（浙江专用）高考数学一轮复习讲练测专题1.4三角函数图象与性质（讲）（含解析）.docx

第04讲 三角函数图象与性质 -讲1. 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质，了解三角函数的周期性.2.高考预测：（1） “五点法”作图；（2）三角函数的性质；（3）往往将三角恒等变换与三角函数图象、性质结合考查.3.备考重点：（1）掌握正弦、余弦、正切函数的图象；（2）掌握三角函数的周期性、单调性、对称性以及最值.知识点1正弦、余弦、正切函数的图象与性质正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质性质图象定义域值域最值当时，；当时，当时，；当时，既无最大值，也无最小值周期性奇偶性,奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数在上是增函数；在上是减函数在上是增函数对称性对称中心对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.对称中心对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.对称中心无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形.【典例1】（2018年北京卷文）已知函数.（）求的最小正周期； （）若在区间上的最大值为，求的最小值.【答案】（）.（）.【解析】（），所以的最小正周期为.（）由（）知.因为，所以.要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1.所以，即.所以的最小值为.【总结提升】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为yAsin(x)或yAcos( x)的形式，则最小正周期为；（2）奇偶性的判断关键是解析式是否为yAsin x或yAcos xb的形式.（3）求f(x)Asin(x)(0)的对称轴，只需令，求x；求f(x)的对称中心的横坐标，只需令xk(kZ)即可.【变式1】（2017课标3，理6）设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是（ ）Af(x)的一个周期为2By=f(x)的图象关于直线x=对称Cf(x+)的一个零点为x=Df(x)在(,)单调递减【答案】D【解析】知识点2“五点法”做函数的图象“五点法”作图：先列表，令，求出对应的五个的值和五个值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到在一个周期的图象，最后把这个周期的图象以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数的图象.【典例2】（2018届浙江省金丽衢十二校高三第二次联考）函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，| ）的图象如图，则=（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为，所以因为，所以因为|因此，选B.【总结提升】用“五点法”作图应抓住四条：将原函数化为或的形式；求出周期；求出振幅；列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点【变式2】（2018届浙江省杭州市第二中学6月热身）已知函数的部分图象如图.（）求函数的解析式.（）求函数在区间上的最值，并求出相应的值.【答案】(1).(2) 时，时，.【解析】（1）由图象可知，又，故.周期，又，.（2），.当时，.当时，.所以，.考点1 三角函数的定义域和值域【典例3】（2017新课标2）函数（）的最大值是_【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则，由可得，当时，函数取得最大值1【总结提升】1三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解2三角函数值域的不同求法(1)利用sin x和cos x的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成yAsin(x)的形式求值域；(3)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域；(4)利用sin xcos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域【变式3】函数的定义域是_【答案】【解析】(1)由题意得，即，分别由三角函数线得， 考点2 三角函数的单调性【典例4】（浙江省2019届高考模拟卷（一)）已知函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数的图象向左平移后得到偶函数的图象，则函数的一个单调递减区间为（ ）A B C D【答案】B【解析】函数f（x）sin（x+）（0，）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，则：T，所以：2将函数f（x）的图象向左平移后，得到g（x）sin（2x）是偶函数，故：（kZ），解得：（kZ），由于：，所以：当k0时则，令：（kZ），解得：（kZ），当k0时，单调递减区间为：，由于，故选：B【规律方法】1.求形如或(其中A0，)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：把“ ()”视为一个“整体”；A0(A0)时，所列不等式的方向与 ()， ()的单调区间对应的不等式方向相同(反)2.当时，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为的形式，然后求其单调递增区间，应把放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把放在正弦函数的递增区间之内.3已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解(2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解.【变式4】（浙江省台州市2019届高三上期末）已知函数求函数的单调递增区间；【答案】单调递增区间为，Z. 【解析】.所以，解得，.所以函数的单调递增区间为，. 考点3 三角函数的周期性【典例5】（2018年全国卷文）函数的最小正周期为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由已知得的最小正周期故选C.【规律方法】1.求三角函数的周期的方法（1）定义法：使得当取定义域内的每一个值时，都有.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；（2）公式法：和的最小正周期都是，的周期为.要特别注意两个公式不要弄混；(3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定. 如的周期都是, 但的周期为，而，的周期不变.2.使用周期公式，必须先将解析式化为或的形式；正弦余弦函数的最小正周期是，正切函数的最小正周期公式是；注意一定要注意加绝对值.3.对称与周期:正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.【变式5】（浙江省金丽衢十二校2019届高三第二次联考）已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求函数的单调增区间；（3）求函数在区间上的取值范围.【答案】（）；（）；（）【解析】（1）所以（2）由得 所以函数的单调递增区间是（3）由得，所以所以考点4 三角函数的奇偶性【典例6】（2018届辽宁省丹东市测试（二）设，若，则函数（ ）A. 是奇函数 B. 的图象关于点对称C. 是偶函数 D. 的图象关于直线对称【答案】C【解析】由题意得， ，函数为偶函数故选C【规律方法】1. 一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求；最后比较和的关系，如果有=，则函数是偶函数，如果有=-，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.2. 如何判断函数的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数的奇偶性，常见的结论如下：(1)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；(2)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；(3)若为奇函数则有.【变式6】（浙江省2019届高考模拟卷（二)）函数的图象可能是（ ）A B C D【答案】A【解析】由题意得函数的定义域为，函数为偶函数，函数图象关于y轴对称，故排除C,D又当时，因此可排除B故选A考点5 三角函数的对称性【典例7】（2018年江苏卷）已知函数的图象关于直线对称，则的值是_【答案】【解析】由题意可得，所以，因为，所以【规律方法】函数的对称性问题，往往先将函数化成的形式，其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心, 关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心【变式7】（浙江省杭州高级中学2019届高三上期中）已知函数与函数的图象的对称轴相同，则实数的值为( )A B C D【答案】D【解析】cos（2x），令2xk，得x，kZ故函数的对称轴为x，kz函数ysin2x+acos2xsin（2x+），tana令2x+n，可解得x，nZ，故函数ysin2x+acos2x的对称轴为x，nZ，因为两函数的对称轴相同,此时有即，n、kZ，atan故选：D考点6 三角函数的图象和性质的应用【典例8】（2018年理北京卷】设函数f（x）=，若对任意的实数x都成立，则的最小值为_【答案】【解析】因为对任意的实数x都成立，所以取最大值，所以，因为，所以当时，取最小值为.【规律方法】函数的