一元二次方程_4

1 / 18 一元二次方程 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 一元二次方程 【学习目标】 1.认识一元二次，会辨认一元二次方程。 2.学会把一元二次方程化成一般形式，并能找出二次方程系数、一次项系数和常数项。 3.感悟一元二次方程与实际生活的密切关系。 【学习过程】 一 .知识回顾：一元一次方程： 分式方程： 二 .自主探究： （一）一元二次方程的概念 1.自学课本 72 页内容，得到的三个方程分别是： 2.整理这三个方程，使方程的右边为 0，并左边按 x 的将幂排列。 这三个方程的共同特点： 3.像这样的方程叫做一元二次方程。 对应练习： 1.下面的方程是一元二次方程吗？为什么？ （ 1） x2-9=0（ 2） y2-4y=0(3)1 3x-x2=0(4)4s(s-1)=4s2+2 2 / 18 (5)3x+x2-1=0(6)3x3-4x2+1=0 2.关于 x 的方程（ a-1） x2-3ax+5=0 是一元二次方程，这时的取值范围是 _ (二 )一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式为 _，二次项是 _,一次 项是 _，常数项是 _，其中 a称为 _b 称为 _. 对应练习： 1.一元二次方程 3x2=5x 的一般形式为 _，二次项系数为 _一次项系数为 _常数项为_. 2.将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数，常数项。 3x(x+1)=4(x -2)(x+3)2=(x+2)(4x -1)2(y+5)(y -1)=y2-82t=(t+1)2 三 .课堂小结 四 .课堂检测： 1.下列方程是关于 x 的一元二次方程的是（） A:ax2+bx+c=0B:k2x+bk+6+0c:3x2+2x+1=0D(m2+3)x2+3x-2=0 2.方程（ 3x-1）（ 2x+4） =1化为一般形式是其中二次项系数3 / 18 为 _，一次项系数为 _，常数项为 _. 3.小明家有一块长 150，宽 100的矩形地毯，为了使地毯美观，小明请来了工匠在地毯的四周镶上宽度相同的花色地毯，镶完后的面积是原地毯面积的 2 倍，若设花色地毯的宽为 x ，则根据 题意，可列方程为 _,并化成一般形式 用配方法解一元二次方程（ 1） 【学习目标】 1.知道什么叫开平方法。 2.学会利用开平方的方法解一元二次方程。 【学习过程】 一 . 复 习 回 顾 ： 1. 平 方 根 的 定 义_。 2.求下列各数的平方根： 4， 6， 0， 12. 3.负数有没有平方根？ 相关知识链接： 为美化校园，我校决定将校园中心边长为 40 米的正方形草坪扩为面积为 2500 平方米的正方形，请同学们计 算一下边长应该增加多少？ 解 ： 设 边 长 应 增 加 x 米 ， 根 据 题 意 可 列 方 程_ 4 / 18 同学们思考，怎样解这个方程？ 二 .探求新知： 自学课本 80页内容，再根据平方根的意义，解下列方程 x2=9x2=6(x+3)2=1(x -2)2=2 方法总结： 通过学习，总结以上各题的特点： 1.如果一个一元二次方程一边是 _ 另一边是 _就可以用开平方法 求解。 2.利用开平方解一元二次方程，一定注意方程有 _个解。 三 .典型例题： 例 1.解方程： 4x2-7=0 对应练习：解方程 49x2=25=02x2=39x2 -8=0 例（ x-1） 2=25 对应练习：（ 1）（ x+1） 2=16（ 2） (6x-1)2=81 5 / 18 小结： 当堂测试： 1.下列方程，能否用开平方法求解（） （ 1） 2x2=1（ 2） 3x2+1=0（ 3） 9(x-2)2=25（ 4） x2-4x+4=9 2.利 用开平方法解方程： (1)4x2=9(2)2(x-3)2=8 3.解方程：（ x+） (x-)=2 用配方法解一元二次方程（ 2） 学习目标： 1.知道配方法与开平方法的关系。 2.学会用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程。 3.归纳配方法解一元二次方程的一般步骤，并熟练解方程。 学习过程： 一 .拓通准备： 1. 回 顾 开 平 方 法 解 方 程 ， 方 程 具 备 的 特 点 ：_. 2.添加适当的数，使下列等式成立。 （ 1） x2+6x+_=(x+3)2(2)x2+18x+_=(x+_)2 (3)x2-16x+_=(x-_)2(4)x2+Px+_=(x+_)2 (5)x2-x+_=(x-_)2 二 .探求新知： 1.观察方程： x2+10x+25=26，左边可以变成 _,原方程变成 _,用开平方法解这个方程。 6 / 18 2.观察方程 x2+10x=1,它与上述方程有哪些相同和不同 ?怎样变化就可以得到方程一的形式 3.总结上述方程解法中，关键是哪一步？具体做法是什么？ _. 4. 什 么 是 配 方 法 ？_. 三 .典型例题：用配方法解方程： （ 1） x2-3x=-2(2)x2-6x+8=0 方法总结： 1.用配方法解一元二次方程时，常数项和一次项系数有什么关系？ 2. 用 配 方 法 解 一 元 二 次 方 程 的 具 体 步 骤 ：_. 对应练习：用配方法解下列方程： （ 1） x2+4x=-3（ 2） x2-6x=7(3)y2=3y-2(4)x2+12x+1=0 四 .拓展延伸：用配方法解方程：（ x+1） 2+2(x+1)=8 五 .课堂小结 六 .当堂检测： 7 / 18 1.关于 x 的方程 x2+a+1=2x 有解得条件是（） 为非负数为非正数 2. 填 空 ：（ 1 ） x2-7x+_=(x-_)2 （ 2 ）x2+20x+_=(x+_)2 3.利用配方法解下列方程：（ 1） x2-3x+2=0(2)x2-5x=6 4.在一块长 35m,宽 26m的矩形地面上，修建同样宽的 两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分 的面积为 850，道路的宽应为多少 ? 用配方法解一元二次方程 (3) 学习目标： 1、学会用配方法解二次项系数不是 1 的一元二次方程。 2、熟记配方法解一元二次方程的步骤。 3、体会配方法解一元二次方程的实际意义。 学习过程： 一 .拓通准备：解方程： x2+x-1=0 二 .探求新知：解方程： 2x2+3x-1=0 总 结方法：用配方法解一元二次方程时，一般先把二次项系数化为 _，然后把方程的 _移8 / 18 到方程的右边，再把左边配成一个 _，如果右边是 _，就可以进一步通过直接开平方求它的解 . 三 .自我训练：用配方法解下列方程： （ 1） 3y2-12=2y(2)3x2-5x-2=0(3)3x2+4x-1=0(4)2x2-2x+1=0 四 .能力提升： 1.用配方法解方程 x(2x-1)=32.实际应用 ：当 x 取何值时，2x2-3x+1的值等于 3. 五 .拓展延伸：如果 P 与都是常数，且 P24 ,你会用配方法解关于 x的一元二次方程 x2+Px+ =0吗？试一试。 六 .当堂达标： 1.用配方法解方程 2x2-3=-6x,正确的解法是（） A:(x+)2=,x= B:(x -)2=,x= c:(x+)2= ,原方程无解。 D:(x+)2=,x= 2.若用配方法解方程， 2x2-x-4=0 时，原方程可变形为_. 3.用配方法解下 列方程： （ 1） 3x2-6x=0(2)2x2-7x+3=0 用公式法解一元二次方程（ 1） 9 / 18 学习目标： 1.会用配方法解方程推导出一元二次方程的求根公式。 2.能利用一元二次方程根的判别式判断根的情况。 3.学会运用公式法解一元二次方程。 学习过程： 一 .拓通准备： 1.配方法解一元二次方程的步骤： 2.运用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a,b,c都是常数，且 a0) 归纳总结： 1. 根 据 上 题 ， 得 出 一 元 二 次 方 程 的 求 根 公 式_. 2.什么叫做公式法： _. 3.一元二次方程根的判别式： _. 4.根据判别式，怎样判断一元二次方程 ax2+bx+c=0 根的情况： 当 b2-4ac 0,方程 _.当 b2-4ac=0,方程 _. 当 b2-4ac 0,方程 _. 二 .自我尝试： 不解方程，根据判别式，判断一元二次方程根的情况。 （ 1） x2-x=1=0（ 2） x2-x+1=0(3)4x2-4x+1=0 10 / 18 三 .典型例题： 用公式法解方程：（ 1） 2x2+5x-3=0（ 2） 4x2=9x 四 .自我训练： 用公式法解方程 (1)x2+6x+5=0(2)6y2-13y-5=0(3)x2-3x-4=0(4)2x2+1=3x 五 .小结： 六 .当堂检测： 1.一元二次方程 ax2+bx+c=0(a,b,c 都是常数，且 a0) 的求根公式： _.用求根公式的前提条件是¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬_ 2. 一 元 二 次 方 程 x2+2=2x, 其中a=_,b=_,c=_,b2-4ac=_.它的根是： _. 3.下列一元二次方程中，没有实数根的是（ _） A:x2+2x-1=0B:x2+x+1=0c:x2-2x+2=0D:-x2+x+2=0 4.解下列方程： （ 1） 2x2+11x+5=0（ 2） 5x2-2x+3=0 3 3 用公式法解一元二次方程（ 2） 学习目标： 1.会熟练地把一元二次方程化成一般形式。 11 / 18 2.巩固公式法解一元二次方程。 学习过程： 一 .拓通准备： 1. 一 元 二 次 方 程 的 一 般 形 式 ：_. 2. 一 元 二 次 方 程 的 求 根 公 式 ：_. 3.解下列方程：（ 1） x2-2x-3=0（ 2） x2-x+1=0： 二 .自我尝试 (一 )： 把下列方程化为一般形式，然后用公式法解下列方程。 （ 1）（ x+1）（ 3x-1） =0（ 2） 4-(2-y)2=0 自我训练：解下列方程 （ 1 ） 2x2+1=32x （ 2 ）3x2+5(2x+1)=0(3)(x+2)2-2x=3(4)x-2-x(x-2)=0 三 .自我尝试（二） （ 1）（ 2x+1） 2=2x+1（ 2） (x+1)(x-1)=2x 四 .拓展思维： 12 / 18 1.已知方程 x2+kx-6=0的一个根式 2，求 k 及另一个根。 2.如果三角形的两边分别为 1 和 2，第三边式方程2x2-5x+3=0 的根，求这个三角形的周长。 五 .当堂检测： 1.方程 x(2x-1)=3(2x-1)的根是（） A.； c.和 3； D.和 -3. 2.三角形的两边长分别是 8 和 6，第三边是一元二次方程x2-16x+60=0 的一个实数根，求解这个三角形的面积 3.两数的和是 -12，积是 35，求这两个数。 4.公式法解方程：（ 1） 2x2+7x=4（ 2） (x-2)(3x-5)=1 用因式分解法解一元二次方程 学习目标： 1.知道什么是因式分解法。 2.学会用因式分解法解特殊的一元二次方程。 3.通过因式分解法解一元二次方程，体会数学中的转化思想。 学习过程： 一 .拓通准备： 1. 因 式 分 解 法 ：_,_._,_. 13 / 18 2.把下列各式因式分解 （ 1） 4x2-x（ 2） 9x2-4 (3)x2-4x+4(4)x2-5x+6 二 .探求新知： 自学课本 95页内容，归纳出： 1.什么是因式分解法： _. 2. 因 式 分 解 法 解 一 元 二 次 方 程 的 一 般 步 骤 ：_. 三 .自我尝试： 直接写出下列方程的两个根： （ 1） x(x-1)=0（ 2） (y-2)(y+5)=0（ 3） t2=2t (3)(x+1)(3x-2)=0(4)(x-)(5x+)=0 四 .典型例题 例 1：用因式分解法解下列方程：（ 1） 15x2=6x=0（ 2） 4x2-9=0 对应练习：解方程（ 1） 16x2+10x=0（ 2） (y-3)2=1 例 2：解方程 （ 1） (2x-1)2=(x-3)2（ 2） x2-4x+4=0 对应练习：用因式分解法解方程： 14 / 18 （ 1 ） x-2-x(x-2)=0 （ 2 ）(x+1)2-25=0(3)x2-5x+6=0(4)(2x+1)2-6(2x+1)+8=0 五 .当堂检测： 1.（ x+a） (x+b)=0 与方程 x2-x-30=0 同解，则 a+b 等于（） A:1B:-1c:11D:-11 2.用因式分解法解方程： x(x+3)=x+3x2=8x2x(2x+5)=(x -1)(2x+5) 一元二次方程的应用（ 1） 学习目标： 1.能根据题意找出正确的等量关系 . 2.能正确的列出一元二次方程解决实际问题 . 学习过程： 前面我们学习过了一元一次方程、分式方程，并能用它们来解决现实生活与生产中的许多问题，同样，我们也可以用一元二次方程来解决一些问题。 想一想，列方程解应用题的关键是什么？ 一 .自主学习 例 1.如图，有一块长 40cm、宽 30cm 的矩形铁片，在它的四角各截去一个全等的小正方形，然后拼成一个无盖的长方体盒子 .如果这个盒子的底面积等于原来矩形铁片面积的一半， 那么盒子的高是多少？ 15 / 18 分析：这个问题中的等量关系是： 解： 例 2.如图， mN是一面长 10m 的墙，要用长 24m 的篱笆，围成一个一面是墙、中间隔着一道篱笆的矩形花圃 ABcD.已知花圃的设计面积为 45平方米，花圃的宽度应当是多少？ 解：设矩形花圃 ABcD的宽为 x（ m），那么长 _m. 根 据 问 题 中 给 出 的 等 量 关 系 ， 得 到 方 程_. 解这个方程，得 ， 根据题意，舍去 _. 所以， 花圃的宽是 _m. 二 .对应练习 1.从一块正方形木板上锯掉 2cm宽的矩形木条，剩余矩形木板的面积是 48.求原正方形木板的面积 . 2.有一块矩形的草坪，长比宽多 4m.草坪四周有一条宽2m的小路环绕，已知小路的面积与草坪的面积相等地，求草坪的长和宽 . 三 .当堂检测 1.两个数的和是 20，积是 51，求这两个数 . 16 / 18 2.如图，道路 AB与 Bc分别是东西方向和南北方向， AB 1000m.某日晨练，小莹从点 A 出发，以每分钟 150m 的速度向东跑；同时小亮从点 B 出发， 以每分钟 200m的速度向北跑，二人出发后经过几分钟， 他们之间的直线距离仍然是 1000？ 一元二次方程的应用（ 2） 学习目标 1.会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题 2.通过列方程解应用问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力 学习过程 一 .自主学习 例 1.某工厂 2002 年的年产值为 500 万元， XX 年的产值为605万元，求 2002 XX年该 厂年产值的增长率 . 提示