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重积分的对称性与轮换对称性,made by 微电四班 郭予健 李尚栋 范兴勇,对称性,对于二重积分 的计算，我们总是将其化为二次定积分来完成的，而在定积分的计算中，若遇到对称区间，则有下面非常简洁的结论： 当f(x)在区间上为连续的奇函数时, 当f(x)在区间上为连续的偶函数时,这个结论，常可简化计算奇、偶函数在对称于原点的区间上的定积分 在计算二重积分时，若积分区域具有某种对称性，是否也有相应的结论呢？回答是肯定的。下面，我们将此结论类似地推广到二重积分,解：,积分区域D关于坐标区域内任意直线对称,如果积分域D关于直线y=ax+b对称，则二重积分 其中D1为D在以直线y=ax+b为轴的右半平面部分,证明:若区域D对称于直线y=ax+b,不妨设a0，即倾斜角为锐角.首先，平移坐标轴，得坐标系xoy如上图 即,其次，将坐标系xoy沿逆时针方向旋转，旋转角为 (tan =a)使x轴与直线y=ax+b重合得新坐标系uov,雅可比行列式为: 即证,解：由于积分区域D关于直线x=1对称， 被积函数 在区域D上关于（x-1）为奇函数 y在区域D上关于（x-1）为偶函数,补充：利用对称性化简三重积分计算,使用对称性时应注意：,、积分区域关于坐标面的对称性；,、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的,奇偶性,轮换对称性,其中D是平面x=0，y=0,z=0,x+y+z=1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧,解：
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