) = 2f (t )+3f(t), t0 系统的初始状态为y(0-) = 2，y(0-) = -1，求系统的零输入响应yzi(t)。,解: 系统的特征方程为,系统的特征根为,（两相等实根）,yzi(0+)=yzi(0-)=C1=1; yzi(0+)= yzi(0-)= -2C1+C2 =3,解得 C1 = 2, C2= 3,例 已知某线性时不变系统的动态方程式为： y“ (t)+2y (t) +5y (t) = 4f (t )+3f(t), t0 系统的初始状态为y(0-) = 1，y(0-) = 3，求系统的零输入响应yzi(t)。,解: 系统的特征方程为,系统的特征根为,yzi(0+)= yzi(0-)=C1=1 yzi(0+)= yzi(0-)= -C1+2C2 =3,解得 C1= 1，C2= 2,例 已知 y(t) = f1(t) * f2(t) ，求y(t)和 y(-1)(t),解：利用卷积的微分特性 y(t) = y(t) * d (t) = f1(t) * f2(t) * d (t),y(-1)(t) = y(t) * (t) = f1(t) * f2(t) * (t),= f1(t) * f2(t),= f1(t) * f2(t),= f1(-1)(t) * f2(t),= f1(t) * f2(-1)(t),利用卷积的结合律,利用卷积的积分特性,利用卷积的结合律,2.4 卷积积分的性质,解:,例 利用平移特性及(t) * (t)= r(t) ，计算y(t) = f(t) * h(t)。,y(t) = f(t) * h(t) = (t) - (t-1) * (t) - (t-2) ,=(t)*(t) - (t-1)*(t) - (t)*(t-2) + (t-1)*(t-2),= r(t) r(t -1) - r(t-2) + r(t-3),2.4 卷积积分的性质,解:,例 利用等效特性，计算y(t) = f (t) * h(t)。,f (t) = d (t) - d (t-1),f (t) * h(t)= h(t) - h(t-1),2.4 卷积积分的性质,二、卷积法,系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应,1.系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。,数学模型:,求解方法： 根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式,再由初始条件确定待定系数。,2.2 冲激响应和阶跃