2016_2017学年高中数学第二章平面向量2.6平面向量数量积的坐标表示学案北师大版必修4.docx

6平面向量数量积的坐标表示1掌握数量积的坐标表达式(重点)2能用坐标表示两个向量的夹角，判断两个平面向量的垂直关系(重点)3了解直线的方向向量的概念(难点)基础初探教材整理平面向量数量积的坐标表示阅读教材P98P99，完成下列问题1平面向量数量积的坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)abx1x2y1y2；(2)a2xy，即|a|；(3)设向量a与b的夹角为，则cos ；(4)abx1x2y1y20.2直线的方向向量给定斜率为k的直线l，则向量m(1，k)与直线l共线，我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若两非零向量的夹角满足cos 0，则两向量的夹角一定是钝角()(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.()(3)两向量a与b的夹角公式cos 的使用范围是a0且b0.()【解析】(1)错误如a(1，1)，b(2,2)，显然cos 0，但a与b的夹角是180，而并非钝角(2)正确.(x2x1，y2y1)，所以|.(3)正确两向量a与b的夹角公式cos有意义需xx0且yy0，即a0，且b0.此说法是正确的【答案】(1)(2)(3)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_ 小组合作型平面向量数量积的坐标运算已知向量a与b同向，b(1,2)，ab10.(1)求向量a的坐标；(2)若c(2，1)，求(ac)b.【精彩点拨】根据a与b共线设出a的坐标，再利用数量坐标运算公式构建方程求得a的坐标，进而求(ac)b.【自主解答】(1)a与b同向，且b(1,2)，ab(，2)(0)又ab10，410，2，a(2,4)(2)法一：ac(4,3)，(ac)b4610.法二：(ac)babcb10010.进行向量的数量积的坐标运算关键是把握向量数量积的坐标表示，运算时常有两条途径：(1)根据向量数量积的坐标表示直接运算；(2)先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算再练一题1已知向量a(4，2)，b(6，3)，求：(1)(2a3b)(a2b)；(2)(ab)2.【解】法一：(1)2a3b(8，4)(18，9)(10,5)，a2b(4，2)(12，6)(16，8)，(2a3b)(a2b)16040200.(2)ab(10，5)，(ab)2(10，5)(10，5)10025125.法二：由已知可得：a220，b245，ab30.(1)(2a3b)(a2b)2a2ab6b222030645200.(2)(ab)2a22abb2206045125.向量的夹角及垂直已知a(1,2)，b(2，4)，|c|.(1)求|a2b|；(2)若(ab)c，求向量a与c的夹角【精彩点拨】(1)利用|a|求解(2)利用cos 求解【自主解答】(1)a2b(1,2)2(2，4)(3，6)，|a2b|3.(2)b(2，4)2(1,2)2a，aba，(ab)cac.设a与c的夹角为，则cos .0，即a与c的夹角为.1已知向量的坐标和向量的模(长度)时，可直接运用公式|a|进行计算2求向量的夹角时通常利用数量积求解，一般步骤为：(1)先利用平面向量数量积的坐标表示求出两向量的数量积；(2)再求出两向量的模；(3)由公式cos ，计算cos 的值；(4)在0，内，由cos 的值确定角.再练一题2已知a(1,2)，b(1，)，分别确定实数的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角【解】ab(1,2)(1，)12.(1)因为a与b的夹角为直角，所以cos 0，所以ab0，即120，所以.(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cos 0，且cos 1，所以ab0，且a与b不反向由ab0，得120，故，由a与b共线得2，故a与b不可能反向所以的取值范围为.(3)因为a与b的夹角为锐角，所以cos 0，且cos 1，所以ab0且a，b不同向由ab0，得，由a与b同向得2.所以的取值范围为(2，)探究共研型向量的模探究1由向量长度的坐标表示，你能否得出平面内两点间的距离公式？【提示】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，由向量长度的坐标表示可得|AB|.探究2向量的模的坐标表达式是什么？【提示】向量a(x1，y1)的模是|a|.探究3求向量的坐标一般采用什么方法？【提示】一般采用设坐标、列方程的方法求解设平面向量a(3,5)，b(2,1)(1)求a2b的坐标和模的大小；(2)若ca(ab)b，求|c|.【精彩点拨】(1)将已知向量的坐标代入运算即可(2)利用abx1x2y1y2求得c的坐标表示，然后求模【自主解答】(1)a(3,5)，b(2,1)，所以a2b(3,5)2(2,1)(34,52)(7,3)，|a2b|.(2)abx1x2y1y2651，所以cab(1,6)，所以|c|.求向量的模的两种基本策略1字母表示F的运算利用|a|2a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题2坐标表示F的运算若a(x，y)，则aba2|a|2x2y2，于是有|a|.再练一题3(1)已知a(1,2)，b(2，m)，若ab，则|2a3b|_.(2)已知|a|10，b(1,2)，且ab，求a的坐标【解析】(1)因为a(1,2)，b(2，m)，ab，所以1m2(2)0，所以m4，所以2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8)，所以|2a3b|4.【答案】4(2)设a的坐标为(x，y)，由题意得解得或所以a(2，4)或a(2，4)构建体系1若向量a(1,1)，b(1,2)，则ab()A1B2C3 D4【解析】ab(1,1)(1,2)1(1)121.【答案】A2已知a(，1)，b(1，)，那么ab的夹角() 【导学号：66470057】A120 B30C150 D60【解析】因为ab(，1)(1，)2，|a|2，|b|2.所以cos .又因为0180，所以150.【答案】C3已知a(2,3)，b(2,4)，则(ab)(ab)_.【解析】法一：ab(0,7)，ab(4，1)，所以(ab)(ab)047(1)7.法二：(ab)(ab)a2b2|a|2|b|213207.【答案】74已知a(1，x)，b(3,1)，若ab，则x_.【解析】ab，3x0，x3.【答案】35已知向量a(1,2)，b(2，2)(1)设c4ab，求(bc)a；(2)若ab与a垂直，求的值；(3)求向量a在b方向上的射影【解】(1)c4(1,2)(2，2)(6,6)，bc(2，2)(6,6)26260，(bc)a0a0.(2)ab(1,2)(2