毕业设计（论文）-海洋动力学基本方程的研究.doc

毕毕 业业 论论 文（设计）文（设计） 题 目： 海洋动力学基本方程的研究 学 院： 数理与信息学院 专 业： 物理学（师范） 班 级： 物理 学生姓名： 学 号： 100603138 指导教师： 2014 年 05 月 08 日 浙江海洋学院本科毕业论文 目录 目录 摘要 .1 ABSTRACT .2 前言.3 1. 海洋动力学基本方程的推导5 1.1 压力梯度项的导出5 1.2 质点导数的导出5 1.3 N-S 方程的导出6 1.4 连续方程的导出7 2. 有限差分法基本概念9 2.1 解域的离散化与差分网格的建立.9 2.2 微分方程的离散化.10 2.3 阶段误差与相容性13 2.4 累积误差与收敛性14 2.5 舍入误差与稳定性分析16 3. 海浪表面线性波动17 3.1 海浪理论.17 3.2 表面二维线性波动的基本方程与边界条件.18 3.3 表面二维线性波动的求解.21 结束语.25 参考文献.26 文献翻译.27 致谢.37 浙江海洋学院本科毕业论文 摘要 1 海洋动力学基本方程的研究海洋动力学基本方程的研究 卢小琴 (浙江海洋学院 数理与信息学院，浙江 舟山 316004) 摘摘 要要 ：海洋动力学作为流体力学的一个分支，而流体力学作为宏观力学的一个主要分支， 它的成长历史悠久，是以理论研究比较成熟。作为最著名的流体控制方程，自然界中的各类 流体都可以由纳维一斯托克斯方程来模拟。长期以来，在经典流体动力学中通常用修正过的 N-S 方程组描述海洋运动。 本文的目的就是为了帮助对 N-S 方程有兴趣的读者掌握海洋动力学基本方程的物理意义 和数学推导，希望在此基础上能够建立一个最简单的物理模型，进行求解，来把握最主要的 物理内涵和规律。本文着重介绍了 N-S 方程的推导过程，及求解 N-S 方程的数值方法中有限 差分法的差分格式的建立及其误差和基本性质的分析，如相容性、收敛性、稳定性分析等， 能让读者更加清晰的了解 N-S 方程的求解方法。最后，本文用 N-S 方程研究理想的规则波动 （正弦波和斯托克斯波等） ，视海水不可压且运动无旋，以此说明实际海洋中发生的一些比 较规则的波动现象。 本文具体推导了海洋动力学基本方程，推导出由三个运动方程和一个连续方程构成的 N- S 方程组，并由此推出海浪表面二维线性波动的基本方程。对于无旋运动，分开求解运动学 问题和动力学问题，即先从拉普拉斯方程和边界条件求得速度（或求得势函数） ，再由拉格 朗日积分求得压强，使问题全部解决。 关键词关键词 :海洋动力学； N-S 方程； 有限差分方法； 二维线性波动 浙江海洋学院本科毕业论文 ABSTRACT 2 THE BASIC EQUATIONS OF OCEAN DYNAMICS RESEARCH Lu Xiaoqin (School of Mathematics, Physics 浙江海洋学院本科毕业论文 海浪表面线性波动 26 0 dz d 0 2 z kzkz kzkz BeAe g BeAe (3.31)0A kdkd Bee 这样，我们得到一个线性齐次方程组： 0 22 BkgAkg (3.32)0A kdkd Bee 如果它有非零解，则： =0 (3.33) 22 gkgk ee kdkd (3.34)kdkg tanh 2 式(3.34)即为频散关系。同时，我们得到波速的表达式： (3.35)kd k g ctanh 2 从式（3.31） ，我们可以得出： DBee kdkd 2 1 A 式中：D 是常数。 由式（3.25）和式（3.29）及上式可得 )cos()(coshtkxdkkD （3.36） 设 ，我们有 kdD g acosh tkxasin （3.37） )cos( cosh )(cosh tkx kd dzkag （3.38） 第四步，求压强分布。 把式（3.40）代入方程组（3.23）的第二个式子，可得; (3.39) gz t tkx kd dzkag pp cos cosh )(cosh 0 第五步，求速度。 tkx kd dzkagk tkx kd dzkag xx u sin cosh cosh cos cosh )(cosh 浙江海洋学院本科毕业论文 海浪表面线性波动 27 （3.40） （3.41 tkx kd dzkagk tkx kd dzkag zz w cos cosh sinh cos cosh )(cosh ） 第六步，求质点轨迹。 tkx kd dzkagk u t x sin cosh cosh d d （3.42） tkx kd dzkagk w t z cos cosh sinh d d （3.43） 由于是小振幅波动，在积分时被积函数中的坐标（x,z）可用平衡位置的坐标（，) 0 x 0 z 代替，所以有： ttkx kd dzkagk xdsin cosh )(cosh d 0 0 (3.44) ttkx kd dzkagk zdcos cosh )(sinh d 0 0 = 0 xx tkx kd dzkagk 0 0 2 cos cosh )(cosh = (3.45) 0 zz tkx kd dzkagk 0 0 2 sin cosh )(sinh 把式（3.34）代入式（3.45） = 0 xx tkx kd dzk a 0 0 cos sinh )(cosh = 0 zz tkx kd dzk a 0 0 sin sinh )(sinh （3.46） 将方程组（3.46）合并成一个式子，可以得： 1 sinh )(sinh sinh )(cosh 2 0 2 0 2 0 2 0 kd dzk a zz kd dzk a xx （3.47） 表面重力波 波动前进方向 浙江海洋学院本科毕业论文 海浪表面线性波动 28 海底 图 3.1 表面重力波 上式表明。水质点的运动轨迹为椭圆。椭圆的水平轴和铅直轴随着离开自由表面向下而 逐渐减小，于水底处，铅直轴变为零，质点只做水平运动（图 3.1） 。如果波从左向右传播， 则流体质点做顺时针运动。 浙江海洋学院本科毕业论文 结束语 29 结束语 本文对海洋动力学基本方程进行了研究，着重介绍了 N-S 方程的推导过程，及求解 N-S 方程的数值方法中有限差分法的差分格式的建立及其误差和基本性质分析，如相容性、收敛 性、稳定性分析等，能让读者更加清晰的了解 N-S 方程的求解方法。最后，本文用 N-S 方程 研究理想的规则波动（正弦波和斯托克斯波等） ，视海水不可压且运动无旋，以此说明实际 海洋中发生的一些比较规则的波动现象。 本文具体推导了海洋动力学基本方程，推导出中三个运动方程和一个连续方程构成的 N- S 方程组，并由此推出海浪表面二维线性波动的基本方程，对于无旋运动，分开求解运动学 问题和动力学问题，即先从拉普拉斯方程和边界条件求得速度（或求得势函数） ，再由拉格 朗日积分求得压强，使问题全部解决。最终的出结论：水质点的运动轨迹为椭圆。椭圆的水 平轴和铅直轴随着离开自由表面向下而逐渐减小，于水底处，铅直轴变为零，质点只做水平 运动。如果波从左向右传播，则流体质点做顺时针运动。 首先，本文介绍了海洋动力学基本方程的推导过程，推导出由三个运动方程和一个连续 方程构成的 N-S 方程组。这是本论文研究的基础。 其次，本文介绍了介绍有限差分方法的基本概念，差分格式的建立及其基本性质，如相 容性、收敛性和稳定性等，一些伪物理效应及订正，并说明它们的意义及分析方法，为理解 和掌握差分格式的设计方法提供必要的基础知识，能让读者更加清晰的了解 N-S 方程的求解 方法。 最后，本文又介绍了海浪表面二维线性波动的基本方程的推导过程及该方程的求解过程。 最终的出结论：水质点的运动轨迹为椭圆。椭圆的水平轴和铅直轴随着离开自由表面向下而 逐渐减小，于水底处，铅直轴变为零，质点只做水平运动。如果波从左向右传播，则流体质 点做顺时针运动。线性波动是研究复杂波的基础，可以近似地说明复杂波的一些基础。海浪 表面二维线性波动的基本方程是由 NS 方程假定边界条件后推导出来的，也是求解 NS 方程的基础。 在完成此论文工作的基础上，仍然有很多值得进一步研究的问题。本论文只是求解了最 简单边界条件时海浪的线性微分方程。而用修正过的 N-S 方程组描述海洋运动，关键的差异 在于引入了在地球上非常重要的旋转效应项，以及适用于球面薄层流体的一些近似。 另外， 海洋区别于其他流体介质在于海洋存在多种热力学示踪要素（温度和盐度） ，以及状态方程 的高度非线性化，这些本文都未作详细讨论。 浙江海洋学院本科毕业论文 参考文献 30 参考文献 1刘峰.GPU 加速的云的生成和动态模拟D.2005. 2陈晖.浸没式光刻机浸液流动特性及其对物镜影响D.2011. 3薛运华.Navier-Stokes 方程的自适应迎风有限元方法D.2007. 4李绍武.N-S 方程的数值解法及其在水波动力学中应用的综述J.海洋通报,2004,23:4. 5吕华庆.物理海洋学基础.北京：海洋出版社，2012.47-66 页. 5杨学祥,陈殿友,孙春林.均衡运动中的科里奥利力J.地壳形变与地震,1995,03:38-43. 7李允昌.465Q 内燃机冷却水泵的优化设计D.2008. 8杨金艳.ELCIRC 模型在长江口的应用D.2006. 9 Harlow F H The particle-in-cell computing method for fluid dynamics J. 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Comp. 22 (1968), 745-762 摘要摘要 ：引进有限差分方法是为了解决不能压缩的流体有时间依赖的纳维叶-斯托克斯方程。 这个方法用于简单的变量，也就是速度和压力，等同于在两个到三个空间维度的可试用问题。 测试问题解决了，应用于三维对流问题也被提出。 前言前言 ：不可压缩流体的波动方程是： 其中 iu 表示速度， p 表示压强， 0 表示密度， iE表示单位质量流体所受的外力，v表示 运动学粘度系数， t 表示时间，下标 i 、 j 表示空间坐标 i 指的 . 3 , 2 , 1,jixx ji 是 i x 的偏微分， t 指的是 t 的偏微分。求和是用来写方程。 我们令 其中 U 表示速度，d 表示长度。然后我们把要素。 方程变为： 其中 R = U*d/v 是雷诺数，我们用有限差分法在二维或三维空间中有限范围内解决这些方 程。这个区分特征在于使用这些方程。 （1）和（2）式，而不是由高阶导出方程。当实现充 分的计算效率，使解决这些方程和满足施加边界条件成为可能，甚至问题包括三维空间、时 间变量。作者没有想到到其他任何方法这样的声明。 该方法的原理：该方法的原理：方程（1）可以写成以下形式： 浙江海洋学院本科毕业论文 外文翻译 32 其中依赖于 iu 和 iE，而不依赖于p；方程（2）可变为以下形式： 总结以上方法：时间 t 是离散的；在任何时刻我们都可估计步骤；然后将其分离 变量为一个散度为零的矢量求和与一个旋度为零的矢量求和。其中散度为零的是，可 在下一个时间水平用来得出 iu ；旋度为零的是。这个分离方法存在于，并是解决纳维叶 -斯托克斯方程在任何时刻初值问题的唯一方法；为解决这些方程，它也可以被广泛用于存 在性和唯一性证明。 令 iu ， p 不仅指（1）和（2）的解，而且是（1）和（2）式的分立近似值。再令 成为的不同近似值。假设时间，给定流速场，满足 。从方程中估计。故由（1）式可得 令近似于，其中是常数，是 合适的线性组合。辅助场是第一次通过： 其中近似。由于压力和方程，不同于。我们没有考虑（2）式， 也许可以通过隐式方案估计，也许依赖于和中间域，例如 。现在近似于，其可能误差在于。 令近似于。为了获得，需要进行分离变量。 然而假设，仅需要分解下式： 其中并且满足规定的边界条件。因为通常是可供选择的， 是一个求值的良好的第一猜测，分解（4）式最好通过迭代完成。为此，我们引入下列 迭代方案： 浙江海洋学院本科毕业论文 外文翻译 33 其中是一个参数，和项是逐次逼近于和。是 和的函数，当趋向于零时，收敛于。 我们令 迭代（5a）是要在的内部进行，并且迭代（5b）是在和它的边界上。 显而易见的是，如果迭代收敛， （5a）趋向于（4） 。在（5a）式中，我们用替代 ，从而能够提高迭代收敛速度。这将详细在后面的章节中讨论。为了得出方程的稳态解， 方程中（5b）式的形式建议通过人工压缩性方法2的经验。在（1）和（2）中，有以下方 程可得p是与 iu 相关的： 当一些 和小预定常数： 我们令 。 包括压力，迭代（5）式以确保方程（1）式满足三维内部，和方程（2）式满足三维内部和 其边界。 稳定性和收敛性的这种类型方法的问题还没有得到充分调查。我猜想过所有的方案，这 将在中产生是稳定的，如果方案： 是稳定的。数字证据支持了这一猜想。 现在，我们将介绍用于评估和具体陈述的具体方案。许多其 他方案和陈述都可以找到。我们应当利用那些有效的，但主要适合于该边界数据是光滑的和 三维的具有相对简单形状的结构域问题。 浙江海洋学院本科毕业论文 外文翻译 34 求解求解。由（3）式定义，我们应当首先提出求解方案。 方程（3）表示含时间的 Burgers 方程的解的一步： 这可以多方法近似。我们已经寻找到了方便使用的，隐含的，并且精确到， 其中是空间增量中的一个。我们青睐于隐式方案，因为在三个空 间维度中明确需要，即 这是一种不适当的限制条件。在另一方面，精度比高的隐式将需要非线性方程 组的解的每一步，并使得有必要为和同时评估而不是依次评估。由于我们假 定整个，得到的精度将不够精准。 做了一些试验后，两种方案都得到保留。对这两种方案： 他们都是交替方向隐式方法的变式。 （A）在二维的问题中，我们使用 Peaceman - Rachford 方案。 因为在不同的上下文中， 在3中 Wilkes 曾提出这个方案。这需要形式： 浙江海洋学院本科毕业论文 外文翻译 35 其中是附加字段，并且。像往常一样，代数方程组 的一维系统可以通过高斯消去法来解决。 （B）在两维和三维的问题，我们使用由 Samarskii4中所分析的交替方向方法的一个 变种。这需要的形式 Comment A1: 浙江海洋学院本科毕业论文 外文翻译 36 是附加字段。这些方程可以写成的式子： 其中 I 是恒等算子，且涉及微分的有关变量只有。 可以验证，当 R=0时，方案（6）精确到。然而，当 R0时，它们 都精确到相同阶。方案（7）是稳定的三维问题；笔者不知道方案（6）的简单扩展到三维情 况。方案（7）具有两个有用的特性：它要求每个时间步算术运算都比方案（6）少，并且由 于右手侧的简单结构，这中间字段不必分开存放。 如果任一方案是用来解决在将速度规定在边界处的问题，那么在边界处的变量 必须预先设置，使得几个隐含运算符可以翻转。考虑到方案（7）的情况， 我们有 从这些关系我们可以推断，如果我们在边界令 该方案将精确到。这里不必与完全相同。所有我们需要的是 之所以引人新的运算符，是因为在边界处的法向分量必须由片面的偏差来近似。然而， 这是没有必要在域内，方程（4）式假设持有。 浙江海洋学院本科毕业论文 外文翻译 37 假如有人愿意投入实现它们在计算机上所需的额外编程工作，在辅助领域的边界处更精 确的表达式就可以使用。在边界处,的近似表达式可以利用方案(6)推导出来。 应当指出，对于问题，其中粘度是微不足道的，因此，能够设计出显格式精确到 ，且当时是稳定的。这些方案将在别处讨论。 Dufort-FrankelDufort-Frankel 方案和连续点超松弛。方案和连续点超松弛。为了解释我们的建设和我们选择用于 （5a）和（5b）式，我们需要有关 Dufort-Frankel 方案热传导方程的几个事实和其相对于 松弛法求解拉普拉斯方程。 考虑到方程 在一些不错的领域，例如一个矩形，u 可以假设为已知是在边界上。我们通过这个近似 公式 其中 L 是通常的五点逼近拉普拉斯，u 和 f 现在是 m 向量的分量。M 是所得到的差分的内部 节点的数目。为了简单起见，我们假设网格间距在和的方向是相等的， ；这意味着没有必要限制。运算-L 是由一个 mm 的矩阵 A 表示的。 我们令 其中分别是严格的上、下三角矩阵，和是对角线。求解（10）的收敛松弛迭 代方案，可以定义 （参见例子 Varga 5）是松弛因子，0 2 ，且是逐次迭代的。最佳松弛因子 的评估依赖于以下事实 A 满足“年轻的条件（A ） ” ，即存在一个置换矩阵 P，使得 其中 A 是对角，而 A 具有正常形态 浙江海洋学院本科毕业论文 外文翻译 38 零子矩阵是方形。在此条件下，可以容易确定。 矩阵 A 取决于其中是由未计算的组成部分。改变这个顺序就相当于一个转换 成，其中，P 是置换矩阵。 我们现在考虑的（ 14 ）的解是渐近稳定的解决方案 并通过 Dufort-Frankel 方案接近后者的公式 当时，上式近似于（13） 。分组方面，我们得到 因为 不会出现在（14）中，计算分离成上交织网格两个独立的计算，其中的一个 可以省略。做到这一点，我们可以令 （有 m 个成分） 。 如果我们再写入 我们看到，迭代（14 ）简化为形式（11）的迭代 ，其中新成分是以一个为了使得 A 具有正常形式（12） 。因此， Dufort-Frankel 方案似乎是超松弛方法的特定顺序，它的存 在就相当于 Young 的条件（A） 。最好的值可以由和关系（15）决定。我们发现 浙江海洋学院本科毕业论文 外文翻译 39 ，因此对在 Dufort-Frankel 方案的接近，不是方程（13） ， 而是方程 。 这是 Garabedian 在6用于估计。它可用于这里估计 ，这些附注显然是推广到 或有两个以上空间的变量的问题所在。 下面的话会使用：我们本可以通过平时的明确公式近似公式（13） 并用此公式作为一个迭代过程求解（10)。由此而来,迭代收敛仅当时，并 且收敛速度非常慢。快速收敛的迭代过程（ 14 ）可从（ 16 ）获得，通过分离变量为 。 参考文献： 1 Harlow F H The particle-in-cell computing method for fluid dynamics J. 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