高中数学 2.3数学归纳法课件 新人教A版选修2-2.ppt

成才之路数学,路漫漫其修远兮吾将上下而求索,人教A版选修2-2,推理与证明,第二章,2.3数学归纳法,第二章,理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证题步骤,重点：数学归纳法的原理及步骤难点：用数学归纳法证题的步骤、技巧,回顾复习归纳推理的定义、步骤及其所得结论的正确性如何,数学归纳法,温故知新,1数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(归纳奠基)证明当n取_时命题成立(归纳递推)假设_，证明_,新知导学,第一个值n0(n0N*),nk(kn0，kN*)时命题成立,当nk1时命题也成立,2应用数学归纳法时特别注意：(1)用数学归纳法证明的对象是与_有关的命题(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可其中，第一步是递推的_，验证nn0时结论成立的n0不一定为1，根据题目要求，有时可为2、3等；第二步是递推的_，证明nk1时命题也成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法,正整数n,基础,依据,另外，归纳假设中要保证n从第一个数n0开始，即假设nk(kn0)时结论成立，括号内限制条件改为kn0就错了(3)用数学归纳法证明中一个关键问题就是要抓住项数和项的增减变化，如证明恒等式和不等式中，n1时究竟有几项，从nk到nk1，项有哪些变化，添了几项，减了几项,根据数学归纳法的定义思考下列问题：(1)在数学归纳法的定义中为何首先要验证初始值n0?(2)第二步证明nk1时为何必须应用nk时的假设？(3)验证的初始值n0怎样确定？若要证明2nn2成立，则要验证的初始值n0是什么？(4)用数学归纳法证明恒等式和不等式时怎样来找从nk到nk1项数的变化？,思维导航,1用数学归纳法证明12(2n1)(n1)(2n1)时，在验证n1成立时，左边所得的代数式是()A1B13C123D1234答案C解析当n1时，2n12113，所以左边为123.故应选C.,牛刀小试,数学归纳法的基本原理及用数学归纳法证明恒等式,方法规律总结用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从nk到nk1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明nk1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝nk1证明目标的表达式变形,用数学归纳法证明不等式,分析按照数学归纳法的步骤证明，由nk到nk1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化,方法规律总结用数学归纳法证明不等式和证明恒等式注意事项大致相同，需要注意的是：(1)在应用归纳假设证明过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明(2)在推证“nk1时不等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当放缩变形，以便于应用归纳假设，变换出要证明的结论,(2)1当n2时，左边12xx2，右边12x，x0，x20，左边右边，原不等式成立2假设当nk时，不等式成立，即(1x)k1kx，则当nk1时，x1，1x0，在不等式(1x)k1kx两边同乘以1x得，(1x)k(1x)(1kx)(1x)1(k1)xkx21(k1)x，(1x)k11(k1)x.即当nk1时，不等式也成立综合12可得对一切正整数n，不等式都成立,用数学归纳法证明整除问题,求证：an1(a1)2n1能被a2a1整除，nN*，aR.分析证明整除性问题的关键是“凑项”，即采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出nk时的情形，从而利用归纳假设使问题得以解决,证明(1)当n1时，a11(a1)211a2a1，命题显然成立(2)假设当nk(kN*)时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，则当nk1时，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1.由归纳假设知，上式能被a2a1整除，故当nk1时命题也成立由(1)、(2)知，对一切nN*，命题都成立,方法规律总结用数学归纳法证明整除问题时，首先从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除其中的关键是“凑项”，可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法分析出因子，从而利用归纳假设使问题得到解决利用数学归纳法证明整除问题，由归纳假设P(k)能被p整除，证P(k1)能被p整除，也可运用结论：若P(k1)P(k)能被p整除P(k1)能被p整除或利用“P(k)能被P整除，存在整式q(k)，使P(k)Pq(k)”，将P(k1)变形转化分解因式产生因式p.,例如本题中，在推证nk1命题也成立时，可以用整除的定义，将归纳假设表示出来，假设nk时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，则ak1(a1)2k1(a2a1)q(a)(q(a)为多项式)，所以(a1)2k1(a2a1)q(a)ak1，所以nk1时，ak2(a1)2k1ak2(a1)2(a1)2k1ak2(a1)2(a2a1)q(a)ak1ak2(a1)2(a2a1)q(a)(a1)2ak1(a1)2(a2a1)q(a)ak1(a2a1)，显然能被a2a1整除，即nk1时，命题亦成立,求证：当n为正奇数时，xnyn能被xy整除证明(1)显然，当n1时，命题成立，即x1y1能被xy整除(2)假设当n2k1(kN*)时命题成立，即(xy)能整除x2k1y2k1，则当n2k1时，x2k1y2k1x2x2k1x2y2k1x2y2k1y2y2k1x2(x2k1y2k1)(xy)(xy)y2k1，,xy能整除(x2k1y2k1)，又xy能整除(xy)(xy)y2k1，(xy)能整除(x2k1y2k1)由(1)、(2)可知当n为正奇数时，xnyn能被xy整除,用数学归纳法证明几何问题,平面内有n个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个及以上的圆交于一点，求证：这n个圆将平面分成n2n2(nN*)个区域分析本题关键是弄清第k1个圆与前k个圆的交点个数，以及这些交点又将第k1个圆分成了多少段弧，每一段弧又是怎样影响平面区域的划分的,证明(1)当n1时，1个圆将平面分成2个区域，命题显然成立(2)假设当nk(kN*)时命题成立，即k个圆将平面分成k2k2个区域则当nk1时，第k1个圆交前面k个圆于2k个点，这2k个点将第k1个圆分成2k段弧，每段弧将各自所经过的区域一分为二，于是增加了2k个区域，所以这k1个圆将平面分成k2k22k个区域，即(k1)2(k1)2个区域，故当nk1时，命题也成立由(1)、(2)可知，对一切nN*，命题都成立,方法规律总结用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何中图形来分析，在实在分析不出来的情况下，将nk1和nk分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何问题的一大技巧,归纳、猜想、证明,(2015锦州一中高二期中)考察下列各式2213441345681355678161357你能做出什么一般性的猜想？能证明你的猜想吗？,分析观察给出等式的特点，分析其规律可以发现，第n个等式左端是n个连续自然数的乘积，乘积的第一个自然数为n1，故左端为(n1)(n2)(2n)；第n个等式右端都由两部分乘积构成，前一部分为2n，后一部分为数列2n1的前n项的积，据此可作出猜想，用数学归纳法证明猜想的结论时，关键是将nk1时左端的式子中符合“nk时的等式左端部分用nk时等式的右端部分”代替后，进行变形,解析由题意得，221,34413,4568135,5678161357，猜想：(n1)(n2)(n3)2n2n135(2n1)，下面利用数学归纳法进行证明，证明：(1)当n1时，显然成立；,(2)假设当nk时等式成立，即(k1)(k2)(k3)2k2k135(2k1)，那么当nk1时，(k11)(k12)(k13)2(k1)(k1)(k2)(2k)(2k1)22k135(2k1)(2k1)22k1135(2k1)2k11352(k1)1所以当nk1时等式成立根据(1)(2)可知对任意正整数等式均成立,方法规律总结1.解答归纳、猜想、