江苏省海安县2018届高三数学上学期第一次学业质量测试试题（含解析）.doc

江苏省海安县2018届高三上学期第一次学业质量测试数学试题一、填空题：1. 已知集合，则_.【答案】【解析】由交集的定义，应填答案。2. 设复数满足，其中为虚数单位，则的模为_.【答案】【解析】试题分析：考点：复数的模【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3. 已知一个边长为2的正方形及其外接圆.现随机地向圆内丢一粒豆子，则豆子落入正方形内的概率为_.【答案】2【解析】由题意正方形外接圆的半径是r=2，其面积D=2，正方形的面积是d=22=4故由古典概型的计算公式可得P=dD=2，应填答案2。4. 某校高一年级共有800名学生，根据他们参加某项体育测试的成绩只做了如图所示的频率分布直方图，则成绩不低于80分的学生人数为_.【答案】240【解析】由题设中提供的频率分布直方图可以看出：不低于80分的学生人数为m=(0.02+0.01)10800=240，应填答案240。5. 如图，是一个算法的流程图，则输出的b的值为_.【答案】16【解析】由题意当a=1,b=1时，a3,b=21=2,a=1+1=2，由于a3,b=22=4,a=2+1=3，运算程序继续；a3,b=24=16,a=3+1=4，此时a=43，运算程序结束，输出b=16，应填答案16。6. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程为y=3x，则该双曲线的离心率为_.【答案】2【解析】由题意ba=3b2=3a2，所以c2=a2+b2=4a2e=ca=2，应填答案2。7. 已知正三棱锥的体积为363cm3，高为4cm，则底面边长为_cm.【答案】63【解析】设正三棱锥的底面边长为a，则其面积为S=34a2，由题意1334a24=363，解之得a=63，应填答案63。8. 已知cos=35，(0,2)，则sin(+3)的值为_.【答案】4+3310【解析】因为cos=35，(0,2)，所以sin=1cos2=45，则sin(+3)=12sin+32cos=425+3325=4+3310，应填答案4+3310。9. 关于x的不等式x+ax+b0(a,bR)的解集x|3x4，则a+b的值为_.【答案】5【解析】由题意可得3+a3+b=04+a4+b=0，解之得a=12b=7a+b=5，应填答案5。10. 已知数列an是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，若a1+a4+a7=0，则S6a5的值为_.【答案】3【解析】由题意3a1+9d=0a1=3d，则S6S5=6a1+15da1+4d=21d7d=3，应填答案3。11. 已知函数f(x)=2x,xmx+1,xm的值域为R，则实数m的取值范围是_.【答案】0,1【解析】由题2x=x+1x=0,x=1，所以结合图像可知：当0x1时，函数f(x)=2x,xmx+1,xm的图像连续且f(x)能取遍所有实数，即函数f(x)=2x,xmx+1,x0)截得的弦长相等，则直线l1的斜率的取值集合为_.【答案】57,73【解析】设直线，即，圆心到直线的距离；由题设直线，即，圆心到直线的距离，由于圆的半径相等，所以，即，解之得，应填答案。.13. 在ABC中，已知AB=2,tanB=3tanA，若ABC的面积S=CACB，则S的值为_.【答案】32【解析】由题意12absinC=abcosCsinC=2cosC，即tanC=2，也即tan(A+B)=24tanA=2+6tan2A，解之得tanA=1,tanA=13（舍去），所以tanB=3，设ABC的AB边上的高为h，则h=ADtanA=BDtanBAD=3BD，所以BD=142=12h=32，所以ABC的面积为S=12232=32，应填答案32。点睛：解答本题的关键是依据题设条件构建方程12absinC=abcosCsinC=2cosC，即tanC=2，进而借助三角形的三内角之和为得到tanA=1,tanB=3，从而算得ABC的AB边上的高h=32，求出ABC的面积为S=12232=32。14. 已知x0,y0，且x+y=1，则1x2+8y2的最小值为_.【答案】27【解析】由题意y=1x代入F(x)=1x2+8y2可得F(x)=1x2+8(1x)2=x2+8(1x)2，令F(x)=2x316(1x)3(1)=2x38(1x)3=0，解之得：x=23，所以当x=23时，Fmin(x)=1(23)2+8(123)2=27，应填答案27。点睛：解答本题的思路是运用消元思想，将二元函数转化为一元函数，进而借助导数知识求出导函数的零点（极值点）也就是最值点，然后将其代入函数的解析式中得到其最小值。求解本题时容易受思维定式的影响，从基本不等式的求最值的方向出发，从而陷入困境和误区。二、解答题15. 已知向量a=(cosx,sinx)，b=(3,3)，x0,.（1）若a/b，求x的值；（2）记f(x)=ab，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值【答案】(1) x=56;(2) 当x=0时，f(x)取到最大值3；当x=56时，f(x)取到最小值23.【解析】试题分析：（1）依据题设条件a/b建立方程-3cosx=3sinx分析求解；（2）先运用向量的坐标形式的数量积公式建立函数fx=ab=3cosx-3sinx=23cos(x+6)，然后借助余弦函数的图像和性质进行探求：解：（1）因为a=(cosx,sinx)，b=(3,-3)，a/b，所以-3cosx=3sinx.若cosx=0，则sinx=0，与sin2x+cos2x=1矛盾，故cosx0.于是tanx=-33.又x0,，所以x=56.（2）f(x)=ab=(cosx,sinx)(3,-3)=3cosx-3sinx=23cos(x+6).因为x0,，所以x+66,76，从而-1cos(x+6)32.于是当x+6=6，即x=0时，f(x)取到最大值3；当x+6=，即x=56时，f(x)取到最小值-23.16. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，点D,E分别在棱BC,B1C1上（均异于端点），且ADC1D，A1EC1D（1）求证：平面ADC1平面BCC1B1；（2）求证：A1E/平面ADC1.【答案】(1)见解析过程;(2)见解析过程.【解析】试题分析：（1）先运用线面垂直的判定定理证明AD平面BCC1B1，再借助面面垂直的判定定理进行推证；（2）先探寻求证面ADC1外的线A1E与面内的线AD平行，再运用线面平行的判定定理进行推证：证明：（1）直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1平面ABC，因为AD平面ABC，所以CC1AD.又ADC1D，CC1C1D=C1，CC1,C1D1平面BCC1B1，所以AD平面BCC1B1又AD平面ADC1，所以平面ADC1平面BCC1B1.（2）因为A1EC1D，由（1）同理可得A1E平面BCC1B1.又由（1）知，AD平面BCC1B1，所以A1E/AD.又A1E平面ADC1，AD平面ADC1，所以A1E/平面ADC1.17. 如图，已知AB是一幢6层的写字楼，每层高均为3m，在AB正前方36m处有一建筑物CD，从楼顶A处测得建筑物CD的张角为450.（1）求建筑物CD的高度；（2）一摄影爱好者欲在写字楼AB的某层拍摄建筑物CD.已知从摄影位置看景物所成张角最大时，拍摄效果最佳.问：该摄影爱好者在第几层拍摄可取得最佳效果（不计人的高度）？【答案】(1)30米;(2) 当n=6时，张角CMD最大，拍摄效果最佳.【解析】试题分析：（1）先作于，构造直角三角形，然后运用两角差的正切公式求出，再求出；（2）先依据题设求出，然后建立目标函数，通过求函数的最值使得问题获解：解：（1）如图，作AECD于E，则AE/BD.所以DE=AB=18，AE=BD=36.因为tanDAE=1836=12，所以tanCAE=tan(45-DAE)=1-tanDAE1+tanDAE=13.所以CE=36tanCAE=12.答：建筑物的高度为30米.（2）设在第n层M处拍摄效果最佳，则摄影高度为3(n-1)米（如图）（1n6,nN）.作MNCD于N，则DN=3(n-1)，CN=30-3(n-1)=33-3n.tanCMN=CNMN=11-n12，tanDMN=DNMN=n-112，tanCMD=tan(CMN+DMN)=tanCMN+tanDMN1-tanCMNtanDMN=11-n12+n-1121-11-n12n-112=120n2-12n+155=120(n-6)2+119120119（当n=6时取等号）.因为函数y=tanx在(0,2)上是单调增函数，所以当n=6时，张角CMD最大，拍摄效果最佳.答：该人在6层拍摄时效果最好.18. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C: x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点为A(5,0)，离心率为255.（1）求椭圆C的方程；（2）如图，PQ是圆O：x2+y2=a2的直径（点P在x轴上方），AP交椭圆C于点M，AQ=2，设AMQ与APQ的面积分别为S1,S2，求S1:S2.【答案】(1) x25+y2=1;(2) 59.【解析】试题分析：（1）依据题设及椭圆基本量a，b，c之间的关系，求出a，b的值；（2）借助（1）的结论及已知条件建立直线AP的方程，然后与椭圆方程联立方程组求出交点坐标，最后再探求S1:S2的值：解:(1)由条件，a=5，ca=255，所以c=2，从而b=a2-c2=1，所以椭圆C的方程是x25+y2=1.(2)由(1)知，圆O的方程为x2+y2=5，因为AQ=2，设OAQ=，则cos=55，所以tan=2，从而直线AQ的斜率为-2.因为PQ是圆O的直径，所以APAQ，从而直线AP的斜率为12，所以直线AP的方程为y=12(x+5).联立方程组y=12(x+5)x25+y2=1得9x2+105x+5=0，解得x1=-5，x2=-59，即xM=-59.联立方程组y=12(x+5)x2+y2=5得5x2+25x-15=0，解得x3=-5，x4=355，即xP=355.所以S1S2=AMAP=xM-xAxP-xA=-59-(-5)354-(-5)=59.19. 已知函数f(x)=(x2+ax+a)ex，其中aR，e是自然对数的底数.（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程；（2）求函数f(x)的单调减区间；（3）若f(x)4在4,0上恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1) 2xy+1=0;(2) 当a=2时，f(x)无单调减区间；当a2时，f(x)的单调减区间是(a,2);(3) 44e2,4.【解析】试题分析：（1）先对函数解析式进行求导，再借助导数的几何意义求出切线的斜率，运用点斜式求出切线方程；（2）先对函数的解析式进行求导，然后借助导函数的值的符号与函数单调性之间的关系进行分类分析探求；（3）先不等式f(x)4进行等价转化，然后运用导数知识及分类整合的数学思想探求函数的极值与最值，进而分析推证不等式的成立求出参数的取值范围。解：(1)因为f(x)=(x2+x+1)ex，所以f(0)=1.因为f(x)=(x2+3x+2)ex，所以f(0)=2.所以切线方程为2x-y+1=0.(2) 因为f(x)=x2+(a+2)x+2aex=(x+a)(x+2)ex，当a=2时，f(x)=(x+2)2ex0，所以f(x)无单调减区间.当-a-2即a2时，列表如下：所以f(x)的单调减区间是(-2,-a).当-a2时，f(x)=(x+2)(x+a)ex，列表如下：所以f(x)的单调减区间是(-a,-2).综上，当a=2时，f(x)无单调减区间；当a2时，f(x)的单调减区间是(-a,-2).(3)f(x)=x2+(a+2)x+2aex=(x+a)(x+2)ex.当a=2时，由(2)可得，f(x)为R上单调增函数，所以f(x)在区间-4,0上的最大值f(0)=24，符合题意.当a2时，由(2)可得，要使f(x)4在区间-4,0上恒成立，只需f(0)=a4，f(-2)=(4-a)e-24，解得4-4e2a2.当2a4时，可得f(-a)=aea4，f(0)=a4.设g(a)=aea，则g(a)=1-aea，列表如下：所以g(a)max=g(1)=1e4，可得aea4恒成立，所以24时，可得f(0)=a4，无解.综上，a的取值范围是4-4e2,4.20. 设数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an2,nN*.（1）求证：数列an为等比数列； （2）设数列an2的前n项和为Tn，求证：S2nTn为定值；（3）判断数列3nan中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论. 【答案】(1) an=2n;(2) S2nTn=32;(3) 数列3nan中不存在三项成等差数列.【解析】试题分析：（1）依据题设探求出an=2an-1，再运用等比数列的定义进行推证；（2）借助等比数列的前项和公式分别求出S2n，Tn，然后再求其比值；（3）假设存在满足题设条件的三项，然后运用假设进行分析推证，找出矛盾，从而断定不存在假设的三项：解：（1）当n=1时，S1=2a1-2,，解得a1=2.当n2时，an=Sn-Sn-1=(2an-2)-(2an-1-2)=2an-2an-1，即an=2an-1.因为a10，所以anan-1=2，从而数列an是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an=2n.（2）因为an2=(2n)2=4n，所以an+12an2=4，故数列an2是以4为首项，4为公比的等比数列，从而S2n=2(1-22n)1-2=2(4n-1)，Tn=4(1-4n)1-4=43(4n-1)，所以S2nTn=32.（3）假设3n-an中存在第m,n,k(mnk)项成等差数列，则2(3n-an)=3m-am+3k-ak，即2(3n-an)=3m-2m+3k-2k.因为mnk，且m,n,kN*，所以n+1k.因为2(3n-an)=3m-2m+3k-2k3m-2m+3n+1-2n+1，所以-3n3m-2m，故矛盾，所以数列3n-an中不存在三项成等差数列.点睛：数列是江苏高考的特色问题，这类问题的设置旨在考查等比数列、等差数列等特殊数列的通项公式前项和公式等基础知识、基本公式与基本概念，同时考查运算求解能力和推理论证能力。21. 【选做题】A.选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD是圆的内接四边形，BC=BD，BA的延长线交CD的延长线于点E.求证：AE平分DAF.B.选修4-2：矩阵与变换已知变换T：xyxy=x+2yy，试写出变换T对应的矩阵A，并求出其逆矩阵A1.C.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知直线的参数方程为x=32+ty=3t（为参数），曲线C的参数方程为x=23m2y=2m（m为参数）.若直线与曲线C相交于A,B两点，求线段AB的长.D.选修4-5：不等式选讲设a1,a2,a3均为正数，且a1+a2+a3=1，求证：1a1+1a2+1a39.【答案】A.见解析【解析】试题分析：借助题设条件设法证明EAD=EAF：证明：因为四边形ABCD是圆的内接四边形，所以EAD=BCD.因为BC=BD，所以BCD=BDC.又BAC=EAF，BAC=BDC，所以EAD=EAF，即AE平分DAF.B.选修4-2：矩阵与变换已知变换T：xyxy=x+2yy，试写出变换T对应的矩阵A，并求出其逆矩阵A-1.【答案】A-1=1-201试题分析：先求矩阵A=1201，再运用待定系数法探求逆矩阵：解：由xyxy=1201xy，得A=1201.设A-1=abcd，则AA-1=E，即1201abcd=a+2cb+2dcd=1001，所以a+2c=1b+2d=0c=0d=1，解得a=1b=-2c=0d=1，所以A-1=1-201.C.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知直线的参数方程为x=32+ty=3t（为参数），曲线C的参数方程为x=23m2y=2m（m为参数）.若直线与曲线C相交于A,B两点，求线段AB的长.【答案】8试题分析：先消去参数求出直线x=32+ty=3t与抛物线x=23m2y=2m的普通方程，再将直线的方程y=3(x-32)与抛物线方程y2=6x联立求出交点坐标，进而求出弦长：解：由x=32+ty=3t消去参数，得y=3(x-32)，由x=23m2y=2m消去参数m，得y2=6x.联立方程组y=3(x-32)y2=6x，消x得y2-23y-9=0，解得y1=33，y2=-3.所以A(92,33)，B(12,-3)，所以AB=(92-12)2+(33+3)2=8.D.选修4-5：不等式选讲设a1,a2,a3均为正数，且a1+a2+a3=1，求证：1a1+1a2+1a39.【答案】见解析试题分析：先将式子1a1+1a2+1a3进行巧妙变形1a1+1a2+1a3=(a1+a2+a3)(1a1+1a2+1a3)，再借助基本不等式进行推证：证明：因为a1,a2,a3均为正数，且a1+a2+a3=1，所以1a1+1a2+1a3=(a1+a2+a3)(1a1+1a2+1a3)3(a1a2a3)133(1a11a21a3)13=9，（当且仅当a1=a2=a3=13时等号成立）所以1a1+1a2+1a39.【必做题】22. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=3.（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角BA1DD1所成角的正弦值.【答案】(1) 55;(2) 277.【解析】试题分析：（1）建立空间直角坐标系，借助空间向量的坐标形式的数量积公式进行求解；（2）先求出两个平面的法向量，然后再运用空间向量的坐标形式的数量积公式进行求解：解：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，以AB,AD,AA1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系O-xyz，(1)因为AB=AD=1，AA1=3，所以A1B=(1,0,-3)，AC1=(1,1,3)，所以A1BAC1=-2，|A1B|=2，|AC1|=5.从而cos=A1BAC1|A1B|AC1|=-225=-55，所以异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为55.（2）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1DD1的一个法向量m=AB=(1,0,0).设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z)，则nA1B=0nBD=0，即