毕业论文-高等数学在中学数学中的应用.doc

贵阳学院成人高等教育学生毕业论文高等数学在中学数学中的应用 站点名称： 学生姓名： 班 级： 学 号： 指导教师： 时 间： 21高等数学在中学数学中的应用摘 要中学数学内容，是常量和变量数学的初步认识，是高等数学许多概念和理论原型和特征所在，运用高等数学的知识能将中学数学中不能或很难彻底解决的基本理论加以严格地证明。同时，中学数学中所涉及的高等数学的知识在高考中所占的比重越来越大。因此，指导学生学习高等数学与中学数学之间的内在联系，并将高等数学的思想方法渗透到中学数学中去，把高等数学与中学数学有机结合在中学数学教学中有着重要的意义。本文通过大量具体范例分析论述了高等数学在中学数学中的应用，找出了高等数学和中学数学之间的内在联系，以指导中学数学教学实践。关键词：高等数学；中学数学；应用The higher mathematics in the middle school mathematics applicationAbstractThe middle school mathematics content, is the constant and variable mathematics preliminary understanding, is the many concepts of higher mathematics and Theoretical Prototype and feature location, use the knowledge of higher mathematics to school mathematics cannot or difficult to solve the basic theory to rigorously prove. At the same time, the middle school mathematics to higher mathematics in college entrance examination in the proportion of the growing. Therefore, guiding students in learning higher mathematics and middle school mathematics the immanent connection between, and higher mathematics thinking method into the middle school mathematics to higher mathematics and middle school mathematics, the organic combination of mathematics teaching in secondary schools is of great significance. In this paper, through a large number of specific examples of analysis of advanced mathematics in the middle school mathematics application, finds out the higher mathematics and middle school mathematics the immanent connection between, with the guidance of middle school math teaching practice.Key words: Higher mathematics; middle school mathematics; application目 录摘 要IAbstractII目 录III1、绪论12、高等数学与中学数学的概念及关系12.1高等数学与中学数学的概念12.1.1高等数学12.1.2中学数学22.2中学数学与高等数学的关系23、高等数学方法在中学数学中的应用23.1“构造”思想方法在中学数学中的应用23.1.1 “函数与方程”的思想方法33.1.2“数学关系”的思想方法53.1.3 “图形”的思想方法53.2微积分方法在中学数学中的应用63.2.1求函数的极值、最值73.2.2利用微积分证明代数式83.2.3求曲边图形的面积93.2.4利用导数法求解103.2.5利用极限法求解1233概率在中学数学中的应用1434 “变量”与“常量”的转化思想在中学数学中的应用154、结束语16参考文献17致 谢181、绪论高等数学是中学数学的延续和发展，而中学数学是高等数学的基础，二者有着本质的联系。随着全国中学生数学竞赛水平的不断提高，高等数学的思想和方法越来越普遍和深入地应用于中学数学中。高等数学知识解决中学数学问题，特别是一些用中学数学方法难以解决或虽能解决但显得难、繁，而用高等数学的方法就能使许多数学问题化繁为简，给中学数学中难以解决的问题开辟一条有效通道。从而拓广了解题思路和技巧，提高了学生解决问题的能力和教师的专业水平，有效地促进中学数学教学。所以，探讨高等数学在中学数学中的应用具有十分重要的意义。2、高等数学与中学数学的概念及关系2.1高等数学与中学数学的概念2.1.1高等数学高等数学比初等数学“高等”的数学，广义地说，初等数学之外的数学都是高等数学。通常认为，高等数学是将简单的微积分学，概率论与数理统计，以及深入的代数学，几何学，以及他们之间交叉所形成的一门基础学科。高等数学是以变量及变量之间的依赖关系函数作为研究对象的，主要是由极限论、微分学、积分学、级数理论、解析几何、微分方程等六部分组成的一个有机统一体。其中极限论是基础；微分、积分是核心，是从连续的侧面揭示和研究函数变化的规律性，微分是从微观上揭示函数的局部性质，积分是从宏观上揭示函数的整体性质；级数理论是研究解析函数的主要手段；解析几何为微积分的研究提供了解析工具，为揭示函数的性质提供了直观模型；微分方程又从方程的角度把函数、微分、积分有机的联系起来，揭示了它们之间内在的依赖转化关系。2.1.2中学数学中学数学就是中学时期要学的数学，有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论逻辑称为中等数学。中学时代所学的数学基本上是17世纪中叶以前的数学，它主要研究常量的运算和固定不变图形的性质中学数学教学内容从总体上可以分为两个层次：表层知识和深层知识表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能，深层知识主要指数学思想和数学方法2.2中学数学与高等数学的关系高等数学是初等数学的延续和发展，而初等数学是高等数学的基础。作为学习和研究数学的途径，无疑应该先学习和掌握初等数学，然后才能学习和掌握高等数学。中学数学的内容，是常量数学和变量数学的初步知识，是高等数学的基础，是高等数学中许多概念和理论的原型和特例所在。因此，从高等数学观点来看中学数学，首先就要把高等数学中的某些概念和理论与中学数学里相应的原型和特例联系起来。这样，就不仅能够加深对高等数学的理解，而且能使我们准确把握中学数学的本质和关键。总之，要力求将高等数学思想方法全面渗入中学数学，寻找高等数学与中学数学的结合点。这样有利于提高教学质量和教学水平，拓展学生的解题思路，提高解题能力。3、高等数学方法在中学数学中的应用在中学数学中有些不能或不易解决的问题，运用高等数学的理论和方法可以得到圆满的解决。中学数学中常用的高等数学方法有微分法、积分法、极限法、求导法、向量法、概率法等，下面以中学中常见的问题为例来说明高等数学方法在中学数学中的应用。3.1“构造”思想方法在中学数学中的应用“构造方法”在高等数学中的应用随处可见，其例子不胜枚举，为数学的发展立下了不朽的功勋，在数学分析中更具有举足轻重的作用。“构造方法”的主要思想在于构造函数，构造方程，构造数学关系式，构造辅助命题，构造等价命题，构造图形等等。如果我们用这种方法来研究中学数学，将会使研究的水平提高一个档次，而且可以简化解题过程。3.1.1 “函数与方程”的思想方法函数内容是贯穿于代数知识的主线，函数的定义是建立在集合基础上的，它把变量和变量之间的函数关系，归纳为两集合中元素间的对应4。函数思想的实质是运用联系和变化的辩证唯物主义观点，从问题中抽象出数学对象及数量特征，建立函数关系，从而刻画自然界中量的制约关系和依存关系。方程是中学数学中的重要内容，方程在数学、生产实践及其学科中有广泛的应用。所谓方程思想就是要解决的问题包含一个或若干个未知量时，寻找含有未知量的方程或方程组，通过获得方程或方程组来解决此问题。函数与方程是高中阶段数学的主要内容，在数学教学中，二次函数与二次方程是重点。各个单元、章节中也离不开函数也方程，所以在教学中，教师要向学生渗透“函数与方程”的思想方法，特别是在不等式，三角，解析几何等章节。例1 我国古代数学名著孙子算经中有一著名的“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各几只？分析：孙子在其著作中给出这一问题的解法，恰是解方程组的过程，这是一个简单的二元一次方程组。解法：略。例2 已知，且，都是正数，问取得怎样的值时，以，为三边可构成三角形？并指出三角形的形状。6分析：题目中有“取得怎样的值”可把视为“变量”，以，为边，要构造三角形，且指出形状，需考虑对三角形进行分类，若以最大角的大小来分，则因大角对大边，从给定的式子，直觉地意识到，应为三角形的最大边。解：，都是正数 ， ，三边只要满足就可构成三角形。构造函数： 减函数。由已知条件，知，即（1）当时，以，为边不能构成三角形。（2）当时，即，以，为三边能构成三角形。 当时，则以，为边能构成一个钝角三角形。 当时，则以，为边能构成一个直角三角形。 当时，即则以，为边能构成一个锐角三角形。例3 证明：如果，那么。证明：构造函数易证在是奇函数且单调递增 是增函数 即3.1.2“数学关系”的思想方法例4 已知数列，求。分析：希望能把转化为即 即解：由已知，设则，即是公比为2的等比数列且即3.1.3 “图形”的思想方法如果问题条件中的数量关系有明显的或隐含的几何意义与背景，或能以某种方式与几何图形建立起联系，则可考虑通过构造几何图形将题设中的数量关系直接在图形中得以实现，然后，借助于图形的性质在所构造的图形中寻求问题的结论。在数学教学中，构造的图形，最好是简单而又熟悉其性质的图形。这些几何图形包括平面几何图形、立体几何图形及通过建立坐标系得到的解析几何图形。例5 已知，求证：。 A B C D O 1-b b a 1-a证明：构造单位正方形，O是正方形内一点，O到AB,AD的距离为则其中 综上可知，构造法体现了数学发现的思维特点，“构造”不是“胡思乱想”，不是凭空“臆造”，而是要以所掌握的知识为背景，以具备的能力为基础，以观察为先导，以分析为武器，通过仔细地观察、分析、去发现问题的各个环节以及其中的联系，从而为寻求解法创造条件。最后还应指出，构造法并非是上述题型的唯一解法，并且构造法也不只限于本文提到的几种，对于同一道题既能有几种构造法，也可以用其它方法来解。在数学教学中，应注意对学生创新性思维的培养，使学生体会知识间的内在联系和互相转化，能创造性的构造解决问题的有力条件，巧妙地解决问题，从而获得学习的愉悦感和成功的体验。3.2微积分方法在中学数学中的应用微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支，它是建立在实数、函数和极限的基础上的，微积分是一种数学思想，无限细分就是微分，无限求和就是积分。微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。3.2.1求函数的极值、最值例6.求函数f(x)=x3在0, 2上的最大值和最小值.解：f(x)=+x,驻点：x=, 在x=1处f(x)不存在，而f（0）=0，f（1）=0，f（）=，f（2）=2，故最小值f（）=，最大值f（2）=2，若用初等数学方法解此题，则很困难。例7，在边长为a的正方形铁皮的四个角剪去边长为x的小正方形，做成一个无盖方盒，问x为何值时，方盒的容积最大，并求最大容积.解：方盒的容积V（x）=x（a2x）2 （0x) (1)V（x）=（a2x）(a6x)=0,从而x=时， V（x）最大，最大值V（）=a3这里求（1）最值的方法比用均值定理求解要迅速得多.下面举例讨论利用函数的极值方法证明不等式的方法。例8 若且是正整数，则. 证明 定义，则. 令，得驻点. 易知，当时，；当时，从而由极值的判别法知：在取极小值，所以，即. 3.2.2利用微积分证明代数式例9.求证有两个相异实根，并且一个根大于，令一个根小于证法一 （采用初等方法证明） 证明 将方程整理的 所以方程有两个相异的实根 因为 所以 因此 证法二 （采用微积分方法证明） 证明 设则 因为，所以在区间和内分别存在和，使 由连续函数的介值性定理，在区间和内分别存在和，使的 这表明和是方程的两个相异实根，例10. 若，求证：证明 设则在上满足拉格朗日中值定理，故存在使 即 即 不等式的证明方法多种多样，没有统一的模式，初等数学常用的方法是恒等变形、数学归纳法、利用二次型、使用重要不等式等，往往有较高的技巧。利用微积分证明代数式（包括不等式与等式）可使问题简单化,解题思路更加清晰。3.2.3求曲边图形的面积在初中，面积计算只限于规则图形或可分割成规则图形；但在高中我们可能会遇到计算曲边图形的面积，这就需要采用化曲为直的思想积分知识在高中教材的出现，使得求曲边图形的面积成为可能例11.（2000年高考题）求如图示阴影部分的面积解 这是一道经典的由定积分求面积的问题根据图中所给的两点，求得,抛物线方程为，直线 方程为；最后，我们利用积分可得面积为 3.2.4利用导数法求解导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用.在高中阶段，学生通过实例，如由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程。中学数学用代数方法研究函数的一些性态，如单调性，周期性和极值等，但由于方法的限制，这些研究不全面，计算也繁琐，不易掌握其规律。利用导数求解，可使解题过程大大简化。例12求过椭圆=1上一点（x0，y0）的切线方程解：将=1 两边对x求导，得到y=0 及y=,从而过（x0，y0）的切线的斜率k= y(x0，y0)=,因此切线为y=（xx0）y0 .注意到=1，上述方程可化简为.用中学数学方法解此题，要先设出切线方程,若k存在，方程为yy0=k（xx0） （若k不存在，则切线方程为x=x0），与椭圆方程联立得二元二次方程组 yy0=k(xx0)=1 , 消元得一个变量的二次方程，利用=0，求出k值，再确定切线方程，其中求k的运算量是较大的.例13.已知函数，的导函数是，对任意两个不相等的正数，证明：当时，。解：由题可得当，为定义域上的凸函数本题若用初等数学的方法则比较繁琐，证明如下：由得：= =（1）又 （2） （3）由（1），（2）（3）得即。3.2.5利用极限法求解极限法是微积分的理论基础。极限法是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学方法。极限法是一种思想和方法论，是过程与结果的统一。它的一般步骤可概括为:对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后通过极限计算来得到这结果。极限思想提供了从变量的无限变化中研究其变化趋势的数学方法，使人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变成为可能，在生活生产实践中，在各个学科各个方面都具有广泛的应用价值。例14 给定抛物线，证明在轴正向上必存在一点M，使得对于抛物线上过M的弦PQ，取定值。分析：假设点M确实存在，由题可得对过M点且垂直轴的弦（如左图），所以也过这个定值。设，有但从这个式子还看不出点M是哪个定点，下面再考察弦的一个极限情形一轴的正半轴，它也过M点，它的一个端点是原点O,另一个端点可以看成是跑到无穷远处的极限点，此时虽不能再称它是抛物线的弦了，它是弦的一个极限情形但显然有，因此有，它是定值，且应有，由此可得。于是可以猜想定点为，剩下只需验证过点的任一弦均有（定值）。解：设过的直线参数方程为（为直线倾斜角，为参数）。代入抛物线方程得。这个方程的两根及几何上分别表示MP及MQ的值，且所以 = = = =这就证明了是满足题意的定点。例15 已知数列中，且对于任意正整数，总有，是否存在实数，能使得对于任意正整数恒成立？若存在，给出证明；若不存在，说明理由。8分析：极限思想如果这样的存在的话，则由，可得，对两边取极限，得，解得或若，则数列应该是以1为首项，为公比的等比数列。可知显然，不合题意，舍去；若，将代入，可求得此时，同样验证，亦可得出矛盾。因此，满足题意的实数不存在。微积分理论是高等数学的基础，同样也是研究高等数学与中学数学关系时不可缺少的部分，它除了对中学数学教学有重要的指导作用外，还能在中学数学的许多问题上起到以简驭繁的作用33概率在中学数学中的应用概率在实际生活中应用也很大，下面再举例来说明一下例16 袋中装着标有，的小球各个，从袋中任取个小球，按个小球上最大数字的倍计分，每个小球被取出来的可能性都相等用表示取出的个小球上的最大数字，求：（）取出的个小球上的数字互不相同的概率；（）随机变量的概率分布和数学期望；（）计分介于分到分之间的概率解 （）“一次取出的个小球上的数字互不相同”的事件记为，则（）由题意有可能的取值为：，.所以随即变量的概率分布为：因此，的数学期望为：（）“一次取球所得分介于分到分之间”的事件记为,则或34 “变量”与“常量”的转化思想在中学数学中的应用通过对变量与函数的研究推导出一系列的公式，法则及定理。在中学数学教学中，“变量”与“常量”的相互转化是一个难点。教师可以根据一个题目的讲解，渗透这种数学思想方法。例17 解方程。分析：此题若按三次方程求解相当困难。若将“”看作“未知数”， 看作常量，则是一个关于“”的“一元二次方程”。解：由题可得解之得或 所以方程的解高等数学方法在中学数学中的应用远远不止这些，在中学数学的教学实践中，教师将高等数学融入中学数学教学中，反复向学生加以渗透，可以提高学生的数学能力，增强学生对数学知识掌握的效率，使学生形成良好的数学素养。4、结束语高等数学与中学数学有着千丝万缕的联系，使其内在的本质联系得以体现，进而去指导中学数学的教学工作。利用高等数学思想和方法指导中学数学教学，可以培养学生具有全面的数学素质。在中学数学教学中，教师应该联系旧知识，讲授新知识，渗透高等数学思想，引导学生运用数学方法，努力提高学生的数学能力，通过引导学生领会数学知识间内在本质的联系，使学生形成良好的认知结构。本文紧扣高等数学与中学数学之间的联系，主要以高等数学中的几种方法（微积分法、极限法、概率法、求导法、“变量”与“常量”的转化思想方法和“构造”思想方法）为依据，详细地论述并列举了这些方法在中学数学中的应用。从而启发中学数学教师巧妙地将高等数学的思想和方法渗透到中学数学教学中去，使得高等数学和初等数学有机地结合起来，充分利用高等数学的思想和方法去指导中学数学教学。参考文献1 刘鹏远，樊春红导数应用点滴J中学数学报，2006，(05):45-482 唐永.极限思想应用五例J.数理天地(高中版),2005(7).3 卢小青，曾文艺利用高等数学证明不等式J唐山师范学院学报，2003，25(2):61-634 张明欢.用高等数学的思想方法研究中学数学问题J.陕西:陕西广播电视大学学报,2009,3(2).5 冯凤萍谈微积分中的数学思想及其教学J边疆经济文化报，2004，(10):33-366 吕凤祥. 中学数学解题方法. 哈尔滨工业大学，2003年10月.7 百度百科：中学数学/view/839689.htm.8 百度百科：高等数学/view/14041.htm.致 谢时光茬冉，学业即将完成之时，心中感受良多。作为一个本科生的毕业设计，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方。多亏了XX老师的细心指导，为我指点迷津，给予鼓励。Xx老师一丝