§利用向量解决平行与垂直问题

1 / 8 利用向量解决平行与垂直问题 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲 山课件 m 利用向量解决平行与垂直问题 【学情分析】： 教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识 ,前面又学习了用向量表示线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系，所以本节课是通过运用这些关系解决立体几何中的平行与垂直问题。本次课内容不难理解，但学生自己做题时往往会遇到一个如何转化的问题，因此，教学中应重点抓住转换思想来进行 . 【教学目标】： （ 1）知识与技能：继续理解用向 量表示空间中平行与垂直的关系和方法；会用向量法和坐标法等方法解决立体几何中的平行与垂直问题 . （ 2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。 （ 3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。 【教学重点】： 向量法与坐标法 . 【教学难点】： 2 / 8 立体几何中的平行与垂直问题向向量问题的转化 . 【教学过程设计】： 教学环节教学活动设计意图 一、复习引入 1用空间向量解决立体几何问题的 “ 三步曲 ”. 2平行与垂直关系的向量表示 。为学习新知识做准备 . 二、探究新知 一、用向量处理平行问题 分析：先复习共面向量定理。要解决问题，可以考虑将向量用向量线性表示出来。 评注： 向量 p 与两个不共线的向量 a、 b 共面的充要条件是存在实数对 x,y使 p=xa+yb. 利用共面向量定理可以证明线面平行问题。 本题用的就是向量法。 （图略） 分析：面面平行线面平行线线平行。 3 / 8 评注： 由于三种平行关系可以相互转化，所以本题可用逻辑推理来证明。用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化，在应用向量法时需要合理 建立空间直角坐标系，方能减少运算量。 本题选用了坐标法。 思考： 一般应如何建立空间直角坐标系？ 二、用向量处理垂直问题 （图略） 分析：线面垂直线线垂直。 评注： 本题若用一般法证明，容易证 A F 垂直于 BD，而证 A F垂直于 DE， 或证 A F 垂直于 EF则较难，用建立空间坐标系的方法能使问题化难为易。 例 4，证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定理） 已知：如图 ,oB是平面的斜线， o 为斜足， A 为垂足， 求证： 证明： 4 / 8 例 1 是一道线面平行问题，需要利用共面向量定理来证明。同时介绍解决问题的向量法。 联系共线向量来理解。 例 2 是关于面面平行的问题，联系几何定理与向量平行。同时介绍解决问题的坐标法。 例 3 是线面垂直问题，图形和例 2 一样是正方体，可进一步训练坐标法。 让学生体会坐标法的优势。 用向量法证明三垂线定理。 三、练习巩固分别用向量法和坐标法解决以下问题： 向量法： 所以，结论成立。 坐标法： 证明：（图略） 5 / 8 巩固知识，培养技能 . 四、小结利用向量解决平行与垂直问题 1向量法：利用向量的概念技巧运算解决问题。 2坐标法：利用数及其运算解决问题。 两种方法经常结合起来使用。反思归纳 五、作业 1，直三棱柱中，角 AcB 是直角， Ac 1， cB，侧棱 =1，侧面的两条对角线交点为 D，的中点为 m，求证 cD平面 BDm。 2，课本 p111第 1、 3 题。 练习与测试： （基础题） 1，直三棱柱 ABc A1B1c1中，若，则 （ ） A + B + c + D + 答： D 2，若向量、 （ ） A B c D以上三种情况都可能 答： B 3，一空间四边形 ABcD 的对边 AB 与 cD， AD 与 Bc 都互相垂直，用向量证明： Ac与 BD 也互相垂直 证明： .又， 6 / 8 即 . . 又，即 . 由 + 得：即 . 4，如图，已知矩形 ABcD所在平面外一点 P， PA 平面 ABcD，E、 F 分别是 AB、 Pc的中点 （ 1）求证： EF 平面 PAD； （ 2）求证： EFcD ； 证：如图，建立空间直角坐标系 A xyz，设 AB 2a， Bc 2b， PA 2c，则： A(0,0,0)， B(2a,0,0)， c(2a,2b,0)， D(0,2b,0)， P(0,0,2c) E 为 AB的中点， F 为 Pc的中点 E(a,0,0) ， F(a,b,c) (1) (0,b,c)， (0,0,2c)， (0,2b,0) ( ) 与、共面 又 EÏ 平面 PAD EF 平 面 PAD (2) (-2a,0,0) (-2a,0,0)(0,b,c) 0 cDEF （较难题） 5，对于任何空间四边形，试证明它的一对对边中点的连线段与另一对对边平行于同一平面。 7 / 8 分析要证明 EF、 Bc、 AD平行于同一平面 DF （ E、 F 分别为 AB、 cD的中点），只要证明相应 AEc 向量 EF与 AD、 Bc共面即可。 B 证明：如图，利用多边形加法法则可得， =+， =+ 。 又 E、 F 分别是 AB、 cD的中点，故有 =-， =- 将 代入 后，两式相加得 2=+， =12+12 即与、共面， EF 与 AD、 Bc 平行于同一平面。 注：本题若用立体几何知识去证明，有一定的难度，由此体会向量法证明的优越性。 6，如图，已知 a,ab,b , 求证 b 。 证明：在 内作不共线向量 m,nb a 、 m、 n 不共面， b=xa+ym+zn 。 a 两 边 同 乘 a 得ab=xaa+yam+zanm ab,am,an,a• ;b=0,am=0,an=0n 得 xaa=0 而 a0,x=0, 即 b=ym+zn b 、 m、 n 为共面向量，又 b ,b 。 7，正方体 ABcD-A1B1c1D1 中， E 是 A1B 上的点， F 是 Ac 上的点，且 A1E=2EB， cF=2AF， 8 / 8 求证： EF 平面 A