中考数学一轮复习第六章空间与图形6.3解直角三角形（试卷部分）课件.pptx

6.3解直角三角形,中考数学(江苏专用),考点1锐角三角函数,A组2014-2018年江苏中考题组,五年中考,1.(2018无锡,9,3分)如图,已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点,正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上,若AB=3,BC=4,则tanAFE的值()A.等于B.等于C.等于D.随点E位置的变化而变化,答案AEHCD,AEHACD,=.设EH=3x,AH=4x,HG=GF=3x,又EFAD,AFE=FAG,tanAFE=tanFAG=.故选A.,思路分析根据题意推知EHCD,由该平行线的性质推知AEHACD,结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答.,解题反思考查了正方形的性质,矩形的性质以及解直角三角形,此题将求AFE的正切值转化为求FAG的正切值来解答,体现转化的思想.,2.(2016无锡,3,3分)sin30的值为()A.B.C.D.,答案Asin30=,故选A.,3.(2017无锡,18,2分)在如图的正方形方格纸中,每个小的四边形都是相同的正方形,A,B,C,D都在格点处,AB与CD相交于O,则tanBOD的值等于.,答案3,解析如图所示,平移CD到CD,交AB于O,思路分析平移CD,使BOD的顶点位于格点上,从而构造直角三角形求解.,解题关键本题考查解直角三角形,解答本题的关键是作出合适的辅助线,构造直角三角形,利用勾股定理和等积法求出正切值,从而解决问题.,4.(2016南通,14,3分)如图,在RtABC中,CD是斜边AB上的中线,已知CD=2,AC=3,则cosA=.,答案,解析CD为斜边AB上的中线,AB=2CD=4,在RtABC中,cosA=.,考点2解直角三角形,1.(2016苏州,8,3分)如图,长4m的楼梯AB的倾斜角ABD为60,为了改善楼梯的安全性能,准备重新建造楼梯,使其倾斜角ACD为45,则调整后的楼梯AC的长为()A.2mB.2mC.(2-2)mD.(2-2)m,答案B因为ADCD,所以D=90,在RtABD中,AD=ABsin60=4=2m,在RtACD中,AC=2m,故选B.,2.(2015苏州,10,3分)如图,在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站,AB=2km,从A测得船C在北偏东45的方向,从B测得船C在北偏东22.5的方向,则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为()A.4kmB.(2+)kmC.2kmD.(4-)km,答案B如图,在RtABE中,AEB=45,AB=EB=2km,AE=2km,EBC=22.5,ECB=AEB-EBC=22.5,EBC=ECB,EB=EC=2km,AC=AE+EC=(2+2)km.在RtADC中,CAD=45,AD=DC=(2+)km.即点C到l的距离为(2+)km,故选B.,3.(2014苏州,9,3分)如图,港口A在观测站O的正东方向,OA=4km.某船从港口A出发,沿北偏东15方向航行一段距离后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60的方向,则该船航行的距离(即AB的长)为()A.4kmB.2kmC.2kmD.(+1)km,答案C过A作OB边的垂线AD,垂足为D,易知BOA=30,BAD=45,在RtOAD中,AD=OAsinDOA=4sin30=2km,在RtABD中,AB=2km,故选C.,4.(2014连云港,6,3分)如图,若ABC和DEF的面积分别为S1、S2,则()A.S1=S2B.S1=S2C.S1=S2D.S1=S2,答案C过点A作AMBC于点M,过点D作DNEF交FE的延长线于点N,S1=BCAM=85sin40,S2=EFDN=58sin40,所以S1=S2,故选C.,5.(2017苏州,17,3分)如图,在一笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头,观光岛屿C在码头A北偏东60的方向,在码头B北偏西45的方向,AC=4km.游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码头B,设开往码头A、B的游船速度分别为v1、v2,若回到A、B所用时间相等,则=(结果保留根号).,答案,解析过点C作CDAB于D,在RtACD中,CD=AC=2km,在RtCDB中,CB=CD=2km,因为回到A、B所用时间相等,所以=.,6.(2018南通,23,8分)如图,小明一家自驾到古镇C游玩,到达A地后,导航显示车辆应沿北偏西60方向行驶12千米至B地,再沿北偏东45方向行驶一段距离到达古镇C,小明发现古镇C恰好在A地的正北方向,求B,C两地的距离.(结果保留根号),解析作BHAC于H,由题意得,CBH=45,BAH=60,在RtBAH中,BH=ABsinBAH=6,在RtBCH中,CBH=45,BC=6(千米),答:B,C两地的距离为6千米.,解题关键本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题,掌握锐角三角函数的定义、正确标出方向角是解题关键.,解题关键本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题,勾股定理,将实际问题转化为数学问题,构造直角三角形、运用勾股定理是解题的关键.,8.(2017连云港,25,10分)如图,湿地景区岸边有三个观景台A、B、C,已知AB=1400米,AC=1000米,B点位于A点的南偏西60.7方向,C点位于A点的南偏东66.1方向.(1)求ABC的面积;(2)景区规划在线段BC的中点D处修建一个湖心亭,并修建观景栈道AD,试求A、D间的距离.(结果精确到0.1米)(参考数据:sin53.20.80,cos53.20.60,sin60.70.87,cos60.70.49,sin66.10.91,cos66.10.41,1.414),解析(1)作CEBA,交BA延长线于E.在RtAEC中,CAE=180-60.7-66.1=53.2,CE=ACsin53.210000.8=800(米).SABC=ABCE=1400800=560000(平方米).(2)连接AD,作DFAB于F,则DFCE.BD=CD,DFCE,BF=EF,DF=CE=400米.AE=ACcos53.210000.6=600(米),BE=AB+AE=2000米,AF=EB-AE=400米,在RtADF中,AD=400565.6(米).,解题关键本题考查解直角三角形、方向角、勾股定理等知识,解题的关键是合理添加辅助线,构造直角三角形解决问题,属于常考题型.,9.(2016镇江,23,6分)公交总站(A点)与B、C两个站点的位置如图所示,已知AC=6km,B=30,C=15.求B站点离公交总站的距离即AB的长(结果保留根号).,解析过点C作CDAB,交BA的延长线于点D,(2分)B=30,ACB=15,CAD=45.(3分)在RtACD中,ADC=90,CAD=45,AC=6,CD=AD=3.(4分)在RtBCD中,CDB=90,B=30,CD=3,BD=3.AB=BD-AD=3-3,AB的长为(3-3)km.(6分),10.(2015镇江,24,6分)某海域有A、B两个港口,B港口在A港口北偏西30的方向上,距A港口60海里.有一艘船从A港口出发,沿东北方向行驶一段距离后,到达位于B港口南偏东75方向的C处.求该船与B港口之间的距离即CB的长(结果保留根号).,11.(2014镇江,24,6分)如图,小明从点A处出发,沿着坡角为的斜坡向上走了0.65千米到达点B,sin=,然后又沿着坡度为i=14的斜坡向上走了1千米到达点C.问小明从A点到C点上升的高度CD是多少千米(结果保留根号)?,解析作BEAD于E,BFCD于F,则sin=,BE=AB=0.65=.(2分)i=,(3分)设CF=x,则BF=4x,BC=x=1,CF=x=.(5分)BEAD,BFCD,CDAD,四边形BEDF是矩形,BE=DF,CD=CF+DF=CF+BE=+.答:小明从A点到C点上升的高度CD是千米.(6分),B组20142018年全国中考题组,考点1锐角三角函数,1.(2018云南,12,4分)在RtABC中,C=90,AC=1,BC=3,则A的正切值为()A.3B.C.D.,答案AAC=1,BC=3,C=90,tanA=3.,2.(2017甘肃兰州,3,4分)如图,一个斜坡长130m,坡顶离水平地面的距离为50m,那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于()A.B.C.D.,答案C在直角三角形中,根据勾股定理可知水平的直角边长为120m,故这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于=,故选C.,思路分析先利用勾股定理求得第三边的长,再利用正切的定义求正切值.,3.(2016天津,2,3分)sin60的值等于()A.B.C.D.,答案Csin60=.故选C.,4.(2015天津,2,3分)cos45的值等于()A.B.C.D.,答案Bcos45=.,5.(2015内蒙古包头,4,3分)在RtABC中,C=90,若斜边AB是直角边BC的3倍,则tanB的值是()A.B.3C.D.2,答案D在RtABC中,设BC=x(x0),则AB=3x,AC=2x.则tanB=2.故选D.,6.(2015内蒙古包头,11,3分)已知下列命题:在RtABC中,C=90,若AB,则sinAsinB;四条线段a,b,c,d中,若=,则ad=bc;若ab,则a(m2+1)b(m2+1);若|-x|=-x,则x0.其中原命题与逆命题均为真命题的是()A.B.C.D.,答案A由|-x|=-x,可知-x0,所以x0,所以命题错误.命题及其逆命题均正确,故选A.,7.(2015黑龙江哈尔滨,6,3分)如图,某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C,此时飞行高度AC=1200m,从飞机上看地平面指挥台B的俯角=30,则飞机所在A处与指挥台B的距离为()A.1200mB.1200mC.1200mD.2400m,答案D由B=30,sinB=,得AB=12002=2400,所以飞机所在A处与指挥台B的距离为2400m.故选D.,8.(2017四川绵阳,18,3分)如图,过锐角ABC的顶点A作DEBC,AB恰好平分DAC,AF平分EAC交BC的延长线于点F,在AF上取点M,使得AM=AF,连接CM并延长交直线DE于点H.若AC=2,AMH的面积是,则的值是.,答案8-,解析过H作HGAC于点G,如图.AF平分EAC,EAF=CAF.DEBF,EAF=AFC,CAF=AFC,CF=CA=2.AM=AF,AMMF=12.DEBF,=,AH=1,SAHC=3SAHM=,2GH=,GH=,在RtAHG中,AG=,GC=AC-AG=2-=,=8-.,解题思路过H作HGAC于点G,构造直角三角形,再分别求出相应的边即可.,考点2解直角三角形,1.(2016重庆,11,4分)某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动.如图,在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36.然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处,然后再沿水平方向行走6米至大树底端D处,斜面AB的坡度(或坡比)i=12.4,那么大树CD的高度约为(参考数据:sin360.59,cos360.81,tan360.73)()A.8.1米B.17.2米C.19.7米D.25.5米,2.(2014广西南宁,11,3分)如图,在ABCD中,点E是AD的中点,延长BC到点F,使CFBC=12,连接DF,EC.若AB=5,AD=8,sinB=,则DF的长等于()A.B.C.D.2,答案CCFBC=12,AD=BC=8,BF=8+4=12.过D作DGBF,交BF于点G.ABCD,B=DCF,sinB=sinDCF=.在RtDCG中,CD=5,DG=4,CG=3,FG=BF-BG=12-(8+3)=1,DF=.,评析本题主要考查了平行四边形、勾股定理、锐角三角函数等相关知识的综合应用.,3.(2016宁夏,14,3分)如图,RtAOB中,AOB=90,OA在x轴上,OB在y轴上,点A,B的坐标分别为(,0),(0,1).把RtAOB沿着AB对折得到AOB,则点O的坐标为.,答案,解析如图,作OCOA,垂足为C,在RtAOB中,OA=,OB=1,AOB=90,tanBAO=,BAO=30,由题意可得AO=AO=,OAB=OAB=30,OAO=60.在RtOAC中,AC=AOcos60=,OC=AOsin60=.OC=AO-AC=.O.,4.(2015辽宁沈阳,16,4分)如图,正方形ABCD绕点B逆时针旋转30后得到正方形BEFG,EF与AD相交于点H,延长DA交GF于点K,若正方形ABCD边长为,则AK=.,答案2-3,解析如图,延长BA交GF于点N.由旋转的性质得GBN=EBC=30,GB=AB=.在RtGBN中,GB=,GBN=30,BN=2,AN=BN-AB=2-.NAK=G=90,KNA+NKA=90,KNA+GBN=90,NKA=GBN=30(同角的余角相等).在RtKAN中,AN=2-,NKA=30,AK=2-3.,评析本题考查正方形的性质、旋转的性质和解直角三角形的有关知识,综合性较强.,5.(2014浙江宁波,17,4分)为解决停车难的问题,在如图一段长56米的路段开辟停车位,每个车位是长5米宽2.2米的矩形,矩形的边与路的边缘成45角,那么这个路段最多可以划出个这样的停车位.(1.4),答案17,解析如图,BC=2.2cos45=2.21.54米,CE=5sin45=53.5米,BE=BC+CE=5.04米,EF=2.2sin45=2.23.14米,(56-5.04)3.14+1=50.963.14+116+1=17(个).故这个路段最多可以划出17个这样的停车位.,评析本题考查了解直角三角形的应用,主要是三角函数及其运算,关键是把实际问题转化为数学问题加以计算.,6.(2018天津,22,10分)如图,甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m,从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48,测得底部C处的俯角为58,求甲、乙建筑物的高度AB和DC(结果取整数).参考数据:tan481.11,tan581.60.,解析如图,过点D作DEAB,垂足为E.则AED=BED=90.由题意可知,BC=78,ADE=48,ACB=58,ABC=90,DCB=90.可得四边形BCDE为矩形.ED=BC=78,DC=EB.在RtABC中,tanACB=,AB=BCtan58781.60125.在RtAED中,tanADE=,AE=EDtan48.DC=EB=AB-AE=BCtan58-EDtan48781.60-781.1138.答:甲建筑物的高度AB约为125m,乙建筑物的高度DC约为38m.,思路分析过点D作DEAB,构造直角ADE和矩形BCDE,通过解直角ABC和直角ADE可求出答案.,方法总结解直角三角形的应用,一般根据题意抽象出几何图形,结合所给的线段或角,借助角、边关系,三角函数的定义解题,若几何图形中无直角三角形,则需要根据条件构造直角三角形,再解直角三角形,求出实际问题的答案.,7.(2017河南,19,9分)如图所示,我国两艘海监船A,B在南海海域巡航,某一时刻,两船同时收到指令,立即前往救援遇险抛锚的渔船C.此时,B船在A船的正南方向5海里处,A船测得渔船C在其南偏东45方向,B船测得渔船C在其南偏东53方向.已知A船的航速为30海里/小时,B船的航速为25海里/小时,问C船至少要等待多长时间才能得到救援?参考数据:sin53,cos53,tan53,1.41,解析过点C作CDAB交AB延长线于点D,则CDA=90.(1分)已知CAD=45,设CD=x海里,则AD=CD=x海里.BD=AD-AB=(x-5)海里.(3分)在RtBDC中,CD=BDtan53,即x=(x-5)tan53,x=20.(6分)BC=20=25海里.B船到达C船处约需时间:2525=1(小时).(7分)在RtADC中,AC=x1.4120=28.2海里,A船到达C船处约需时间:28.230=0.94(小时).(8分)而0.941,所以C船至少要等待0.94小时才能得到救援.(9分),解题技巧本题是解三角形两种典型问题中的一种.以下介绍两种典型问题:(1)如图,当BC=a时,设AD=x,则CD=,BD=.CD+BD=a,+=a,x=.(2)如图,当BC=a时,设AD=x,则BD=,CD=,CD-BD=a,-=a,x=.,8.(2016宁夏,21,6分)在等边ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,若CD=2,过点D作DEAB,过点E作EFDE,交BC的延长线于点F.求EF的长.,解析ABC为等边三角形,A=B=ACB=60,DEAB,EDF=B=60,DEC=A=60,CDE为等边三角形,DE=CD=2.(4分)EFDE,DEF=90,在RtDEF中,EF=DEtan60=2.(6分),9.(2014河南,19,9分)在中俄“海上联合2014”反潜演习中,我军舰A测得潜艇C的俯角为30,位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68.试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度.(结果保留整数.参考数据:sin680.9,cos680.4,tan682.5,1.7),解析过点C作CDAB,交BA的延长线于点D,则AD即为潜艇C的下潜深度,根据题意得ACD=30,BCD=68.设AD=x米,则BD=BA+AD=(1000+x)米.在RtACD中,CD=x米.(4分)在RtBCD中,BD=CDtan68=xtan68(米).1000+x=xtan68.(7分)x=308.潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米.(9分),10.(2014黑龙江哈尔滨,24,6分)如图,AB、CD为两个建筑物,建筑物AB的高度为60米,从建筑物AB的顶部A点测得建筑物CD的顶部C点的俯角EAC为30,测得建筑物CD的底部D点的俯角EAD为45.(1)求两建筑物底部之间水平距离BD的长度;(2)求建筑物CD的高度(结果保留根号).,C组教师专用题组,考点1锐角三角形,1.(2018贵州贵阳,7,3分)如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长都为1,则tanBAC的值为()A.B.1C.D.,答案B如图,连接BC.在ABD和BCE中,ABDBCE(SAS),AB=BC,ABD=BCE.BCE+CBE=90,ABD+CBE=90,即ABC=90,tanBAC=1,故选B.,2.(2014贵州贵阳,6,3分)在RtABC中,C=90,AC=12,BC=5,则sinA的值为()A.B.C.D.,答案D在RtABC中,C=90,AC=12,BC=5,所以AB=13,所以sinA=,故选D.,3.(2014广东广州,3,3分)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,ABC的三个顶点均在格点上,则tanA=()A.B.C.D.,答案DAB=3,BC=4,ABC=90,tanA=.故选D.,4.(2014天津,2,3分)cos60的值等于()A.B.C.D.,答案A本题考查特殊角的三角函数值,60角的余弦值是,故选A.,考点2解直角三角形,1.(2015连云港,16,3分)如图,在ABC中,BAC=60,ABC=90,直线l1l2l3,l1与l2之间距离是1,l2与l3之间距离是2.且l1,l2,l3分别经过点A,B,C,则边AC的长为.,答案,解析过B作l1的垂线与l1和l3分别相交于D、E两点,得到RtABD与RtBCE,BD=1,BE=2,DE=3.易求得ABD=BCE,ADB=BEC=90,ABDBCE,=.在RtABC中,BAC=60,tan60=.=,AD=.在RtABD中,由勾股定理得AB=.AC=.,评析本题需要构造直角三角形,综合考查了学生对平行线的性质、平行线间的距离、勾股定理的应用的掌握程度,难度高,计算量大,逻辑思维要求高,属于较难题.,2.(2015江西南昌,12,3分)图1是小志同学书桌上的一个电子相框,将其侧面抽象为如图2所示的几何图形,已知AB=AC=15cm,BAC=40,则点A到BC的距离为cm(参考数据:sin200.342,cos200.940,sin400.643,cos400.766.结果精确到0.1cm,可用科学计算器).,答案14.1,解析过点A作ADBC于点D,因为AB=AC,BAC=40,所以DAC=BAC=20.在RtADC中,AD=ACcos20150.940=14.1cm.,3.(2018湖北黄冈,21,7分)如图,在大楼AB正前方有一斜坡CD,坡角DCE=30,楼高AB=60米,在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60,在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45,其中点A,C,E在同一直线上.(1)求坡底C点到大楼距离AC的值;(2)求斜坡CD的长度.,解析(1)在RtABC中,AB=60米,ACB=60,AC=20米.(2)过点D作DFAB于点F,则四边形AEDF为矩形,AF=DE,DF=AE.设CD=x米,在RtCDE中,DE=x米,CE=x米,在RtBDF中,BDF=45,BF=DF=AB-AF=米,DF=AE=AC+CE,20+x=60-x,解得x=80-120,即CD=(80-120)米.,4.(2016连云港,25,10分)如图,在ABC中,C=150,AC=4,tanB=.(1)求BC的长;(2)利用此图形求tan15的值.(精确到0.1,参考数据:1.4,1.7,2.2),5.(2016安徽,19,10分)如图,河的两岸l1与l2相互平行,A、B是l1上的两点,C、D是l2上的两点.某人在点A处测得CAB=90,DAB=30,再沿AB方向前进20米到达点E(点E在线段AB上),测得DEB=60,求C、D两点间的距离.,解析如图,过D作l1的垂线,垂足为F.DEB=60,DAB=30,ADE=DEB-DAB=30,ADE为等腰三角形,DE=AE=20(米).(3分)在RtDEF中,EF=DEcos60=20=10(米).(6分)DFAF,DFB=90,ACDF,已知l1l2,CDAF,四边形ACDF为矩形.CD=AF=AE+EF=30(米).答:C、D两点间的距离为30米.(10分),6.(2016陕西,20,7分)某市为了打造森林城市,树立城市新地标,实现绿色、共享发展理念,在城南建起了“望月阁”及环阁公园.小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度,来检验自己掌握知识和运用知识的能力.他们经过观察发现,观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得,因此经过研究需要两次测量.于是他们首先用平面镜进行测量,方法如下:如图,小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜,在镜面上做了一个标记,这个标记在直线BM上的对应位置为点C.镜子不动,小亮看着镜面上的标记,他来回走动,走到点D时,看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合.这时,测得小亮眼睛与地面的距离ED=1.5米,CD=2米;然后,在阳光下,他们用测影长的方法进行了第二次测量,方法如下:如图,小亮从D点沿DM方向走了16米,到达“望月阁”影子的末端F点处,此时,测得小亮的影长FH=2.5米,身高FG=1.65米.如图,已知:ABBM,EDBM,GFBM.其中,测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计.请你根据题中提供的相关信息,求出“望月阁”的高AB的长度.,解析由题意得ABC=EDC=GFH=90,ACB=ECD,AFB=GHF.ABCEDC,ABFGFH.(3分)=,=.即=,=,(5分)解得AB=99.所以“望月阁”的高度为99米.(7分),7.(2016天津,22,10分)小明上学途中要经过A,B两地,由于A,B两地之间有一片草坪,所以需要走路线AC,CB.如图,在ABC中,AB=63m,A=45,B=37,求AC,CB的长.(结果保留小数点后一位)参考数据:sin370.60,cos370.80,tan370.75,取1.414.,解析如图,过点C作CDAB,垂足为D.在RtACD中,tanA=,sinA=,A=45,AD=CD,AC=CD.在RtBCD中,tanB=,sinB=,B=37,BD=,CB=.AD+BD=AB,AB=63,CD+=63.解得CD=27.00.AC=1.41427.00=38.17838.2,CB=45.0.答:AC的长约等于38.2m,CB的长约等于45.0m.,8.(2015南京,23,8分)如图,轮船甲位于码头O的正西方向A处,轮船乙位于码头O的正北方向C处,测得CAO=45.轮船甲自西向东匀速行驶,同时轮船乙沿正北方向匀速行驶,它们的速度分别为45km/h和36km/h.经过0.1h,轮船甲行驶至B处,轮船乙行驶至D处,测得DBO=58.此时B处距离码头O有多远?(参考数据:sin580.85,cos580.53,tan581.60),解析设B处距离码头Oxkm.在RtCAO中,CAO=45,tanCAO=,CO=AOtanCAO=(450.1+x)tan45=4.5+x.(2分)在RtDBO中,DBO=58,tanDBO=,DO=BOtanDBO=xtan58.(4分)DC=DO-CO,360.1=xtan58-(4.5+x).x=13.5.因此,B处距离码头O大约13.5km.(8分),9.(2015内蒙古呼和浩特,19,6分)如图,热气球的探测器显示,从热气球A处看一栋高楼顶部B的仰角为30,看这栋高楼底部C的俯角为65,热气球与高楼的水平距离AD为120m.求这栋高楼的高度.(结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可),解析在RtABD中,tan30=,BD=ADtan30=120=40.(2分)在RtACD中,tan65=,CD=120tan65,(4分)BC=BD+CD=(40+120tan65)m.答:这栋高楼的高度为(40+120tan65)m.(6分),10.(2015贵州遵义,21,8分)如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4米,AB=6米,中间平台宽度DE=1米,EN、DM、CB为三根垂直于AB的支柱,垂足分别为N、M、B,EAB=31,DFBC于F,CDF=45.求DM和BC的水平距离BM.(结果精确到0.1米,参考数据:sin310.52,cos310.86,tan310.60),解析设DF=x米,在RtDFC中,CDF=45,CF=tan45DF=x米.(2分)又CB=4米,BF=(4-x)米,(3分)AB=6米,DE=1米,BM=DF=x米,AN=(5-x)米,EN=DM=BF=(4-x)米,(4分)在RtANE中,EAN=31,EN=(4-x)米,AN=(5-x)米,tan31=0.60,(6分)解得x=2.5.(7分)答:DM和BC的水平距离BM为2.5米.(8分),11.(2015重庆,24,10分)某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD,其中ABCD.大坝顶上有一瞭望台PC,PC正前方有两艘渔船M,N,观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角为31,渔船N的俯角为45.已知MN所在直线与PC所在直线垂直,垂足为E,且PE长为30米.(1)求两渔船M,N之间的距离(结果精确到1米);(2)已知坝高24米,坝长100米,背水坡AD的坡度i=10.25.为提高大坝防洪能力,请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固,坝底BA加宽后变为BH,加固后背水坡DH的坡度i=11.75,施工队施工10天后,为尽快完成加固任务,施工队增加了机械设备,工作效率提高到原来的2倍,结果比原计划提前20天完成加固任务.施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米?(参考数据:tan310.60,sin310.52),解析(1)由题意得,E=90,PME=31,PNE=45,PE=30米.在RtPEN中,PE=NE=30(米).(2分)在RtPEM中,tan31=,ME=50(米).(4分)MN=ME-NE=50-30=20(米).答:两渔船M,N之间的距离约为20米.(5分)(2)过点D作DGAB于G,坝高DG=24米.背水坡AD的坡度i=10.25,DGAG=10.25.AG=6(米).加固后背水坡DH的坡度i=11.75,DGGH=11.75,GH=42(米).AH=GH-GA=42-6=36(米).(6分)SADH=AHDG=3624=432(平方米).,需要填筑土石方432100=43200(立方米).(7分)设施工队原计划平均每天填筑土石方x立方米,根据题意,得10+=-20.(9分)解方程,得x=864.经检验,x=864是原方程的根且符合题意.答:施工队原计划平均每天填筑土石方864立方米.(10分),12.(2015宁夏,26,10分)如图是一副学生用的三角板,在ABC中,ACB=90,A=60,B=30;在A1B1C1中,C1=90,C1A1B1=45,B1=45,且A1B1=CB.若将边A1C1与边CA重合,其中点A1与点C重合.将三角板A1B1C1绕点C(A1)按逆时针方向旋转,旋转过的角度为,旋转过程中边A1C1与边AB的交点为M.设AC=a.(1)计算A1C1的长;(2)当=30时,证明B1C1AB;(3)若a=+,当=45时,计算两个三角板重叠部分图形的面积;(4)当=60时,用含a的代数式表示两个三角板重叠部分图形的面积.参考数据:sin15=,cos15=,tan15=2-,sin75=,cos75=,tan75=2+,解析(1)在RtABC中,AC=a,A=60,BC=ACtan60=a,A1B1=BC=a,在RtA1B1C1中,B1=45,A1C1=A1B1sin45=a.(2分)(2)证明:当=30,即ACC1=30时,A=60,AMC=90,即CC1AB,CC1B1C1,B1C1AB.(4分),(3)当=45时,B1A1恰好与BC重合,过点C作CHAB于H,CH=ACsin60=a,CM=2,(6分)SCMB=CMB1C1=2a,=(+)=3(+1).(7分)(4)当=60时,A1M=AC=a.设B1C1分别与AB、BC交于点N、Q,13.(2015浙江绍兴,20,8分)如图,从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ,测得杆顶端点P的仰角是45,向前走6m到达B点,测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60和30.(1)求BPQ的度数;(2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1m).备用数据:1.7,1.4.,14.(2015天津,22,10分)如图,某建筑物BC顶部有一旗杆AB,且点A,B,C在同一条直线上.小红在D处观测旗杆顶部A的仰角为47,观测旗杆底部B的仰角为42.已知点D到地面的距离DE为1.56m,EC=21m,求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度(结果保留小数点后一位).参考数据:tan471.07,tan420.90.,评析本题考查解直角三角形,属容易题.,15.(2015湖南郴州,22,8分)如图,要测量A点到河岸BC的距离,在B点测得A点在B点的北偏东30方向上,在C点测得A点在C点的北偏西45方向上,又测得BC=150m.求A点到河岸BC的距离.(结果保留整数)(参考数据:1.41,1.73),16.(2015安徽,18,8分)如图,平台AB高为12米,在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45,底部点C的俯角为30,求楼房CD的高度.(1.7),解析作BECD于点E,则CE=AB=12.在RtBCE中,BE=12.(3分)在RtBDE中,DE=BEtanDBE=12tan45=12.(6分)CD=CE+DE=12+1232.4.楼房CD的高度约为32.4米.(8分),17.(2015天津,24,10分)将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中,点A(,0),点B(0,1),点O(0,0).过边OA上的动点M(点M不与点O,A重合)作MNAB于点N,沿着MN折叠该纸片,得顶点A的对应点A.设OM=m,折叠后的AMN与四边形OMNB重叠部分的面积为S.(1)如图,当点A与顶点B重合时,求点M的坐标;(2)如图,当点A落在第二象限时,AM与OB相交于点C,试用含m的式子表示S;(3)当S=时,求点M的坐标(直接写出结果即可).,解析(1)在RtABO中,点A(,0),点B(0,1),点O(0,0),OA=,OB=1.由OM=m,得AM=OA-OM=-m.根据题意,由折叠可知BMNAMN,有BM=AM=-m.在RtMOB中,由勾股定理得,BM2=OB2+OM2,得(-m)2=1+m2,解得m=.点M的坐标为.(2)在RtABO中,tanOAB=,OAB=30.由MNAB,得MNA=90.在RtAMN中,得MN=AMsinOAB=(-m),AN=AMcosOAB=(-m).SAMN=MNAN=(-m)2.由折叠可知AMNAMN,有A=OAB=30,AMO=A+OAB=60.在RtCOM中,CO=OMtanAMO=m.SCOM=OMCO=m2.又SABO=OAOB=,于是,S=SABO-SAMN-SCOM=-(-m)2-m2,即S=-m2+m+.(3).,评析本题考查图形的折叠与解直角三角形,有一定难度.,18.(2014江西,21,8分)图1中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串接而成,每相邻两个菱形均成30的夹角,示意图如图2所示.在图2中,每个菱形的边长为10cm,锐角为60.(1)连接CD,EB,猜想它们的位置关系并加以证明;(2)求A,B两点之间的距离(结果取整数,可以使用计算器).(参考数据:1.41,1.73,2.45),同理,EDB=EBD=45,又由(1)知CDE=90.CDA+CDE+EDB=180,即点A,D,B在同一直线上.(4分)连接GH交AC于点M.由菱形的性质可知CMH=90,CM=AC.,在RtCMH中,CM=CHcos1=10cos30=5,CD=AC=2CM=10.(6分)在RtACD中,AD=10.(7分)同理,BD=10.AB=AD+DB=20202.45=49.答:A,B两点之间的距离约为49cm.(8分)解法二:连接CD,DE,AB,延长AC交BE的延长线于点F.,19.(2014广东,20,7分)如图,某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度.他们先在点A处测得树顶C的仰角为30,然后沿AD方向前行10m,到达B点,在B处测得树顶C的仰角为60(A、B、D三点在同一直线上).请你根据他们的测量数据计算这棵树CD的高度(结果精确到0.1m).(参考数据:1.414,1.732),解析CAB=30,CBD=60,ACB=60-30=30,CAB=ACB,BC=AB=10.(3分)在RtCBD中,sin60=,CD=BCsin60=10=58.7(m).答:这棵树高约8.7m.(7分),20.(2014浙江绍兴,21,10分)九(1)班同学在上学期的社会实践活动中,对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量.(1)如图1,第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上,使得DB与CB的长度相等,如果测量得到CDB=38,求护墙与地面的倾斜角的度数;(2)如图2,第二小组用皮尺量得EF为16米(E为护墙上的端点),EF的中点离地面FB的高度为1.9米,请你求出E点离地面FB的高度;(3)如图3,第三小组利用第一、二小组的结果,来测量护墙上旗杆的高度.在点P测得旗杆顶端A的仰角为45,向前走4米到达Q点,测得A的仰角为60,求旗杆AE的高度(精确到0.1米).备用数据:tan601.732,tan300.577,1.732,1.414.,21.(2014山东青岛,20,8分)如图,小明想测山高和索道的长度.他在B处仰望山顶A,测得仰角B=31,再往山的方向(水平方向)前进80m至索道口C处,沿索道方向仰望山顶,测得仰角ACE=39.(1)求这座山的高度(小明的身高忽略不计);(2)求索道AC的长(结果精确到0.1m).参考数据:tan31,sin31,tan39,sin39,解析(1)过点A作ADBE于D,设山AD的高度为xm.,在RtABD中,ADB=90,tan31=,BD=xm.在RtACD中,ADC=90,tan39=,CD=xm.BC=BD-CD,x-x=80,解这个方程,得x=180.即山的高度为180m.(6分)(2)在RtACD中,ADC=90,sin39=,AC=282.9(m).答:索道AC的长约为282.9m.(8分),评析本题是解直角三角形的典型题目.由一般三角形转化为直角三角形,并利用三角函数进行运算,关键是把实际问题转化为数学问题加以解决.,22.(2014内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45方向上的B处,这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远?(结果用非特殊角的三角函数及根式表示即可),解析过点P作PDAB于D,(1分)由题意知DPB=PBD=45,在RtPBD中,sinB=sin45=,PB=PD.(2分)点A在P的北偏东65方向上,APD=25.在RtPAD中,cosAPD=cos25=,PD=PAcos25=80cos25,(5分)PB=80cos25(海里).(6分),解题关键作垂线构造直角三角形是解决本题的关键.,23.(2014甘肃兰州,24,8分)如图,在电线杆上的C处引拉线CE,CF固定电线杆.拉线CE和地面成60角,在离电线杆6米处安置测角仪AB,在A处测得电线杆上C处的仰角为30.已知测角仪AB的高为1.5米,求拉线CE的长.(结果保留根号),评析本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形,并结合图形利用特殊角的三角函数值解直角三角形,属中等难度题.,24.(2014山西,21,7分)如图,点A,B,C表示某旅游景区三个缆车站的位置,线段AB,BC表示连接缆车站的钢缆,已知A,B,C三点在同一铅直平面内,它们的海拔高度AA,BB,CC分别为110米,310米,710米,钢缆AB的坡度i1=12,钢缆BC的坡度i2=11,景区因改造缆车线路,需要从A到C直线架设一条钢缆,那么钢缆AC的长度是多少米?(注:坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比),25.(2014盐城,23,10分)盐城电视塔是我市标志性建筑之一.如图,在一次数学课外实践活动中,老师要求测电视塔的高度AB.小明在D处用高1.5m的测角仪CD,测得电视塔顶端A的仰角为30,然后向电视塔前进224m到达E处,又测得电视塔顶端A的仰角为60.求电视塔的高度AB.(取1.73,结果精确到0.1m),解析ACF=30,AFG=60,CAF=AFG-ACF=30,CAF=ACF,CF=AF.CF=DE=224,AF=224.在RtAGF中,sinAFG=,AG=AFsin60=224=112,AB=AG+GB=AG+CD=112+1.5195.3m.答:电视塔的高度AB为195.3m.,26.(2014南京,23,8分)如图,梯子斜靠在与地面垂直(垂足为O)的墙上.当梯子位于AB位置时,它与地面所成的角ABO=60;当梯子底端向右滑动1m(即BD=1m)到达CD位置时,它与地面所成的角CDO=5118.求梯子的长.(参考数据:sin51180.780,cos51180.625,tan51181.248),解析设梯子的长为xm.在RtABO中,cosABO=,OB=ABcosABO=xcos60=x.在RtCDO中,cosCDO=,OD=CDcosCDO=xcos51180.625x.BD=OD-OB,0.625x-x=1.解得x=8.答:梯子的长约为8m.,27.(2014泰州,22,10分)图、分别是某种型号跑步机的实物图与示意图,已知踏板CD长为1.6m,CD与地面DE的夹角CDE为12,支架AC长为0.8m,ACD为80,求跑步机手柄的一端A的高度h(精确到0.1m).(参考数据:sin12=cos780.21,sin68=cos220.93,tan682.48),解析过C点作FGAB交AB于F,交DE于G.CD与地面DE的夹角CDE为12,ACD为80,ACF=90+1