2015年全国高中数学联赛加试真题及解答(A卷).pdf

2015 年全国高中数学联合竞赛加试（全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）卷） 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 说明：说明： 1. 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分, 10 分为一个档次，不要增加其他中间档次分为一个档次，不要增加其他中间档次. 一、 （本题满分 40 分）一、 （本题满分 40 分）设 12 ,(2) n a aa n 是实数，证明：可以选取 12 ,1, 1 n ，使得 22 2 111 (1) nnn iiii iii aana = + 证法一证法一：我们证明： 2 2 2 2 111 1 2 (1) n nnn iiji niii j aaana = =+ + ， 即对1, 2 n i = ，取1 i =；对1, 2 n in =+ ，取1 i = 符合要求 （这里， x 表示实数x的整数部分 ） 10 分 事实上，的左边为 22 22 11 11 22 nn nn ijij nnii jj aaaa = =+=+ + 22 2 1 1 2 22 n n ij ni j aa = =+ =+ 2 22 1 1 2 22 22 n n ij ni j nn ana = =+ + （柯西不等式） 30 分 2 22 1 1 2 1 22 22 n n ij ni j nn aa = =+ + =+ （利用 1 22 nn n + = ） 2 22 1 1 2 (1) n n ij ni j nana = =+ + （利用 xx） 2 1 (1) n i i na = + ， 所以得证，从而本题得证 40 分 证法二证法二：首先，由于问题中 12 , n a aa的对称性，可设 12n aaa此 外，若将 12 , n a aa中的负数均改变符号，则问题中的不等式左边的 2 1 n i i a = 不 减，而右边的 2 1 n i i a = 不变，并且这一手续不影响1 i = 的选取，因此我们可进一 步设 12 0 n aaa 10 分 引理：设 12 0 n aaa，则 1 1 1 0( 1) n i i i aa = 事实上，由于 1( 1, 2,1) ii aain + =，故当n是偶数时， 1 12341 1 ( 1)()()()0 n i inn i aaaaaaa = =+ ， 1 123211 1 ( 1)()() n i innn i aaaaaaaa = = 当n是奇数时， 1 123421 1 ( 1)()()()0 n i innn i aaaaaaaa = =+ ， 1 12311 1 ( 1)()() n i inn i aaaaaaa = = 引理得证 30 分 回到原题，由柯西不等式及上面引理可知 22 122 1 111 ( 1) nnn i iii iii aanaa = + 2 1 (1) n i i na = + ， 这就证明了结论 40 分 二、 （本题满分 40 分）二、 （本题满分 40 分）设 12 , n SA AA=，其中 12 , n A AA是n个互不相 同 的 有 限 集 合 （2n ） ， 满 足 对 任 意, ij A AS， 均 有 ij AAS 若 1 min | 2 i i n kA =证明：存在 1 n i i xA = ，使得x属于 12 , n A AA中的至少 n k 个集 合（这里X表示有限集合X的元素个数） 证明证明：不妨设 1 |Ak=设在 12 , n A AA中与 1 A不相交的集合有s个，重新 记为 12 , s B BB，设包含 1 A的集合有t个，重新记为 12 , t C CC由已知条件， 1 () i BAS，即 112 (), it BAC CC，这样我们得到一个映射 1212 :, st fB BBC CC， 1 () ii f BBA= 显然f是单映射，于是st 10 分 设 112 , k Aa aa=在 12 , n A AA中除去 1212 , st B BB C CC后，在剩 下的nst 个集合中， 设包含 i a的集合有 i x个 （1ik ） ， 由于剩下的nst 个 集合中每个集合与 1 A的交非空，即包含某个 i a，从而 12k xxxnst+ 20 分 不妨设 1 1 max i i k xx =，则由上式知 1 nst x k ，即在剩下的nst 个集合中， 包含 1 a的集合至少有 nst k 个又由于 1i AC（1,it= ） ，故 12 , t C CC都 包含 1 a，因此包含 1 a的集合个数至少为 (1)nstnsktnst t kkk + + + =（利用2k ） n k （利用ts） 40 分 三、 （本题满分 50 分）三、 （本题满分 50 分） 如图，ABC内接于圆O，P为 BC上一点，点K在线段AP上，使得BK平分ABC过 KPC、 、三点的圆与边AC交于点D，连接BD交圆 于点E，连接PE并延长与边AB交于点F证明： 2ABCFCB= F E D K O BC A P 证法一证法一：设CF与圆 交于点L（异于C） ，连接PBPC、BL、KL 注意此时C、D、L、K、E、P六点均在圆 上，结合A、B、P、C四 点共圆，可知 180FEBDEPDCPABPFBP= = = ， 因此FBEFPB，故 2 FBFE FP= 10 分 又由圆幂定理知，FE FPFL FC=，所以 2 FBFL FC=， 从而FBLFCB 20 分 因此 FLBFBCAPCKPCFLK= = = = ， 即BKL、 、三点共线 30 分 再根据FBLFCB得， 1 2 FCBFBLFBEABC= = =， 即2ABCFCB= 50 分 证法二证法二：设CF与圆交于点L（异于C） 对圆 内接广义六边形DCLKPE应用帕斯卡定理可知，DC 与KP的交点A、CL与PE的交点F、LK与ED的交 点 B 共线，因此 B 是 AF 与ED的交点，即BB = 所 以B、K、L共线 30 分 根据A、B、P、C四点共圆及L、K、P、C四 点共圆，得 ABCAPCFLKFCBLBC= = = +， 又由BK平分ABC知， 1 2 LBCABC=，从而2ABCFCB= 50 分 四、 （本题满分 50 分）四、 （本题满分 50 分）求具有下述性质的所有正整数k：对任意正整数n， (1)1 2 kn+ 不整除 ()! ! kn n 解解：对正整数m，设 2( ) m表示正整数m的标准分解中素因子 2 的方幂，则 熟知 L F E D K O B(B) C A P L F E D K O B C A P 2( !) ( )mmS m=， 这里( )S m表示正整数m在二进制表示下的数码之和 由 于 (1)1 2 kn+ 不 整 除 ()! ! kn n 等 价 于 2 ()! (1) ! kn kn n ， 即 22 ()!)( !)knknnn， 进而由知，本题等价于求所有正整数k，使得 ()( )S knS n对任意正整数n成立 10 分 我们证明，所有符合条件的k为2 (0,1, 2,) a a = 一方面，