2020版高考数学第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第五节古典概型与几何概型学案.docx

第五节古典概型与几何概型2019考纲考题考情1古典概型(1)基本事件的特点任何两个基本事件是互斥的。任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。(2)古典概型的定义具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型。(3)古典概型的概率公式P(A)。2几何概型(1)几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。(2)几何概型的两个基本特点(3)几何概型的概率公式P(A)。1古典概型中的基本事件都是互斥的，确定基本事件的方法主要有列举法、列表法与树状图法。2概率的一般加法公式P(AB)P(A)P(B)P(AB)中，易忽视只有当AB，即A，B互斥时，P(AB)P(A)P(B)，此时P(AB)0。3几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的，前者概率的计算与基本事件的区域长度(面积或体积)的大小有关，而与形状和位置无关。4几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果。一、走进教材1(必修3P127例3改编)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于()A. B. C. D.解析所有基本事件的个数为6636，点数之和为5的基本事件有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)共4个。故所求概率为P。故选B。答案B2(必修3P140练习T1改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()解析如题干选项中各图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P(A)，P(B)，P(C)，P(D)。故选A。答案A二、走近高考3(2018全国卷)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723。在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A. B. C. D.解析不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，从中随机选取两个不同的数，共有C45(种)取法，因为7231119131730，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种取法，故概率为。故选C。答案C4(2017全国卷)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图。正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称。在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A. B. C. D.解析设正方形的边长为2，则圆的半径为1，正方形的面积为4，圆的面积为，根据对称性关系，黑色部分面积是圆的面积的一半，所以黑色部分的面积为。根据几何概型的概率公式，得此点取自黑色部分的概率为P，故选B。答案B三、走出误区微提醒：几何概型中长度型与角度型区分不清；古典概型中分类不清。5如图，A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A，连接AA，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长的概率为_。解析当AA的长度等于半径的长度时，AOA，由圆的对称性及几何概型得所求概率P。答案6已知函数f(x)2x24ax2b2，若a4,6,8，b3,5,7，则该函数有两个零点的概率为_。解析要使函数f(x)2x24ax2b2有两个零点，即方程x22axb20有两个实根，则4a24b20，又a4,6,8，b3,5,7，即ab，而a，b的取法共有339(种)，其中满足ab的取法有(4,3)，(6,3)，(6,5)，(8,3)，(8,5)，(8,7)，共6种，所以所求的概率为。答案考点一简单的古典概型问题【例1】(1)(2018福建漳州二模)甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“论语知识大赛”，决出第1名到第5名的名次。甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”。从上述回答分析，丙是第一名的概率是()A. B. C. D.(2)(2019广东深圳一模)两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为()A. B. C. D.解析(1)因为甲和乙都不可能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊，又考虑到所有的限制条件对丙、丁、戊都没有影响，所以这三个人获得第一名是等概率事件，所以丙是第一名的概率是。故选B。(2)两个分3本书共有2CC28种分法，其中一人没有分到书，另一人分得3本有2种情况。所以P。故选B。答案(1)B(2)B求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择。【变式训练】(1)(2019益阳、湘潭调研)已知a2,0,1,2,3，b3,5，则函数f(x)(a22)exb为减函数的概率是()A. B. C. D.(2)袋中有形状、大小都相同的4个球，其中1个白球，1个红球，2个黄球，从中一次随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为_。解析(1)函数f(x)(a22)exb为减函数，则a220，所以a，又a2，0,1,2,3，故只有a0，a1满足题意，又b3,5，所以函数f(x)(a22)exb为减函数的概率是。故选C。(2)基本事件共有C6(种)，设取出两个球颜色不同为事件A。A包含的基本事件有CCCC5(种)。故P(A)。答案(1)C(2)考点二几何概型微点小专题方向1：长度型与角度型几何概型【例2】(1)在1,1上随机地取一个数k，则事件“直线ykx与圆(x5)2y29相交”发生的概率为_。(2)如图所示，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在ACB内部任作一条射线CM，与AB交于点M，则AMAC的概率为_。解析(1)由直线ykx与圆(x5)2y29相交，得3，即16k29，解得k。由几何概型的概率计算公式可知P。(2)过点C作CN交AB于点N，使ANAC，如图所示。显然当射线CM处在ACN内时，AM0，所以所求的概率为。故选C。答案C2(配合例2使用)在半径为2的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于该直径的弦，则弦长超过圆内接正三角形边长的概率是()A. B. C. D.解析如图所示，设CEF是圆O的内接正三角形，CD是直径，B是EF的中点，则易求得圆O的内接正三角形的边长是2，从而可求得BD421，因此所求概率为。故选C。答案C3(配合例3使用)设a1,4，b1,4，则随机地抽出一对有序实数对(a，b)，使得函数f(x)4x2a2与函数g(x)4x的图象有交点的概率为()A. B. C. D.解析因为a1,4，b1,4，所以(a，b)