三角形费马点的证明及应用(修正版).doc

费马点的性质及应用和成彪 （文山师专 数理系06数学（3）班）摘要 费马是一个皆为人知的法国著名数学家，他一生提出了许多关于数学的猜想。在此文针对他提出的“费马点”这一有趣的问题进行性质证明并研究其价值。通过一些典型证明和特例进行了分析，总结了对费马点的认识。 关键词 费马 费马点 证明 研究法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小人们称这个点为“费马点”这是一个历史名题，近几年仍有不少文献对此介绍这个问题一直影响了不少数学研究者和数学爱好者的不懈研究和探索应用。随着我国数学科研事业在近几年的一直持续迅猛发展数学爱好者日益壮大，都说明数学正越来越受到人们的关注。这是一个非常可喜的现象。为此就法国著名学家费马提出的费马点并结合收集的材料和自己的观点简单研究了三角形费马点的一些性质和应用。一、费马点产生的历史背景 费马是法国数学家，1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙德洛马涅。他的父亲多米尼克费马在当地开了一家大皮革商店，拥有相当丰厚的产业，使得费马从小生活在富裕舒适的环境中。费马的父亲由于富有和经营有道，颇受人们尊敬，并因此获得了地方事务顾问的头衔，但费马小的时候并没有因为家境的富裕而产生多少优越感。费马的母亲名叫克拉莱德罗格，出身穿袍贵族。多米尼克的大富与罗格的大贵族构筑了费马极富贵的身价。费马小时候受教于他的叔叔皮埃尔，受到了良好的启蒙教育，培养了他广泛的兴趣和爱好，对他的性格也产生了重要的影响。直到14岁时，费马才进入博蒙德洛马涅公学，毕业后先后在奥尔良大学和图卢兹大学学习法律。1642年，有一位权威人士叫勃里斯亚斯，他是最高法院顾问。勃里斯亚斯推荐费马进入了最高刑事法庭和法国大理院主要法庭，这使得费马以后得到了更好的升迁机会。1646年，费马升任议会首席发言人，以后还当过天主教联盟的主席等职。费马的官场生涯没有什么突出政绩值得称道，不过费马从不利用职权向人们勒索、从不受贿、为人敦厚、公开廉明，赢得了人们的信任和称赞。费马的婚姻使费马跻身于穿袍贵族的行列，费马娶了他的舅表妹露伊丝德罗格。原本就为母亲的贵族血统而感骄傲的费马，如今干脆在自己的姓名上加上了贵族姓氏的标志“de”。费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余之爱好。然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌：他是解析几何的发明者之一；对于微积分诞生的贡献仅次于牛顿、莱布尼；概率论的主要创始人，以及独承17世纪数论天地的人。此外，费马对物理学也有重要贡献。一代数学大师费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家。尤其他提出的费马大定理更是困惑了世间智者358年。17世纪由费马首先提出的费马点问题：“在欧式平面上，任给一个三角形ABC，试求点S，使它到A，B，C三点的距离之和为最小。”这个问题提出不久就被托里拆利解决了。他得到的结论是：在ABC中A为其最大角，S是ABC内的点。（1）当A120时,若S满足ASB=BSC=CSA=120,则它到A,B,C三点的距离之和最小。（2）当A120时，所求点为A点，即SA+SB+SCAB+AC。据史料记载费马在思考一个关于数学问题的故事。“古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：将军从甲地出发到河边饮马，然后再到乙地军营视察，显然有许多走法。问走什么样的路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答.这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题。”事实上，不仅是将军有这样的烦恼，运动着的车、船、飞机，包括人们每天走路都要遇到这样的问题。古今中外的任何旅行者总希望寻求最佳的旅行路线，尽量走近道，少走冤枉路.我们把这类求近道的问题统称最短线路问题。费马就把这样的问题联想到某一个图形中。他大胆地提出了在一个任意三角形中有且仅有一点到三个顶点的距离最短。他对此进行了充分的证明。后来人们就把这个点命名为“费马点”。现在研究表明不止是三角形，其它多边行也存在这样的点。二、费马点 定义 在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点。 在平面三角形中: 1.数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。它是这样确定的：如果三角形有一个内角大于或等于120，这个内角的顶点就是费马点2.如果3个内角均小于120，则在三角形内部对3边张角均为120的点，是三角形的费马点。关于费马点的证明有好几种，浙江上虞春晖中学教师倪瑞祥在他的论文费马点性质及其应用中证明了费马点的存在性。在中学数学辅导书中学生数理化中的费马点参照的是著名主编祁韵的证明方法。洛阳师范学院教师赵振华通过对费马点的研究证明，提出了“有关费马点一个不等式” 。浙江省岱山县岱山中学教师张善立在证明的基础上又提出了“有关费马点一个和式的下界问题” 。北师大版教材编写组专家任景业老师也研究过费马点。而在李毓佩的费马的奇怪问题中写了费马点的发现、证明以及一些性质。在中学数学教学期刊中邵潇野的于费马点的探究与思考中也提到了费马点的证明。最让我们感叹的是一个实验中学初二（3）班学生 林贤昊用初等的几何知识也证明了费马点，只是证明有些烦琐，但证明的方法与过程是没有错的。他们的证明方法都大同小异，没有出现完全不同的两种方法，也还没有新的证明方法。大都与以下的证明方法相似。证明：三角形内费马点到三个顶点的距离之和为最短。ABC为任意一个三角形。（作法：以三角形三边为边长在各边上作正三角形，并连接三角形三个顶点与其顶点所对的对边作的正三角形顶点所连接得到的交点。如图-1作三角形三边为边长的各边上的正三角形。,.连接,取连接线的交点P。P则为三角形的费马点。(1) 费马点对边的张角为120。因为与中，=, =,=, =+ 60=,则有：= =同理可得 =由 += 60 可得+= 所以=120同理可得，=120, =60费马点的对边的张角为120（2）PA+PB+PC=?将P点以点B为旋转中心旋转60得到点，连接。则，为等边三角形。所以60又=120则=+=180因此, ,三点在同一直线上。又 =120， =60， =180，所以、四点在同一直线上，故PA+PB+PC=(3)PA+PB+PC最短在ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将BMC以点B为旋转中心旋转60与重合，连结AM、GM、 (同上)，则 +GM+MA=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶点A、B、C的距离最短。平面四边形费马点：平面四边形中费马点证明相对于三角型中较为简易，也较容易研究。在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。在凹四边形ABCD中，费马点为凹顶点D（P）。三、费马点的性质1费马点到三角形三个顶点的距离之和最短。2若费马点在三角形内部，费马点的对边张角为120（由下图2说明）_P_B_C_C_A_B那么我们来分析一下当三角形有一个角大于120是它的费马点是在三角形内部还是在外面呢？（图3）（图2）分析：在三角形ABC内任取一点M。则到三顶点距离之和为AN+BN+CM。令P表示三角形ABC外的点。M表示里面的点。现取ABC 上的B点，则此三点到三顶点的距离分别为：PA+PB+PC，AM+BM+CM，和BA+BC。取P点与M点分别与B点时做比较P与B比较，由图可：PB+PABA，PB+PCBC，PB0。可推出PA+PB+PCBA+BC_P_A_C_B_A_B_C_M_NM与B比较。以C点为旋转轴BC旋转至与CM同线，得一点N（CB=CN）1若CNCM时,有AM+BMABCM+BM+AMAB+CN=AB+CB2若CNCM时,换成以A点为轴心旋转AB到AM同线(AN=AB)得到点N,且有ANAM。图3同理有：CM+BM+AMAN+BC=AB+BC3若旋转AB或BC得到的点N都有AN=AB，CN=CB。显然也有：CM+BM+AMAN+CN=AB+CB当M落在三角形内任意一点都有CM+BM+AMBA+BC。综上所述：当三角行ABC有一角大于或等于120时它的费马点在大于120角的顶角上。四、费马点的应用以上证明只是一种简单明了的证明方法，现今已有许多种不同的证明方法。但其宗旨是说明在多边形中都能找到一个这样的费马点，使得其到各顶点距离之和最小。那么费马点对我们现实生活中有没应用价值呢。就这方面我们通过一些说明和例题讲解来具体分析。引例：有甲乙丙三个村庄，要在中间建一供水站向三地送水，现要确定供水站的位置以使所需管道总长最小？这个问题正是一个最典型的应用费马点性质的问题。将此问题用费马点思想构建出数学模型抽象出来即为： 甲乙丙三村构成一个三角形 ABC设供水站的位置为P点则问题又转化为 ABC中确定一点P，使P到三顶点的距离之和PA+PB+PC最小。具体方法同上述费马点证明时作点P的步骤。（略） 而这个例子只是我们身边大部分与费马点应用有关问题的缩影。在现实生活中事事要求方便快捷。而在行动与实施当中有好多与费马点相关的方面，只是我们不注意，如你在学校食堂打饭时选择的窗口。你打篮球、踢足球时。你时刻注意的是你要怎么进攻，但要与你的对员保持好最好的距离和方位，前后左右都要顾及。其实这也在找“费马点”。那么接下来我们就对某一个具体问题进一步研究费马点的一些性质及应用。问题：一只猫观察到一老鼠洞共有三个出口，它们不在一条直线上，这只猫应蹲在何处，才能最省力地顾及到三个出口？【回答】：从顾及到老鼠三个出口时的情况，猫都能迅速出击，这只猫应蹲在到三个出口距离相等的点，这点为由三个出口为顶点构成三角形的外心。分析：上述回答不正确。因为“回答”中只考虑猫到三个出口距离相等，而没有考虑猫到三个洞口的距离最短。请看下图，显然不应该是ABC的外心O。从猫最省力地顾及到三个出口考虑，设三个出口为A、B、C，（如上图）（1）、当ABC为等边三角形时，猫应该蹲在ABC的外心O点（此时外心与费马点重合）；（2）、当ABC中三个内角都小于1200时，猫应该蹲在到三个出口距离之和最短的点，即猫应该蹲在费马点。（3）、当ABC中有一个内角大于或等于1200时，猫应该蹲在钝角的顶点上。而我们一开始就提到关于费马点的性质。俗话说得好，实践证明一切。以上的证明只是实践的理论依据。在科学中数学思想主要占据了重要理论依据。而物理却体现出了数学的使用价值。那么我们用物理学方法研究一下费马点的性质。参考了陶建英老师实验室 。做了如下分析：(1) 研究三力平衡与费马点性质的联系。道具：木条、定滑轮、细线、砝码。以木条为边组转正三角形。三顶点各装置以定滑轮，取三条等长细线绕过滑轮一端各挂相同的砝码。另一端三细线连接在一起让砝码自然下垂到静止状态，测得：APC、BPC、APB都为120。因为三重物（砝码相同）。三条线的张力亦然相等。P点的受力点为受力平衡点即F=0.通过进一步测得P点为此三角形重心、内心、外心。符合正三角形的费马点为其重心这一性质。（2）那么其他任意三角形上实验有没有费马点的性质呢？结果表明：任意三角形，三细线的结点P都落在费马点上。（以上为简要文字说明，详细见下图）_A_B_C_P现在有许多数学及科学爱好者正进一步利用物理上费马点的受力平衡这一性质，拓展思维进行研究多面体的费马点。乃至深入多维空间进行猜想。有的力学不好研究的他们就用光学原理分析。据有关书籍发布，还能从椭圆光学性质可以探讨多维费马点问题，还有据研究表明已经得出蜜蜂建的蜂巢便是利用了费马点的这一原理。使蜂巢坚固、美观，还有保暖的效果。从以上的简单证明和分析，我们可以看出费马点性质的研究影响着许多数学科学爱好者的兴趣。现在已经有许多方面应用到了费马点的几何性质和物理性质，在医学上，在建筑上，甚至在军事上。我相信诸如费马点这样的问题还有许许多多，等待着我们去探索和研究应用以造福人类。数学不愧为科学之母，它孕育了不知多少个像费马点这样的孩子。它一直鼓励着我们，一直引导着我们去揭开它那一层层揭不完的美丽的面纱。参考文献1倪瑞祥. 费马点性质及其应用 J.浙江： 浙江教育出版社，1998.2 祁韵. 中学生数理化( 费马点)J.北京：人民教育出版社，2007.3赵振华. 关于费马点的一个不等式 J.北京：北京师范大学出版社，1994.4张善立.关于费马点一个和式的下界问题J. 北京：北京师范大学出版社，1999.5任景业. 费马点、拿破仑点、重心、垂心与相似形 J.北京: 北京师范大学出版社，2003.6李毓佩. 费马的奇怪问题M. 河北: 河北教育出版社,2008.7邵潇野. 关于费马点的探究与思考M. 北京: 人民教育出版社,2007.8南都学坛. 南阳师专学报J.南阳：南阳美术学院出版社，1994 .9 张景中.数学家的眼光M.台湾：九章出