《简谐运动的回复力和能量》教学案例分析

1 / 20 简谐运动的回复力和能量教学案例分析 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲山课 件 k 简谐运动的回复力和能量教学案例分析 课时 简谐运动的回复力和能量 1.理解回复力的概念 ,会根据回复力的特点判断物体是否做简谐运动。 2.会用动力学的方法分析简谐运动中位移、速度、回复力和加速度的变化规律。 3.会用能量守恒的观点分析水平弹簧振子中动能、势能、总能量的变化规律。 重点难点 :回复力的特点、简谐运动的动力学分析及能量分析。 教学建议 :前两节研究的是做简谐运动的质点的运动特点 ,不涉及它所受的力以及能量转换的情况 ,是从运动学的角度研究的。而本节要讨论它所受的力和能量转换的情况 ,是从动力学和能量的角度研究的。教学中要讲清回复力是根据振2 / 20 动物体所受力的效果来命名的 ,振子的惯性使振子远离平衡位置时 ,回复力总是使振子回到平衡位置 ,正是这一对矛盾才使振子形成振动。从能量守恒的角度对简谐运动进行分析时 ,只限于对水平弹簧振子。 导入新课 :很多同学都喜欢荡秋千 ,你思考过吗 ,为什么一次次荡起的秋千还会一次次回到最低点 ?又为什么荡秋千时能荡得很高 ? 1.简谐运动的动力学特征 (1)回复力的方向跟振子偏离平衡位置的位移方向 相反(填 “ 相同 ” 或 “ 相反 ”), 总是指向 平衡位置 ,它的作用是使振子能 回到平衡位置。 (2)水平放置的弹簧振子做简谐运动时 ,其回复力可表示为F= -kx,式中 k为比例系数 ,也是弹簧的劲度系数 ;负号表示 力 F 与位移 x 方向相反。 (3)如果质点受到的力与它偏离平衡位置的位移大小成 正比 ,并且总指向 平衡位置 ,该质点的运动就是简谐运动。 2.简谐运动的能量的特征 (1)弹簧振子的速度在不断变化 ,因而它的 动能在不断变化 ;弹簧的形变 量在不断变化 ,因而它的 势能在不断变化。 (2)理论证明 :若忽略能量损耗 ,在弹簧振子运动的任意位置 ,3 / 20 系统的 动能与势能之和都是一定的 ,与机械能守恒定律相一致。 (3)实际运动都有一定的能量损耗 ,所以简谐运动是一种理想化模型。 1.回复力是按性质命名的力还是按效果命名的力 ? 解答 :回复力是按效果命名的力。 2.弹簧振子在什么位置动能最大 ?在什么位置势能最大 ? 解答 :在平衡位置动能最大 ,在最大位移处势能最大。 3.简谐运动过程中有能量损耗吗 ? 解答 :简谐运动是一种理想化的模型 ,没有能量损耗。 主题 1:简谐运动的回复力 问题 :(1)如图所示 ,振子在外力作用下把水平弹簧拉伸至 A点 ,松手后振子做简谐运动。仔细观察水平放置的弹簧振子的运动 ,完成下表。 振子的运动 AooAAooA 物理量的变化 x F a 4 / 20 (2)根据问题 (1)的分析 ,总结简谐运动的回复力的特点。 解答 :(1) 振子的运动 AooAAooA 物理量的变化 x 减小增大减小增大 F 减小增大减小增大 a 减小增大减小增大 (2)简谐运动的回复力与振子的位移 (弹簧的伸长 量 )成正比 ,方向与振子的位移方向相反 (总是指向平衡位置 )。 知识链接 :简谐运动的物体在平衡位置时回复力一定为零 ,但物体的合力不一定为零。 主题 2:简谐运动的判定方法 问题 :如图所示 ,在光滑水平面上 ,用两根劲度系数分别为 k1和 k2的轻弹簧系住一个质量为 m 的小球。开始时 ,两弹簧均处于原长 ,后使小球向左偏离 x后放手 ,可以看到小球将在水平面上做往复运动。请思考 ,小球是在做简谐运动吗 ? 解答 :小球水平方向受到两根弹簧的弹力作用 ,当小球向左偏离平衡位置的位移为 x时 ,左方弹簧受压 ,对小球的弹力大小为 F1=k1x,方向向右 ;右方弹簧被拉伸 ,对小球的弹力大小为 F2=k2x, 方 向 向 右 。 小 球 所 受 合 力 大 小 为F=F1+F2=(k1+k2)x, 方向向右。令 k=k1+k2, 上 式 可 写5 / 20 成 :F=kx。再 考虑 F 与 x 的方向 ,则 F=-kx,所以小球是在做简谐运动。 知识链接 :判断物体是否做简谐运动 ,关键是合理地选择研究对象 ,并确定回复力是否总与位移成正比 ,且方向相反。 主题 3:简谐运动的能量 问题 :(1)图示为一做简谐运动的弹簧振子 ,仔细观察弹簧振子运动过程中的能量转化情况 ,试分析各阶段的能量转化情况 ,并填入表格。 振子的运动 AooAAooA 物理量的 变化位移大小 速度大小 能量的变化动能 势能 总能量 (2)思考 : 弹簧振子在初始释放位置 (A 点 )时具有什么能 ?该能量又是如何获得的 ? 弹簧振子在平衡位置时具有什么能 ?该能量又是如何获得的 ? 解答 :(1) 6 / 20 振子的运动 AooAAooA 物理量的 变化位移大小减小增大减小增大 速度大小增大减小增大减小 能量的变化动能增大减小增大减小 势能减小增大减小增大 总能量不变不变不变不变 (2) 弹簧振 子在初始释放位置 (A点 )时具有最大势能 ,该势能是通过外力做功获得的。 弹簧振子在平衡位置时具有最大动能 ,该动能是由势能转化而来的。 知识链接 :简谐运动的能量跟振幅有关 ,振幅越大 ,振动的能量越大。由于简谐运动的总能量保持不变 ,所以又称为等幅振动。 1.(考查回复力 )如图所示 ,对做简谐运动的弹簧振子 m 进行受力分析 ,则关于振子所受的力 ,下列说法正确的是 ( )。 A.重力、支持力、弹簧的弹力 B.重力、支持力、弹簧的弹力、回复力 c.重力、支持力、回复力、摩擦力 7 / 20 D.重 力、支持力、摩擦力 【解析】有不少同学误选 B,产生错解的主要原因是对回复力的性质理解不清楚 ,或者说是对回复力的来源没有弄清楚 ,因此一定要清楚地认识到它是由其他力所提供的力。 【答案】 A 【点评】回复力是各个力的合力 ,并不是一个单独的力。 2.(考查简谐运动的动能、势能 )一个做简谐运动的物体 ,每次有相同的动能时 ,下列说法正确的是 ( )。 A.具有相同的速度 B.具有相同的势能 c.具有相同的回复力 D.具有相同的位移 【解析】做简谐运动的物体 ,有相同的动能的点有两个 ,且关于平衡位置对称 ,这 两点的位移、回复力方向都不同。而即使是同一点 ,速度也有两个不同的方向。分析此题时注意矢量和标量的区别 ,只有 B 选项正确。 【答案】 B 【点评】加速度随位移变化的规律与回复力一致。 3.(考查回复力和位移、加速度的关系 )图示为一弹簧振子 ,o为平衡位置 ,设向右为正方向 ,振子在 B、 c 之间振动时( )。 8 / 20 o 位移为正、回复力为正 c 位移为正、回复力为负 o 加速度为负、回复力为负 B 加速度为正、回复力为负 【解析】由 Bo 运动时 ,振子在 o 左侧 ,位移为负 ,回复力指向 o 点 (向右 ),故选项 A 错误 ;同理可以判断选项 B 正确。由co 运动时 ,振子的回复力指向 o点 (向左 ),加速度与回复力方向相同 ,故选项 c 正确 ;同理可以判断选项 D 错误。 【答案】 Bc 【点评】回复力的方向总与位移的方向相反 ,与加速度方向相同。 4.(考查简谐运动的能量和回复力 )图示为一在水平方向上振动的弹簧振子的振动图象 ,由此可知 ( )。 A.在 t1时刻 ,振子的动能最大 ,所受的弹力最大 B.在 t2时刻 ,振子的动能最大 ,所受的弹力最小 c.在 t3时刻 ,振子的动能最大 ,所受的弹力最小 D.在 t4时刻 ,振子的动能最大 ,所受的弹力 最大 【解析】由图知 ,在 t1和 t3时刻 ,振子分别处于正向最大位移处和负向最大位移处 ,速度为零 ,动能为零 ,弹簧形变量最大 ,振子所受弹力最大 ,故选项 A、 c 均错 ;由图知 ,在 t2和 t4时刻 ,振子处于平衡位置 ,速度最大 ,动能最大 ,弹簧无形变 ,9 / 20 振子所受弹力最小 ,故选项 B 正确 ,选项 D 错误。 【答案】 B 【点评】振子在平衡位置时动能最大。 拓展一 :简谐运动的能量 1.图示是简谐运动的振动图象 ,则下列说法中正确的是( )。 A.曲线上 A、 c、 E 点振子的势能最大 B.曲线上 A、 E 点振子的势能最大 ,c点振 子的势能最小 c.曲线上 B、 D 点振子的机械能相等 D.曲线上 F 点振子的动能最大 【分析】根据振动图象可以判断各点的能量情况。动能和势能都是标量 ,质点离平衡位置越远 ,势能越大 ;又因为简谐运动机械能守恒 ,可知越靠近平衡位置动能越大。 【解析】简谐运动的机械能是守恒的 ,所以在各个位置的机械能应相等。从平衡位置向最大位移处运动的过程中动能向势能转化 ,动能减少 ,势能增加。在最大位移处 ,势能最大 ,动能为零 ;而在平衡位置时动能最大 ,势能为零。 【答案】 AcD 【点拨】在振动的一个周期内 ,动能和势能完成两次周期 性变化 ,经过平衡位置时动能最大 ,势能最小 ;经过最大位移处10 / 20 时 ,势能最大 ,动能最小。 拓展二 :简谐运动的证明 2.如图所示 ,粗细均匀的一条木筷 ,下端绕几圈铁丝 ,竖直浮在较大圆筒里的水中 ,把木块向下按一段距离后放手 ,木筷就在水中上下振动。请你从简谐运动的力学特征来证明木块做的是简谐运动。 【分析】筷子静止时的位置是平衡位置 ,假设从该位置向下按筷子的距离为 x,分析此时其回复力特点 ,如果满足 F=-kx,则说明筷子做简谐运动。为了分析方便 ,可以假设一些物理量 ,如筷子质量 m,筷子横截面积 S,水的密度 , 等等。 【解析】设筷子的横截面积为 S,并以向下的方向为正方向 木筷处于平衡位置时有 V0g=mg 若筷子向下离开平衡位置的位移为 x,则此时筷子所受合外力为 F 回 =F 合 =-(V0+Sx)g+mg 联立解得回复力 F 回 =-gSx= -kx 回复力与位移大小成正比 ,方向相反 ,木筷做简谐运动。 【答案】见解析 【点拨】在证明简谐运动时 ,应先找出平衡位置 ,并找出平衡位置处振子的受力关系。再在振子振动的任意位置进行受力分析 ,且设出位移的正方向 ,然后求出任意位置时振子的回复力 ,看其是否满足 F 回 =-kx。 11 / 20 一、物理百科 你会荡秋千吗 ? 你喜欢荡秋千吗 ?也许你很喜欢却荡不好。要知道 ,会荡秋千的人 ,不用别人帮助推 ,就能越摆越高 ,而不会荡秋千的人则始终也摆不起来 ,知道这是什么原因吗 ? 请你仔细观察一下荡秋千高手的动作 : 他从高处摆下来的时候身子是从直立到蹲下 ,而从最低点向上摆时 ,身子又从蹲下到直立起来。由于他从蹲下到站直时 ,重心升高 ,无形中就对自己做了功 ,自身内能转化为机械能 ,增大了重力势能。因而 ,每摆一次秋千 ,都使荡秋千的人自身机械能增加一些。如此循环往复 ,总机械能越积越多 ,秋千就摆得越来越高了。不信你可以试试看 ! 二、备用试题 1.弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动 ,在振子向平衡位置运动的过程中 ( )。 A.振子所受的回复力逐渐增大 B.振子的位移逐渐增大 12 / 20 c.振子的速率逐渐减小 D.弹簧的弹性势能逐渐减小 【解析】在振子向平衡位置运动的过程中 ,振子的位移逐渐减小 ,速率逐渐增大 ,弹簧的弹性势能逐渐减小。故选 D。 【答案】 D 2.当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时 ,下列说法中正确的是 ( )。 A.振子在振动过程中 ,速度相同时 ,弹簧的长度一定相等 ,弹性势能 相同 B.振子从最低点向平衡位置运动过程中 ,弹簧弹力始终做负功 c.振子在运动过程中的回复力由弹簧的弹力和振子的重力的合力提供 D.振子在运动过程中 ,系统的机械能守恒 【解析】振子在平衡位置两侧往复运动 ,速度相同的位置可能出现在关于平衡位置对称的两点 ,这时弹簧长度明显不等 ,A 错 ;振子由最低点向平衡位置运动的过程中 ,弹簧对振子施加的力指向平衡位置 ,应做正功 ,B 错 ;振子运动中的回复力由弹簧振子所受合力提供 ,且运动中机械能守恒 ,故 c、 D对。 【答案】 cD 13 / 20 3.如图所示的弹簧振子 ,o为平衡位置 ,B、 c 为最大位移位置 ,以向右的方向为正方向 ,则振子从 B运动到 o的过程中 ,位移为 ,大小逐渐 ,回复力方向为 ,大小逐渐 ,振子速度方向为 ,大小逐渐 ,动能逐渐 ,势能逐渐 。 (选填 “ 正 ”“ 负 ”“ 增大 ” 或 “ 减小 ”) 【解析】振子从 B 向 o 运动的过程中 ,位置在 o 点的右方 ,到 o点距离逐渐减小 ,故位移为正值 ,大小逐渐减小。由 F=-kx和 a=-x可知 ,回复力和加速度的大小均在减小 ,方向为负 ,振子的速度方向为负 ,大小逐渐增大 ,故动能也在增大 ,势能逐渐减小。 【答案】正 减 小 负 减小 负 增大 增大 减小 1.关于做简谐运动的物体每次通过平衡位置时的情况 ,下列说法正确的是 ( )。 A.位移为零 ,动能为零 B.动能最大 ,势能最小 c.速率最大 ,回复力不为零 D.以上说法均不对 【解析】物体经平衡位置时 ,位移为零 ,回复力为零 ,速度最大 ,动能最大 ,势能为零 ,所以 B 正确 ,A、 c、 D 错误。 【答案】 B 14 / 20 2.做简谐运动的弹簧振子 ,当回复力由小变大时 ,下列物理量也变大的是 ( )。 A.弹簧的弹性势能 B.振子的速率 c.振子的加速度 D.振子 的能量 【解析】当回复力由小变大时 ,位移正在增大 ,则弹簧的弹性势能增大 ,A 正确 ;振子的速率减小 ,B 错误 ;振子的加速度增大 ,c正确 ;振子的能量不变 ,D错误。 【答案】 Ac 3.把一个小球套在光滑细杆上 ,球与轻弹簧相连组成弹簧振子 ,小球沿杆在水平方向做简谐运动 ,它围绕平衡位置 o在 A、B 间振动 ,如图所示。下列结论正确的是 ( )。 A.小球在 o 位置时 ,动能最大 ,加速度最小 B.小球在 A、 B 位置时 ,动能最大 ,加速度最大 c.小球从 A 经 o 到 B 的过程中 ,回复力一直做正功 D.小球从 B 到 o 的过程中 ,振动 的能量不断增加 【解析】振子以 o 为平衡位置 ,在 A、 B 之间振动。在 o 点时 ,动能最大 ,回复力为零 ,加速度最小 ;在 A、 B 位置时 ,动能最小 ,回复力最大 ,加速度最大。从 A 到 o 回复力做正功 ,从 o到 B回复力做负功 ;小球从 B 到 o 弹簧弹力做功 ,弹簧振子的机械能不变。 【答案】 A 15 / 20 4.图示为一弹簧振子做简谐运动的图象 ,由图可知 ,t1 和 t2时刻对称。对振子在 t1 和 t2 时刻进行比较 ,下列结论正确的是 ( )。 A.振子具有相同的速度 B.振子具有相同的位移 c.振子具有相同的加速度 D.振子具有相同的机械能 【 解析】 t1 和 t2两时刻振子所处的位置关于平衡位置对称 ,速度、加速度、位移三者的大小均相同 ,速度方向相同 ,但加速度和位移方向都相反 ,故选项 A 对 ,选项 B、 c 错。由于振动过程中机械能守恒 ,所以 t1 和 t2 时刻机械能相等 ,选项 D对。 【答案】 AD 5.如图所示 ,弹簧上面固定一质量为 m 的小球 ,小球在竖直方向上做振幅为 A 的简谐运动 ,当小球振动到最高点时弹簧正好为原长 ,则小球在振动过程中 ( )。 A.小球最大动能应等于 mgA B.弹簧的弹性势能和小球动能总和保持不变 c.弹簧最大弹性势能等于 2mgA D.小球在最低点时所受弹力大于 2mg 16 / 20 【解析】小球在平衡位置时有 kx0=mg,即 x0=A=。振动过程中弹簧振子的机械能守恒 ,即动能、重力势能和弹性势能之和保持不变。从最高点到最低点 ,重力势能全部转化为弹性势能 ,Ep=2mgA,最低点加速度大小等于最高点加速度 g,根据牛顿第二定律 F-mg=mg,所以小球在最低点时的弹力 F=2mg。 【答案】 c 6.如图所示 ,光滑的水平面上放有一弹簧振子 ,轻弹簧右端固定在滑块上 ,已知滑块质量 m=,弹簧劲度系数 k=240N/m,将滑块从平衡位置 o 向左平移 ,使弹簧压缩 5cm,静止 释放后滑块在 A、 B 间滑动 ,则 : (1)滑块在 A、 B、 o 三点中哪点加速度最大 ?此时滑块加速度为多大 ? (2)滑块在 A、 B、 o 三点中哪点速度最大 ?此时滑块速度为多大 ?(假设整个系统具有的最大弹性势能为 ) 【解析】 (1)由于简谐运动的加速度 a=-,故加速度最大的位 置 在 最 大 位 移 处 的 A 或 B 两点 , 加 速 度 大 小a=/s2=24m/s2 。 (2)在平衡位置 o 滑块的速度最大 根据机械能守恒定律有 Epm=m 故 vm=m/s/s 。 【答案】 (1)A点或 B 点 24m/s2 (2)o点 /s 17 / 20 甲 7.如图甲所示 ,A、 B 两物体组成弹簧振子 ,在振动过程中 ,A、B始终保持相对静止 ,图乙中能正确反映振动过程中 A所受摩擦力 Ff与振子的位移 x 关系的图象应为 ( )。 乙 【解析】在振动过程中 A、 B 始终保持相对静止 ,可以把 A、B 看成整体进行受力分析 ,设 A、 B 的质量为 mA、 mB,弹簧的劲度系数为 k,则有 (mA+mB)a=-kx,a=-,A所受摩擦力 Ff=-kx,所以 Ff与位移的关系是 Ff=-kx。 【答案】 c 8.做简谐运动的弹簧振子 ,其质量为 m,最大速率为 v。下列说法中正确的是 ( )。 A.振动系统的最大弹性势能为 mv2 B.当振子的速率减为时 ,此振动系统的弹性势能为 c.从某时刻起 ,在半个周期内 ,弹力做的功一定为零 D.从某时刻起 ,在半个周期内 ,弹力做的功一定为 mv2 【解析】根据简谐运动机械能守恒原理 ,判断 A 选项正确。当 振 子 的 速 率 减 为 时 , 振 子 的 动 能 减 少 量Ek=mv2 -m()2=mv2,那么振动系统的弹性势能为 mv2,B选项18 / 20 错误。从某时刻起经过半个周期 ,振子回到原位置或者回到关于平衡位置对称的位置 ,经过半个周期振子的速率恢复到原来的数值 ,所以动能不变 ,根据动能定理 ,弹力 做功为零 ,c选项正确 ,D选项错误。 【答案】 Ac 9.如图所示 ,物体 m 系在两弹簧之间 ,两弹簧劲度系数分别为 k1和 k2,且 k1=k,k2=2k,两弹簧均处于自然状态。今向右拉动 m,然后释放 ,物体在 B、 c 间振动 ,o为平衡位置 (不计阻力 ),则下列判断正确的是 ( )。 做简谐运动 ,oc=oB 做简谐运动 ,ocoB c.回复力 F=-kx D.回复力 F=-3kx 【解析】本题易误选 B、 c,误以为物体两边弹簧的劲度系数不同 ,因此做简谐运动时 ,左右最大位移不对称 ,即 ocoB,误认为选项 B 正确。根据物 体做简谐运动的条件是物体所受回复力为 F=-kx,因此误认为选项 c 正确。造成这些错误的原因是没有用所学知识加以分析。在 F=-kx 中 ,k 为比例系数 ,不一定为劲度系数