2018年高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.2复数的四则运算学案苏教版.docx

3.2 复数的四则运算第1课时复数的加减与乘法运算已知复数z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足1复数的加法、减法法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i，z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i即两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)2复数加法的运算律(1)交换律：z1z2z2z1；(2)结合律：(z1z2)z3z1(z2z3).设z1abi，z2cdi，(a，b，c，dR)问题1：如何规定两复数相乘？提示：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成1，并且把实部与虚部分别合并即可即z1z2(abi)(cdi)acbciadibdi2(acbd)(bcad)i.问题2：试验复数乘法的交换律提示：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i，z2z1(cdi)(abi)(acbd)(bcad)i.故z1z2z2z1.1复数的乘法设z1abi，z2cdi是任意两个复数，那么它们的积(abi)(cdi)acbciadibdi2(acbd)(adbc)i(a，b，c，dR)2复数乘法的运算律对于任意z1、z2、z3C，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3问题：复数34i与34i，abi与abi(a，bR)有什么特点？提示：两复数的实部相等，虚部互为相反数1把实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数2复数zabi的共轭复数记作，即abi.3当复数zabi的虚部b0时，z，也就是说，实数的共轭复数仍是它本身1复数加、减法的规定：实部与实部相加(减)、虚部与虚部相加(减)两个复数的和或差仍是一个复数2复数的乘法与多项式的乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成1，再把实部，虚部分别合并、两个复数的积仍是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数例1计算：(1)(35i)(34i)；(2)(32i)(45i)；(3)(55i)(22i)(33i)思路点拨解答本题可根据复数加减运算的法则进行精解详析(1)(35i)(34i)(33)(54)i6i.(2)(32i)(45i)(34)2(5)i77i.(3)(55i)(22i)(33i)(523)5(2)3i10i.一点通复数加减运算法则的记忆方法：(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项1(35i)(4i)(34i)_解析：(35i)(4i)(34i)(343)(514)i410i.答案：410i2若(7i5)(98i)(xyi)2，则xy_.解析：(7i5)(98i)(xyi)(59x)(78y)i(x4)(y1)i.(x4)(y1)i2，即x42，y10.x6，y1.xy5.答案：53计算：(1)(12i)(34i)(56i)；(2)5i(34i)(13i)解：(1)原式(42i)(56i)18i；(2)原式5i(4i)44i.例2计算：(1)(1i)(1i)(1i)；(2)(2i)(15i)(34i)2i.思路点拨应用复数的乘法法则及乘法运算律来解精解详析(1)(1i)(1i)(1i)1i21i1i.(2)(2i)(15i)(34i)2i(210ii5i2)(34i)2i(211i5)(34i)2i(311i)(34i)2i(912i33i44i2)2i5321i2i5323i.一点通(1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算混合运算的顺序与实数的运算顺序一样(2)平方差公式，完全平方公式等在复数范围内仍然成立一些常见的结论要熟记：i21，(1i)22i.4(浙江高考改编)已知i是虚数单位，则(1i)(2i)_解析：(1i)(2i)2i2ii213i.答案：13i5若(1i)(2i)abi，其中a，bR，i为虚数单位，则ab_解析：(1i)(2i)13iabi，a1，b3，故ab4.答案：46计算下列各题(1)(1i)2；(2)(13i)(34i)；(3)(1i)(1i)解：(1)(1i)212ii22i.(2)(13i)(34i)34i9i12i2913i.(3)法一：(1i)(1i)(1i)(1i)iii21i.法二：原式(1i)(1i)(1i2)21i.例3已知zC，z为z的共轭复数，若zz3iz13i，求z.思路点拨zabi(a，bR).精解详析设zabi(a，bR)，则zabi(a，bR)，由题意得(abi)(abi)3i(abi)13i，即a2b23b3ai13i，则有解得或所以z1或z13i.一点通(1)实数的共轭复数是它本身，即zRzz，利用此性质可以证明一个复数是实数(2)若z0且zz0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数7已知复数z1i，z为z的共轭复数，则zzz1_解析：z1i，z1i，zz(1i)(1i)2，zzz12(1i)121i1i.答案：i8复数z满足(12i)z43i，则z_解析：设zabi，则zabi.(12i)(abi)43i，abi2ai2b43i，即(a2b)(2ab)i43i，解之得a2，b1.z2i.答案：2i9已知复数 z1i，求实数 a，b 使 az2bz(a2z)2成立解：z1i，az2bz(a2b)(a2b)i，(a2z)2(a2)244(a2)i(a24a)4(a2)i.a，b 都是实数，由 az2bz(a2z)2，得两式相加，整理得 a26a80.解得 a12，a24，对应得 b11，b22.所求实数为 a2，b1 或 a4，b2.1复数的加减运算把复数的代数形式zabi看作关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法，只需要“合并同类项”就行，不需要记加、减法法则2复数的乘法运算复数的乘法可以把虚数单位i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为1，进行最后结果的化简一、 填空题1计算(i3)(25i)的结果为_解析：(i3)(25i)i325i6i5.答案：56i2若复数z12i，则zzz的实部是_解析：z12i，z12i，zz(12i)(12i)5，zzz512i62i.答案：63已知3i(43i)z(67i)，则z_解析：3i(43i)z(67i)z3i(43i)(67i)(346)(137)i55i.答案：55i4(北京高考)若(xi)i12i(xR)，则x_解析：(xi)i1xi12i，由复数相等的定义知x2.答案：25已知z134i，z2ti，且z1z2是实数，则实数t_解析：z2ti，z2ti，z1z2(34i)(ti)3t3i4ti4i2(3t4)(4t3)i，又z1z2是实数，4t30，即t.答案：二、解答题6计算：(1)；(2)(32i)(2)i；(3)(63i)(32i)(34i)(2i)解：(1)原式ii；(3)(32i)(2)i3(22)i3i；(3)(63i)(32i)(34i)(2i)633(2)32(4)1i82i.7计算：(1)(4i6)2i；(2)(1i)解：(4i6)2i2i6i239i2i76i.(2)(1i)(1i)(1i)ii.8(江西高考改编)z是z的共轭复数若zz2，(zz)i2(i为虚数单位)，求z.解：法一：设zabi(a，bR)，则zabi，zz2a2，a1.又(zz)i2bi22b2.b1.故z1i.法二：(zz)i2，zz2i.又zz2.zz(zz)2i2，2z2i2，z1i.第2课时复数的乘方与除法运算问题1：在实数中，若abc(a0)，则b.反之，若b，则abc.那么在复数集中，若z1z2z3，有z1(z20)成立吗？提示：成立问题2：若复数z1abi，z2cdi(a，b，c，dR，cdi0)，则如何运算？提示：通常先把(abi)(cdi)写成的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数cdi，化简后可得结果，即i(cdi0)1复数范围内正整数指数幂的运算性质对任意复数z，z1，z2和m，nN*，有(z)m(z)n(z)mn；(zm)nzmn；(z1z2)nzz2虚数单位in(nN*)的周期性i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i3复数的除法运算及法则把满足(cdi)(xyi)abi(cdi0)的复数xyi(x，yR)叫做复数abi除以复数cdi的商且xyii由i，可以看出复数除法的运算实质是将分母化为实数的过程即分母实数化例1求1ii2i2 016的值思路点拨利用in的性质计算，i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，还可以利用等比数列求和来解精解详析法一：1ii2i2 0161.法二：inin1in2in30(nN*)，1ii2i2 0161(ii2i3i4)(i5i6i7i8)(i2 009i2 010i2 011i2 012)(i2 013i2 014i2 015i2 016)1.一点通等差、等比数列的求和公式在复数集C中仍适用，i的周期性要记熟，即inin1in2in30(nN*)1若z，则z2 014z102_解析：z2i，z2 014z102(i)1 007(i)51(i)1 004(i)3(i)48(i)3ii2i.答案：2i2设z1i4i5i6i12，z2i4i5i6 i12，则z1与z2的关系为z1_z2(用“”或“”填)解析：z11，z2i45612ii72(i4)181，z1z2.答案：例2计算：(1)(5i2)；(2).思路点拨解答较为复杂的复数相乘、除时，一个方面要利用复数乘、除的运算法则、运算律，另一方面要注意观察式子中数据的特点，利用题目中数据的特点简化运算精解详析(1)原式(5i2)i51ii4i4.(2)原式(2i)2i4i.一点通复数的除法就是分子，分母同乘以分母的共轭复数，从而使分母实数化，熟悉以下结论对简化运算很有帮助bai(abi)(i)，bai(abi)i.3设复数z，则复数z2的实部与虚部的和为_解析：zi1，z2(1i)212i12i.实部为0，虚部为2.因此，实部与虚部的和为2.答案：24若复数z满足z(2i)117i(i为虚数单位)，则z_解析：z(2i)117i，z35i.答案：35i5化简：_解析：原式ii2i.答案：2i1复数除法的运算技巧在实际进行的复数除法运算中，每次都按乘法的逆运算进行计算将十分麻烦我们可以用简便方法操作：先把两个复数相除写成分式形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”，最后再化简2注意复数计算中常用的整体(1)i的性质：i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN*)；(2)(1i)22i，i，i；(3)设i，则31，210，2，31.一、填空题1(新课标全国卷改编)设复数z满足(1i)z2i，则z_解析：z1i.答案：1i2设i是虚数单位，复数的虚部为_解析：3i.答案：13如果z123i，z2，则_解析：z123i，z2，i(2i)2(34i)i43i.答案：43i4(浙江高考)已知 i是虚数单位，计算 _解析： i.答案：i5i是虚数单位，i2i23i38i8_解析：设Si2i23i38i8则iSi22i37i88i9得(1i)Sii2i3i88i98i8i.S44