2016年锦州市高二数学下期末试卷(文有答案和解释）

1 / 26 2016 年锦州市高二数学下期末试卷 (文有答案和解释） 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 m XX-2016 学年辽宁省锦州市高二（下）期末数学试卷（文科） 一、选择题（共 12个小题，每小题 5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .） 1已知 i 是虚数单位，则复数 z=在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A第一象限 B第二象限 c第三象限 D第四象限 2已知集合 m=1，（ m2 3m 1） +（ m2 5m 6） i， N=1，3， m N=1， 3，则实数 m 的值为（ ） A 4B 1c 4 或 1D 1 或 6 3下列框图中是流程图的是（ ） A B c D 4设函数 f（ x）（ xR ）为奇函数， f（ 1） =， f（ x+2） =f（ x） +f（ 2），则 f（ 3） =（ ） A B c 1D 2 5类比下列平面内的结论，在空间中仍能成立的是（ ） 平行于同一直线的两条直线平行； 2 / 26 垂直于同一直线的两条直线平行； 如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直； 如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另 一条相交 A B c D 6 观 察 下 式 ： 1=12 ， 2+3+4=32 ， 3+4+5+6+7=52 ，4+5+6+7+8+9+10=72， ，则第 n 个式子是（ ） A n+（ n+1） +（ n+2） + （ 2n 1） =n2B n+（ n+1） +（ n+2）+ （ 2n 1） =（ 2n 1） 2 c n+（ n+1） +（ n+2） + （ 3n 2） =（ 2n 1） 2D n+（ n+1）+（ n+2） + （ 3n 1） =（ 2n 1） 2 7已知函数 f（ x） =（ x a）（ x b）（其中 a b），若 f（ x）的 图象如图所示，则函数 g（ x） =ax+b的图象大致为（ ） A B c D 8 “ 因为对数函数 y=logax 是增函数（大前提），而 y=是对数函数（小前提），所以 y=是增函数（结论） ” 上面推理的错误是（ ） A大前提错导致结论错 B小前提错导致结论错 c推理形式错导致结论错 3 / 26 D大前提和小前提都错导致结论错 9变量 x， y 具有线性相关关系，当 x 取值为 16， 14， 12，8 时，通过观测得到 y 的值分别为 11， 9， 8， 5若在实际问题中，预测当 y=10时， x 的近似值为（ ） （参考公 式：， =） A 14B 15c 16D 17 10函数 f（ x） =2x 1+log2x 的零点所在的一个区间是（ ） A（，） B（，） c（， 1） D（ 1， 2） 11下列说法 将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变； 设有一个回归方程，变量 x 增加一个单位时， y 平均增加5 个单位； 线性回归方程必过点； 在一个 22 列联表中，由计算得 2= ，则其两个变量间有关系的可能性是小于 90% 独立性检验临界值表 P（ 2k ） 其中错误的个数是（ ） A 1B 2c 3D 4 4 / 26 12已知函数 f（ x） =lnx+tan （ 0 ）的导函数为 f（ x），若方程 f（ x） =f（ x）的根 x0小于 1，则 的取值范围为（ ） A B c D 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分 .共 20分 .） 13如果质点 m 按规律 s=3+t2运动，则在一小段时间 2， 中相应的平均速度是 14用反证法证明命题 “ 若 a2+b2=0，则 a， b 全为 0（ a， b为实数） ” ，其反设为 15如图是集合的知识结构图，如果要加入 “ 子集 ” ，则应该放 在 的下位 16已知函数 f（ x）的定义域为（ 0， + ），且 f（ x） =2f（） 1，则 f（ x） = 三解答题（共 6 个小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .） 17已知 i 是虚数单位， z1=x+yi（ x， yR ），且 x2+y2=1，z2=（ 3+4i） z1+（ 3 4i） （ I）求证： z2R ； （ II）求 z2的最大值和最小值 5 / 26 18某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润（单位：万元）分别为 L1=和 L2=2x，其中 x 为销售量（单位：辆） 若该公司在这两地共销售 15 辆车，求该公司能获得的最大利润为多少万元？ 19已知 a b 0，求证： 20第 24届冬奥会将于 2022年在我国北京和张家口举行，为了搞好接待工作，组委会招募了 16名男志愿者和 14名女志愿者，调查发现，男，女志愿者中分别有 10 人和 6 人喜爱运动，其余人不喜爱运动 （ I）根据以上数据完成以下 22 列联表： 喜爱运动不喜爱运动总计 男 1016 女 614 总计 30 （ II）根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为性别与喜爱运动有关？ （ III） 如果从喜欢运动的女志愿者中（其中恰有 4 人会外语），抽取 2 名负责翻译工作，那么抽出的志愿者中至少有 1人能胜任翻译工作的概率是多少？ 附： 独立检验临界值表： P（ 2k0 ） 6 / 26 21对于函数 f（ x），若存在 x0R ，使 f（ x0） =x0成立，则称 x0 为 f（ x）的不动点已知 f（ x） =ax2+（ b+1） x+b 1（ a0 ） （ 1）当 a=1， b= 2 时，求函数 f（ x）的不动点； （ 2）若对任意实数 b，函数 f（ x）恒有两个相异的不动点，求 a 的范围； （ 3）在（ 2）的条件下，若 y=f（ x）图象上 A、 B 两点的横坐标是函数 f（ x）的不动点，且 A、 B 两点关于直线 y=kx+对称，求 b 的最小值 22已知函数 f（ x） =ax2（ 2a+1） x+2lnx（ aR ） （ ）若曲线 y=f（ x）在 x=1 和 x=3 处的切线互相平行，求 a 的值； （ ）求 f（ x）的单调区间； （ ）设 g（ x） =x2 2x，若对任意 x1 （ 0， 2，均存在x2 （ 0， 2，使得 f（ x1） g（ x2），求 a 的取值范围 XX-2016学年辽宁省锦州市高二（下）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 7 / 26 一、选 择题（共 12个小题，每小题 5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .） 1已知 i 是虚数单位，则复数 z=在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A第一象限 B第二象限 c第三象限 D第四象限 【考点】复数代数形式的乘除运算 【分析】利用复数的运算法则及其几何意义即可得出 【解答】解：复数 z=在复平面内对应的点所在的象限为第四象限 故选： D 2已知集合 m=1，（ m2 3m 1） +（ m2 5m 6） i， N=1，3， mN=1 ， 3，则实数 m 的值为（ ） A 4B 1c 4 或 1D 1 或 6 【考点】复数相等的充要条件；交集及其运算 【分析】根据题意，由交集的定义可得 3m ，结合集合 m，可得（ m2 3m 1） +（ m2 5m 6） i=3，进而由复数相等的意义，可得（ m2 3m 1） =3且（ m2 5m 6） =0，解可得 m的值 【解答】解：根据题意，若 mN=1 ， 3，则 3m ， 而 m=1，（ m2 3m 1） +（ m2 5m 6） i， 则有（ m2 3m 1） +（ m2 5m 6） i=3， 8 / 26 即（ m2 3m 1） =3且（ m2 5m 6） =0， 解可得 m= 1， 故选： B 3下列框图中是流程图的是（ ） A B c D 【考点】流程图的概念 【分析】流程线表示操作的先后次序，由流程图的概念即可得解 【解答】解：流程图是由一些图框和流程线组成的，其中流程线表示操作的先后次序 故选： A 4设函数 f（ x）（ xR ）为奇函数， f（ 1） =， f（ x+2） =f（ x） +f（ 2），则 f（ 3） =（ ） A B c 1D 2 【考点】函数奇偶性的性质 【分析】由条件利用函数的奇偶性的性质求得 f（ 1） 的值，再根据 f（ 1） =f（ 1+2） = f（ 1） +f（ 2），求得 f（ 2）的值，从而求得 f（ 3） =f（ 1+2） =f（ 1） +f（ 2）的值 【解答】解：函数 f（ x）（ xR ）为奇函数， f（ 1） =， f（ x+2）=f（ x） +f（ 2）， 9 / 26 f （ 0） =0， 且 f（ 1） =f（ 1+2） =f（ 1） +f（ 2） = f（ 1） +f（ 2）， f （ 2） =2f（ 1） =1， 则 f（ 3） =f（ 1+2） =f（ 1） +f（ 2） =+1=， 故选： B 5类比下列平面内的结论，在空间中仍能成立的是（ ） 平行于同一直线的 两条直线平行； 垂直于同一直线的两条直线平行； 如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直； 如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交 A B c D 【考点】类比推理 【分析】对四个命题进行判断，即可得出结论 【解答】解：根据平行公理，可知 正确； 垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面，故不正确； 如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直，符合异面直线所成角的定义，故正确； 如果一条直线与两条平行线中的 一条相交，则不一定与另一条相交，也可能异面，故不正确 10 / 26 故选： B 6 观 察 下 式 ： 1=12 ， 2+3+4=32 ， 3+4+5+6+7=52 ，4+5+6+7+8+9+10=72， ，则第 n 个式子是（ ） A n+（ n+1） +（ n+2） + （ 2n 1） =n2B n+（ n+1） +（ n+2）+ （ 2n 1） =（ 2n 1） 2 c n+（ n+1） +（ n+2） + （ 3n 2） =（ 2n 1） 2D n+（ n+1）+（ n+2） + （ 3n 1） =（ 2n 1） 2 【考点】归纳推理 【分析】观察所给的等式， 右边是奇数的平方，左边是连续的整数的和，问题得以解决 【 解 答 】 解 ： 1=12 ， 2+3+4=32 ， 3+4+5+6+7=52 ，4+5+6+7+8+9+10=72， ， n+ （ n+1） +（ n+2） + （ n+2n 2） =（ 2n 1） 2， 故选： c 7已知函数 f（ x） =（ x a）（ x b）（其中 a b），若 f（ x）的图象如图所示，则函数 g（ x） =ax+b的图象大致为（ ） A B c D 【考点】指数函数的图象变换；函数的零点与方程根的关系 11 / 26 【分析】根据题意，易得（ x a） （ x b） =0的两根为 a、 b，又由函数零点与方程的根的关系，可得 f（ x） =（ x a）（ x b）的零点就是 a、 b，观察 f（ x） =（ x a）（ x b）的图象，可得其与 x 轴的两个交点分别在区间（ ， 1）与（ 0， 1）上，又由 a b，可得 b 1， 0 a 1；根据函数图象变化的规律可得 g（ x） =aX+b的单调性即与 y 轴交点的位置，分析选项可得答案 【解答】解：由二次方程的解法易得（ x a）（ x b） =0的两根为 a、 b； 根据函数零点与方程的根的关系，可得 f（ x） =（ x a）（ x b）的零点就是 a、 b，即函数 图象与 x 轴交点的横坐标； 观察 f（ x） =（ x a）（ x b）的图象，可得其与 x 轴的两个交点分别在区间（ ， 1）与（ 0， 1）上， 又由 a b，可得 b 1， 0 a 1； 在函数 g（ x） =ax+b 可得，由 0 a 1 可得其是减函数， 又由 b 1 可得其与 y 轴交点的坐标在 x 轴的下方； 分析选项可得 A 符合这两点， BcD均不满足； 故选 A 8 “ 因为对数函数 y=logax 是增函数（大前提），而 y=是对数函数（小前提），所以 y=是增函数（结论） ” 上面推理的错误是（ ） 12 / 26 A大前提错导致结论 错 B小前提错导致结论错 c推理形式错导致结论错 D大前提和小前提都错导致结论错 【考点】进行简单的演绎推理 【分析】当 a 1 时，对数函数 y=logax 是增函数，当 0 a 1 时，对数函数 y=logax是减函数，故可得结论 【解答】解：当 a 1 时，对数函数 y=logax 是增函数，当0 a 1 时，对数函数 y=logax是减函数， 故推理的大前提是错误的 故选 A 9变量 x， y 具有线性相关关系，当 x 取值为 16， 14， 12，8 时，通过观测得到 y 的值分别为 11， 9， 8， 5若在实际问题中，预测当 y=10时， x 的近似值为（ ） （参考公式：， =） A 14B 15c 16D 17 【考点】线性回归方程 【分析】本题考查的知识点是线性回归方程的求法，由已知中 x 取值为 16， 14， 12， 8 时， y 的值分别为 11， 9， 8， 5我们可以计算出 =， =， xiyi=438， =660代入回归系数计算公式即可计算出斜率 b 的值，再求出 a 值，代入即可得到回归13 / 26 直线的方程再将 y=10代入，即得答案 【解答】解：由题意得： =， =， xiyi=438， =660 则 b= ， a= = ， 故回归 直线方程为 y= +， 由 y= +， 得 x=15 ， 故选： B 10函数 f（ x） =2x 1+log2x 的零点所在的一个区间是（ ） A（，） B（，） c（， 1） D（ 1， 2） 【考点】函数零点的判定定理 【分析】根据函数 f（ x） =2x 1+log2x，在（ 0， + ）单调递增， f（ 1） =1， f（） = 1，可判断分析 【解答】解： 函数 f（ x） =2x 1+log2x，在（ 0， + ）单调递增 f （ 1） =1， f（） = 1， 根据函数的零点的判断方法得出：零 点所在的一个区间是（）， 故选： c 11下列说法 14 / 26 将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变； 设有一个回归方程，变量 x 增加一个单位时， y 平均增加5 个单位； 线性回归方程必过点； 在一个 22 列联表中，由计算得 2= ，则其两个变量间有关系的可能性是小于 90% 独立性检验临界值表 P（ 2k ） 其中错误的个数是（ ） A 1B 2c 3D 4 【考点】命题的真假判断与应用 【分析】 根据方差的性质进行判断， 回归系数为 5，则变量 x 增加一 个单位时， y 平均减少 5， 回归直线必须过样本中心， 根据独立性检验临界值表，求出对应的概率即可 【解答】解： 将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，根据方差的性质得方差不变；故 正确， 设有一个回归方程，变量 x 增加一个单位时， y 平均减少5 个单位；故 错误， 根据回归方程的性质得线性回归方程必过点；故 正确， 15 / 26 在一个 22 列联表中，由计算得 2= ，则 P（ 2 ） =%，则其两个变量间有关系的可能性是超过 %故 错误， 故错误是 ， 故选： B 12已知函数 f（ x） =lnx+tan （ 0 ）的导函数为 f（ x），若方程 f（ x） =f（ x）的根 x0小于 1，则 的取值范围为（ ） A B c D 【考点】利用导数研究函数的单调性 【分析】由于 f （ x） =， f （ x0） =， f （ x0） =f（ x0），可得 =lnx0+tan ，即 tan= lnx0，由 0 x0 1，可得lnx0 1，即 tan 1，即可得出 【解答】解： f （ x） =， f （ x0） =， f （ x0） =f（ x0）， =lnx0+tan ， tan= lnx0， 又 0 x0 1， 可得 lnx0 1，即 tan 1， （，） 故选： A 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分 .共 20分 .） 16 / 26 13如果质点 m 按规律 s=3+t2运动，则在一小段时间 2， 中相应的平均速度是 【考点】定积分 【分析】根据平均速度的计算公式进行计算即可 【解答】解： 质点 m 按规律 s=s（ t） =3+t2运动， 在一小段时间 2， 中相应的平均速度 v=， 故答案为： 14用反证法证明命题 “ 若 a2+b2=0，则 a， b 全为 0（ a， b为实数） ” ，其反设 为 a， b 不全为 0 【考点】反证法与放缩法 【分析】把要证的结论否定之后，即得所求的反设 【解答】解：用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立， 所以用反证法证明命题 “ 若 a2+b2=0，则 a， b 全为 0（ a， b为实数） ” ，其反设为 a， b 不全为 0， 故答案为： a， b 不全为 0 15如图是集合的知识结构图，如果要加入 “ 子集 ” ，则应该放在 “ 基本关系 ” 的下位 【考点】结构图 17 / 26 【分析】根据由于 “ 子集 ” 是在基本关系中的概念，故要加入 “ 子集 ” ，则应该放在 “ 集合 ” 的下位 “ 集合的运算 ” 的下位 “ 基本关系 ” 的下位上，进而得到答案 【解答】解：由于 “ 子集 ” 是在基本关系中的概念 故子集应放在 “ 集合 ” 的下位 “ 集合的运算 ” 的下位 “ 基本关系 ” 的下位上 故答案为： “ 基本关系 ” 16已知函数 f（ x）的定义域为（ 0， + ），且 f（ x） =2f（） 1，则 f（ x） = + 【考点】函数解析式的求解及常用方法 【分析】根据 f（ x） =2f（） 1，考虑到所给式子中含有 f（ x）和 f（），用代替 x 代入 f（ x） =2f（） 1，解关于入f（ x）与 f（）的方程组，即可求得 f（ x） 【解答】解：考虑到所给式子中含有 f（ x）和 f（），故可考虑利用换元法进行求解 在 f（ x） =2f（） 1，用代替 x， 得 f（） =2f（ x） 1，将 f（） = 1 代入 f（ x） =2f（）1 中，可求得 f（ x） =+ 故答案为： + 三解答题（共 6 个小题，共 70 分。解答应写出文字说明，18 / 26 证明过程或演算步骤 .） 17已知 i 是虚数单位， z1=x+yi（ x， yR ），且 x2+y2=1，z2=（ 3+4i） z1+（ 3 4i） （ I）求证： z2R ； （ II）求 z2的最大值和最小值 【考点】复数代数形 式的混合运算 【分析】（ ）求出 z1的共轭复数，再代入计算即可证明， （ ）设 u=6x 8y，代入 x2+y2=1 消去 y 得，根据判别式法即可求出 【解答】解：（ ）证明 z1=x+yi ， 1=x yi（ x， yR ）， z1+1=2x ， z1 1=2yi z2= （ 3+4i） z1+（ 3 4i） 1， =3（ z1+） +4i（ z1 1） =6x+8yi2=（ 6x 8y） R （ ）解 x2+y2=1 ， 设 u=6x 8y，代入 x2+y2=1消去 y 得 64x2+（ 6x u） 2=64 100 x2 12ux+u2 64=0 xR ， 0 144u2 4100 （ u2 64） 0 u2 1000 10u10 19 / 26 z2 的最大值是 10，最小值是 10 18某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润（单位：万元）分别为 L1=和 L2=2x，其中 x 为销售量（单位：辆）若该公司在这两地共销售 15 辆车，求该公司能获得的最大利润为多少万元？ 【考点】函数模型的选择与应用 【分析】先根据题意，设甲销售 x 辆，则乙销售（ 15 x）辆，再列出总利润 y 的表达式，是 一个关于 x 的二次函数，最后求此二次函数的最大值即可 【解答】解：设甲地销售 x辆，则乙地销售 15 x辆， 0x15 ， 则该公司能获得的最大利润 y= +2（ 15 x） = +30， 当 x=时， S 取最大值 又 x 必须是整数，故 x=10，此时 Smax=（万元） 即甲地销售 10 辆，则乙地销售 5 辆时，该公司能获得的最大利润为万元 19已知 a b 0，求证： 【考点】基本不等式 【分析】可以看出中间项为 0，可采用做商比较法或做差比较法 【解答】解： 20 / 26 又 = a b 0， ，所 以上式大于 1， 故成立， 同理可证 20第 24届冬奥会将于 2022年在我国北京和张家口举行，为了搞好接待工作，组委会招募了 16名男志愿者和 14名女志愿者，调查发现，男，女志愿者中分别有 10 人和 6 人喜爱运动，其余人不喜爱运动 （ I）根据以上数据完成以下 22 列联表： 喜爱运动不喜爱运动总计 男 1016 女 614 总计 30 （ II）根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为性别与喜爱运动有关？ （ III）如果从喜欢运动的女志愿者中（其中恰有 4 人会外语），抽取 2 名负 责翻译工作，那么抽出的志愿者中至少有 1人能胜任翻译工作的概率是多少？ 附： 独立检验临界值表： P（ 2k0 ） 21 / 26 【考点】独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】（ I）由题中条件补充 22 列联表中的数据， （ II）利用 22 列联表中的数据，计算出 k2，对性别与喜爱运动有关的程度进行判断， （ III）喜欢运动的女志愿者有 6 人，总数是从这 6 人中挑两个人，而有 4 人会外语，求出满足条件的概率即可 【解答】解：（ I） 喜爱运动不喜爱运动总计 男 10616 女 6814 总计 161430 （ II）假设：是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得 k2= 因此，在犯错误的概率不超过的前提下不能判断喜爱运动与性别有关 （ III）喜欢运动的女志愿者有 6 人， 设喜欢运动的女志愿者分别为 A、 B、 c、 D、 E、 F，其中 A、B、 c、 D 会外语，则从这 6 人中任取 2 人有 AB， Ac， AD， AE，AF， Bc， BD， BE， BF， cD， cE， cF， DE， DF， EF，共 15 种22 / 26 取法， 其中两人都不会外语的只有 EF 这 1 种取法 故抽出的志愿者中至少有 1人能胜任翻译工作的概率是 P=1 = 21对于函数 f（ x），若存在 x0R ，使 f（ x0） =x0成立，则称 x0 为 f（ x）的不动点已知 f（ x） =ax2+（ b+1） x+b 1（ a0 ） （ 1）当 a=1， b= 2 时，求函数 f（ x）的不动点； （ 2）若对任意实数 b，函数 f（ x）恒有两个相异的不动点，求 a 的范围； （ 3）在（ 2）的条件下，若 y=f（ x）图象上 A、 B 两点的横坐标是函数 f（ x）的不动点，且 A、 B 两点关于直线 y=kx+对称，求 b 的最小值 【考点】二次函数的性质；二次函数的图象；函数与方程的综合运用 【分析 】（ 1）转化为直接解方程 x2 x 3=x即可 （ 2）转化为 ax2+bx+b 1=0有两个不等实根，转化为 b24a（ b 1） 0 恒成立，再利用二次函数大于 0 恒成立须满足的条件来求解即可 （ 3）利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直找到 a， b 之间的23 / 26 关系式，整理后在利用基本不等式求解可得 【解答】解：（ 1） a=1 ， b= 2 时， f（ x） =x2 x 3， f（ x） =xx2 2x 3=0x= 1， x=3 函数 f（ x）的不动点为 1 和 3； （ 2）即 f（ x） =ax2+（ b+1） x+b 1=x有两个不等实根， 转化为 ax2+bx+b 1=0有两个不等实根，须有判别式大于 0恒成立 即 b2 4a（ b 1） 0= （ 4a） 2 44a 00 a 1， a 的取值范围为 0 a 1； （ 3）设 A（ x1， x1）， B（ x2， x2），则 x1+x2=， A， B 的中点 m 的坐标为（，），即 m（，） A 、 B 两点关于直线 y=kx+对称， 又因为