认识数学问题的本质探究简捷的方法

1 / 5 认识数学问题的本质探究简捷的方法 认识数学问题的本质探究简捷的方法 钱桂保 （江苏省南京市临江高级中学，江苏南京 210000） 摘要：对数学中的基本概念、性质、公式、定理等的深入理解，弄清数学概念、知识间的内在关联，是数学问题解决的必不可少的前提。解题的过程也是在探究命题人在题干中给出的函数模型产生的过程，通过这种探究体验到考题命制的源与流，感受到了数学的魅力。 关键词：数学问题；解题；探究方法 数学问题的解决需要综合运用数学基础知识，如运用数学中的基本概念、性质、公式 、定理等，并进行合理的判断、推理、演算，因此，对数学中的基本概念、性质、公式、定理等的深入理解，弄清数学概念、知识间的内在关联，是数学问题解决的必不可少的前提。随着学习的深入，理解的深度加深，必然会对问题顺利、快速解决有积极的影响，理解越是深刻，产生的解法越简单。 例 1.已知函数 f（ x） =x2+x+a，（ a0），若 f（ m） 解法一： f （ m） 0，所以 m2+m0 而（ f m+1）（ m 1） 2+（ m 1） +a，其中的每一项均大于 0， f（ m+1） 0，即 f（ m+1）的符号是正。 2 / 5 上述的解法实质 是通过 f（ m+1）的表达式的符号判断的，但这种解法并不能刻画此题的背景和实质，那么这题的本质究竟是什么呢？我们来看解法二。 解法二：若设 f（ x） =x2+x+a 0的解集为 A，那么由f（ m） 既然认识到了本题的实质就是判断 m+1与解集 A的关系，那么有没有更加直观、更加简洁的解法呢？若能直接判断数 m+1 与解集 A 的归属关系，那无疑是最简单的方法了，正因如此让我们想到数形结合。 解法三：如下图所示，由于 f（ x） =x2+x图像与 x 轴交点之间的距离 MO 1， a0 f（ x） =x2+x+a图像与 x轴交点之间的距离 AB 1，由于 f（ m） 由上可以知道，抓好基本概念的理解，了解其内涵和外延，积极探索数学命题的本质，随着我们对命题的理解的深刻，必然就会产生更加简单的解法。 例 2：在等差数列 an中，若它的前 m项的和 Sm=Sn，（ m n），试求 Sm+n 的值。 初看本题，涉及到等差数列概念，自然想到用基本量来解决，即： 解法一： an是等差数列，且首项为 a1，不妨设其公差为 d， 3 / 5 诚然，用基本量的方法解决等差或等比数列是一种通性通法，思路自然，结果正确，但计算较为烦 琐。若要探讨它有没有更加简单的解法，这就需要我们对本题的本质更加深刻的理解。事实上，本题的本质并不是等差数列概念，而是对等差数列的若干项和的认识，若对等差数列的前 n项和的认识深刻些，如解法二，显然过程自然简单些，计算量也小一些了。 解法二：设 Sn An2+Bn， Sm=Am2+Bm， Sn-Sm=（ An2+Bn） -（ Am2+Bm） =（ n-m） A（ n+m）+B=0 即 A（ n+m） +B=0 而 Sm+n=（ m+n） A（ n+m） +B， Sm+n=0。 本题主要是针对等差数列前 n 项和 Sn An2+Bn 的结构特点进行计算，明显简单。若换一个角度来审视 SnAn2+Bn 这一表达式，就会产生出新的解法来，即： 解法三：若考察相对应的函数 Sn=Ax2+Bx， Sm Sn，它的对称轴是 x= m+n/2，又函数 Sn（ x）的图像过坐标原点（ 0， 0），它必过另一点（ m+n， 0），即Sm+n=0. 4 / 5 解法三实质上是采用数形结合思想方法进行探究的一种解法，过程明显简洁快捷。通过上述几种不同解法中，不难发现，随着对本题的本质 Sn 认识的深刻，由此产生的解法也更加简单些，可见 ，不同的思维层次，所产生的解题方法也不同，理解越深刻，解法也就越简单。 通过上面的论述，对我们的学习有所启示，有所触动，这就是我们要加强理解，不能停留在概念的表面，还要加强理解的深入，认识到概念的本质，既要纵向，还要横向，例如高中数学教材中 P 的不等式题，我们一起来横向理解这道题所蕴含的函数本质。 例 3.已知 a， b， m都是正数，且 a 这道题的生活背景大家都很清楚，即“杯子里装有 b克糖水，其中含有 a 克糖的，若在糖水里再添加 m 克糖（假设全部融解），那么糖水将会变得更甜”这一变化的一种数学反映，本 题的证明，既可用分析法，还可构造斜率加以证明，这里不再赘述。 下面我们讨论对此题所蕴含的函数本质的探讨。我们知道，不等式（或方程）与函数是密切相关，紧密联系的，用函数的观点解决不等式（或方程）是一种普遍的思维模式，如何揭示出此题所给的不等式与某个函数间的超级链接，是这一解法的关键。显然这个等 5 / 5 由此可见，这种用函数证明不等式的解法，需要对相应函数的深入认识。以后在解题过程中遇到类似的不等式证明问题，可以通过横向的对应函数加以深入研究，探究相应不等式的问题的有效解决。 由于变量的选取是自主 的，因此相对应的函数的