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证明:两小球正碰,完全非弹性碰撞动能损失最大的证明(利用初等函数证明)在碰撞中,系统动量守恒。但动能损失不一样。完全弹性碰撞,碰撞前后,系统总动能不损失。非弹性碰撞,损失一部分动能。两个物体碰撞后,不分开,以同一速度运动,叫做完全非弹性碰撞。此时动能损失最大。下面是证明过程。条件:质量m1,速度v1,与质量m2,速度v2物体发生碰撞,碰后,m1速度变为v1/,m2速度变为v2/。由动量守恒:m1 v1+m2 v2=m1 v1/+m2 v2/(1)损失动能:(2)令p= m1 v1+m2 v2 ,p和E1确定,只需证明E2最小的条件,即可得到最大的动能损失的条件。利用(1)式可得:(3)将(3)带入E2,得:,可见分子部分为关于v1/的函数。令(4)只需求出的最小值即可。二次函数开口向上,顶点坐标值对应最小。即当时,最小,则此时E2最小,E最大。将v1/带入(3)式得:。即:碰撞后两物体不分开以相同速度运动,损失的动能最大。得证。拓展:可以对(4)式求导,找极值,更容易得到证明。此处略。关于正碰中一动碰一静,被撞球速度v2的取值范围的讨论由动量守恒:m1 v0 =m1 v1+m2 v2(1)能量关系: (2)(Q为过程中损失的机械能)由(1)得:(3)将(3)带入(2)式:,整理可得:(4)根据求根公式:可得:将v2带入(3)式,可得:讨论根的合理性:若:,则,v1速度方向与原方向相同,且大于v2,不符合碰撞的合理性原则,将这组根舍去。结论:(5),(6)讨论发热量Q与v2的取值范围:(5)(6)式可得m1、m2,v0一定时,对于不同类型的碰撞,Q将不同:弹性碰撞时Q=0,带入(5)(6)可得:,当发生完全非弹性碰撞时,可由上篇证明得到,Q的最大值:(7)在这里,从另一个角度来确定Q的最大值,由(5)(6)碰撞一定存在一个合理的v1与v2,即:(8)(9)不等式(8)(9)式化简后实为同一不等式,有共同的解:,可得:,此时v1=v2,即发生了完全非弹性碰撞,此时机械能损失最大(一动碰一静的情况下符合证明的结论。)结论:对0,故在(5)式中Q越大,v2
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