函数的奇偶性-PPT精品课件.ppt

,函数的奇偶性,在日常生活中，有非常多的轴对称现象，如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几个例子。,除了轴对称外，有些是关于某点对称，如风扇的叶子，如图： 它关于什么对称？,而我们所学习的函数图像也有类似的 对称现象，请看下面的函数图像。,观察下面两组图像，它们是否也有对称性呢？,1,-1,f(x)=x2,（1）,（2）,-x,x,f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4,例如：函数f(x)=x2 ，如下：,f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1,f(-x)=(-x)2=x2,f(-1)=f(1) f(-2)=f(2) f(-x)=f(x),结论:当自变量x任取定义域 中的一对相反数时,对应的 函数值相等，即f(-x)=f(x),例如：对于函数f(x)=x3,有 f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1,f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8,f(-x)=(-x)3=-x3,f(-1)= - f(1) f(-2)= - f(2) f(-x)= - f(x),-x,x,结论:当自变量任取定义域中的两个相反数时,对应的函数值也互为相反数,即f(-x)=-f(x),函数奇偶性的定义:,偶函数定义: 如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数.,奇函数定义: 如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.,理解定义,4,-2,思考？,函数具有奇偶性的前提是什么？,函数的定义域关于原点对称,对于奇、偶函数定义的几点说明:,(2) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件。,（3）奇、偶函数定义的逆命题也成立， 即：若函数f(x)为奇函数, 则f(-x)=f(x)成立。 若函数f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。,（1） 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就 是说函数f(x) 具有奇偶性。,在线测试,1、对于定义在R上的函数f(x)，下列判断是否正确？ （1）若f(x)是偶函数，则f(-2)=f(2) ( ) （2）若f(-2)=f(2)，则函数f(x)是偶函数（ ） （3）若f(-2)f(2)，则函数f(x)不是偶函数（ ） 2、已知函数f(x)是偶函数，且f（3）=3，则f(-3)=（ ） A、-3 B、3 C、0 D、无法确定 3、下列四个结论： 偶函数的图像一定与y轴相交； 奇函数的图像一定过原点； 偶函数的图像关于y轴对称； 奇函数y=f(x)(x)的图像必过（-a,f(a)） 表述正确的个数是 A、1 B、 2 C、3 D、4,4、已知函数f(x)是奇函数，且f(3)=3，则f(-3)等于（ ） A、-3 B、3 C、0 D、无法确定 5、已知函数f(x)=x3，-5x5，则下列结论正确的是（ ） （A） 函数f(x)是奇函数 （B）函数f(x)的图像关于原点中心对称 （C）函数定义域中由无数多个x，使得f(-x)=-f(x) （D）函数f(x)的定义域是关于原点对称的区域,思考：如何判断一个函数的奇偶性呢？,（1）图像法 （2）定义法,例1.根据下列函数图象,判断函数奇偶性.,y,x,y,x,y,x,典例详解,奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数.,偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.,o,y,x,例2 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图，画出y=f(x)在 y轴左边的图象。,第一课时【互动探究案】例2、已知函数y=f(x)是偶函数，且知道x 0是的图像，请作出另一半图象。,y,x,练习,例3. 判断下列函数的奇偶性,(1) f(x)=x3+x (2) f(x)=3x4+6x2 +a,解: 定义域为R f(-x)=(-x)3+(-x) = -x3-x = -(x3+x) 即 f(-x)= - f(x) f(x)为奇函数,解: 定义域为R f(-x)=3(-x)4+6(-x)2 +a =3x4+6x2 +a 即 f(-x)= f(x) f(x)为偶函数,说明：用定义判断函数奇偶性的步骤:,先求出定义域，看定义域是否关于原点对称.,再判断f(x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否成立.,用定义法判断函数奇偶性解题步骤:,(1)先确定函数定义域,并判断 定义域是否关于原点对称;,(2)求f(-x)，找 f(x)与f(-x)的关系; 若f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数; 若f(-x)= - f(x),则f(x)是奇函数.,(3)作出结论. f(x)是偶函数或奇函数或非奇非偶函数或即是奇函数又是偶函数。,练习: 说出下列函数的奇偶性:,f(x)=x4 _, f(x)=x _, f(x)=x -2 _, f(x)=x5 _,f(x)=x -3 _, f(x)= x -1 _,奇函数,奇函数,奇函数,奇函数,偶函数,偶函数,对于形如 f(x)=x n ( ) 的函数，在定义域R内: 若n为偶数，则它为偶函数。 若n为奇数，则它为奇函数。,思考1：函数f(x)=2x+1是奇函数吗？是偶函数吗？,x,y,0,1,2,f(x)=2x+1,-1,分析：函数的定义域为R 但是f(-x)=2(-x)+1 = -2x+1 f(-x) - f(x)且f(-x) f(x) f(x)既不是奇函数也不是偶函数。（也称为非奇非偶函数） 如右图所示：图像既不关于原点对称也不关于y轴对称。,(1) f(x)= (2) f(x)=x2 x- 4 , 4),解: 定义域不关于原点 对 称 或 f(-4)=(-4)2 =16; f(4)在定义域里没有意义. f(x)为非奇非偶函数,解: 定义域为 0 ,+) 定义域不关于原点对称 f(x)为非奇非偶函数,思考2：以下两个函数是奇函数吗？是偶函数吗？,思考3：,在前面的几个函数中有的是奇函数，有的是偶函数，也有非奇非偶函数。那么有没有这样的函数，它既是奇函数又是偶函数呢？,有。例如：函数 f(x)=0,是不是只有这一个呢？若不是，请举例说明。,x,y,0,1,f(x)=0,-1,奇函数 偶函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数,根据奇偶性, 函数可划分为四类:,课堂小结,1奇偶性定义:对于函数f(x)