（新课标）高考数学第六章不等式、推理与证明6_5数学归纳法课时规范练理（含解析）新人教A版.docx

6-5 数学归纳法课时规范练(授课提示：对应学生用书第285页)A组基础对点练1(2018商丘期末)用数学归纳法证明：(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)时，从“k到k1”左边需增加的代数式是 (k1)(k2)(kk)(4k1) 解析：从“k到k1”左边需增加的代数式是：(k2)(k3)(kk)(k1k)(k1k1)(k1)(k2)(kk)(k2)(k3)(kk)(k1k)(k1k1)(k1)(k1)(k2)(kk)(4k1)2(2018杭州期末)设正项数列an的前n项和为Sn，若a11,2Snanan1(nN*)(1)求a2，a3以及数列an的通项公式；(2)设bn2an，数列bn的前n项和为Tn.求Tn；证明：2Tn(nN*)解析：(1)a11,2Snanan1，2a1a1a2，即a22，2(a1a2)a2a3，即a33.猜想ann，证明如下：当n1时，显然成立，假设当nk时成立，即akk，则Sk.那么当nk1时，ak1k1，故nk1时也成立，由可得ann对于nN*都成立，数列an的通项公式为ann.(2)易知bnn，Tn1.由(1)可知Sn，2，22.要证明2Tn，只要证明22，只要证，只要证n12n，当n1时，不等式显然成立，假设当nk时，不等式成立，即k12k，那么当nk1时，k2k112k12k1，即当nk1时不等式成立，由可得n12n对于nN*都成立，故2Tn(nN*)3函数f(x)ln(x1)(a1)(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a11，an1ln(an1)，证明：an.解析：(1)f(x)的定义域为(1，)，f(x).当1a0，f(x)在(1，a22a)上是增函数；若x(a22a,0)，则f(x)0，f(x)在(0，)上是增函数当a2时，f(x)0，当且仅当x0时，f(x)0成立，f(x)在(1，)上是增函数当a2时，若x(1,0)，则f(x)0，f(x)在(1，0)上是增函数；若x(0，a22a)，则f(x)0，f(x)在(a22a，)上是增函数(2)证明：由(1)知，当a2时，f(x)在(1，)上是增函数当x(0，)时，f(x)f(0)0，即ln(x1)(x0)又由(1)知，当a3时，f(x)在0,3)上是减函数当x(0,3)时，f(x)f(0)0，即ln(x1)(0x3)下面用数学归纳法证明an.当n1时，由已知得a11；假设当nk时结论成立，即ln.ak1ln(ak1)ln.即当nk1时，有.解析：(1)证明：an1，化简得2，即2，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列(2)由(1)知2n1，Snn2.法一1.法二(数学归纳法)当n1时，1，不等式成立假设当nk时，不等式成立，即.则当nk1时，又110，原不等式成立3设函数f(x)x2mln(x1)(1)若函数f(x)是定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；(2)若m1，试比较当x(0，)时，f(x)与x3的大小；(3)证明：对任意的正整数n，不等式e0e14e29e(1n)n2成立解析：(1)f(x)2x，又函数f(x)在定义域上是单调函数，f(x)0或f(x)0在(1，)上恒成立若f(x)0在(1，)上恒成立，即函数f(x)是定义域上的单调递增函数，则m2x22x22在(1，)上恒成立，由此可得m；若f(x)0在(1，)上恒成立，即函数f(x)是定义域上的单调递减函数，则m2x22x22在(1，)上恒成立y22在(1，)上没有最小值，不存在实数m使f(x)0在(1，)上恒成立综上所述，实数m的取值范围是.(2)当m1时，函数f(x)x2ln(x1)令g(x)f(x)x3x3x2ln(x1)，则g(x)3x22x，显然，当x(0，)时，g(x)0，函数g(x)在(0，)上单调递减又g(0)0，当x(0，)时，恒有g(x)g(0)0，即f(x)x30恒成立故当x(0，)时，f(x)x3.(3)证明：当n1时，左边e01，右边2，原不等式成立设当nk时，原不等式成立，即e0e14e29e(1k)k2，则当nk1时，左边e0e14e29e(1k)k2e(1k1)(k1)2ek(k1)2，只需证明ek(k1)2，即证ek(k1)2k