一元二次方程根与系数的关系（2）导学案 （新版新人教版）

1 / 20 一元二次方程根与系数的关系（ 2）导学案 （新版新人教版） 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 第 7 课时一元二次方程根与系数的关系（ 2） 一、学习目标 1已知一元二次方程两根的关系求参数的取值范围； 2已知一元二次方程两根的关系会求参数； 3会求含有一元二次方程两根的代数式的值 . 二、知识回顾 1一元二次方程的一般形式是什么？ 2.一元二次方程的求根公式是什么？ （） 3.判别式与一元二次方程根的情况： 是一元二次方程的根的判别式，设，则 （ 1）当时，原方 程有两个不相等的实数根； （ 2）当时，原方程有两个相等的实数根； （ 3）当时，原方程没有实数根 . 4.一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 有两个实数根 x1， x2与系数 a,b,c的关系是什么？ ， 三、新知讲解几种常见的求值： 2 / 20 1. 四、典例探究 1已知一元二次方程两根的关系求参数或参数的范围 【例 1】已知关于 x 的方程设方程的两个根为 x1,x2，若求k 的取值范围 . 总结： 如果 x1， x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的两个实数根，则有这 是著名的韦达定理 . 已知一元二次方程两根 x1， x2 的不等关系求原方程中的字母参数时，一般考虑韦达定理和根的判别式，尤其是根的判别式不要忘记，这是保证方程有根的基本条件 . 练 1已知 x1， x2 是关于 x 的一元二次方程 x2（ 2k+1）x+k2+2k=0 的两个实数根，且 x1， x2满足 x1x2 x12 x220 ，求 k 的取值范围 . 【例 2】（ XX丹江口市一模）已知关于 x 的方程 x2 2（ m+1） x+m2 3=0 （ 1）当 m 取何值时，方程有两个实数根？ （ 2）设 x1、 x2 是方程的两根，且（ x1 x2） 2 x1x2=26，求 m 的值 3 / 20 总结： 1.一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a0 ）根的情况与判别式 的关系如下： （ 1） 0方程有两个不相等的实数根； （ 2） =0 方程有两个相等的实数根； （ 3） 0方程没有实数根 2.一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a0 ）两实数根 x1， x2又有如下关系：，所以已知关于 x1， x2的关系等式可以求原方程中的字母参数 . 3.注意使用的前提是原方程有根，所以必须保证判 别式0. 练 2（ XX广水市模拟）已知 x1、 x2是一元二次方程2x2 2x+m+1=0 的两个实数根 （ 1）求实数 m 的取值范围； （ 2）如果 x1、 x2 满足不等式 7+4x1x2 x12+x22，且 m 为负整数，求出 m 的值，并解出方程的根 3根据一元二次方程求含两根的代数式的值 【例 3】（ XX大庆）已知实数 a， b 是方程 x2 x 1=0的两根，求 +的值 总结： 4 / 20 在应用一元二次方程的根与系数的关系解题时，先要把一元二次方程化为它的一般形 式，以便确定各项的系数和常数的值 . 注意中两根之和、两根之积的符号，即和是，积是，不要记混 . 如果待求式中没有出现两根之和或两根之积的形式，注意适当变形 .常见变形如下： （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6） 练 3（ XX合肥校级自主招生）已知：关于 x 的方程x2+2x k=0有两个不相等的实数根 （ 1）求 k 的取值范围； （ 2）若 ， 是这个方程的两个实数根，求的值 . 五、课后小测一、选择题 1.（ XX江苏南通， 7， 3 分）已知 3 是关于 x 的方程 x2 5x c 0 的一个根，则这个方程的另一个根是 5 / 20 2.（ XX 湖北荆州， 9， 3 分）关于的方程有两个不相等的实根、，且有，则的值是 A 1 B 1 c 1 或 1 D 2 3.（ XX四川泸州）设是方程的两个实数根，则的值为（ ） A 5B 5c 1D 1 二、填空题 4（ XX泸州）设 x1、 x2 是一元二次方程 x2 5x1=0的两实数根，则 x12+x22的值为 _ 5（ XX贵州省黔西南州）已知 x=1是一元二次方程 x2+ax+b=0的一个根，则代数 式 a2+b2+2ab 的值是 6.（ XX日照）如果 m， n 是两个不相等的实数，且满足 m2 m=3 ， n2 n=3 ， 那 么 代 数 式 2n2 mn+2m+XX=_ 三、解答题 7（ XX梅州）已知关于 x 的方程 x2+2x+a 2=0 （ 1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数 a 的取值范围； （ 2）当该方程的一个根为 1 时，求 a 的值及方程的另一根 8.已知，关于 x 的方程的两个实数根、满足，求实数的值 . 9（ XX南充）已知关于 x 的 一元二次方程（ x 1）（ x 4） =p2， p 为实数 6 / 20 （ 1）求证：方程有两个不相等的实数根； （ 2） p 为何值时，方程有整数解（直接写出三个，不需说明理由） 10（ XX华师一附中自主招生）已知 m， n 是方程x2+3x+1=0 的两根 （ 1）求（ m+5）的值 （ 2）求 +的值 11（ XX孝感校级模拟）已知 x1， x2 是一元二次方程（ a 6） x2+2ax+a=0 的两个实数根，是否存在实数 a，使 x1+x1x2=4+x2 成立？若存在，求出 a 的值；若不 存在，请你说明理由 12（ XX广东模拟）已知关于 x 的方程 x2 2（ k 1）x+k2=0 有两个实数根 x1、 x2 （ 1）求 k 的取值范围； （ 2）求证： x1+x2=2（ k 1），； （ 3）求（ x1 1） （ x2 1）的最小值 13.（ XX黄州区校级自主招生）已知方程 x22x+m+2=0 的两实根 x1， x2 满足 |x1|+|x2|3 ，试求 m 的取7 / 20 值范围 14.（ XX黄冈中学自主招生）已知关于 x 的方程（ m2 1） x2 3（ 3m 1） x+18=0 有两个正整数根（ m 是正整数） ABc 的三边 a、 b、 c 满足， m2+a2m 8a=0， m2+b2m 8b=0 求：（ 1） m 的值；（ 2） ABc 的面积 典例探究答案： 【例 1】分析：先考虑判别式 0，根据题意得，这说明 k取任意实数，方程都有两个不相等的实数根，再利用根与系数的关系得 x1+x2=3k， x1x2=-6，代入即可求得 k 的取值范围 . 解：根据题意，得， 所以 k 为任意实数，方程都有两个不相等的实数根 . x1+x2=3k ， x1x2=-6，且， ，解得 k-1. 综上， k 的取值范围是 k-1. 点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系 .注意：对于含参数的一元二次方程，已知两根关系求参数的范围时，除了用到韦达定理之外，还要考虑根的判别式 . 练 1【解析】根据根与系数的关系得出 x1+x2=2k+1，8 / 20 x1x2=k2+2k，变形后代入即可得出关于 k 的不等式，求出不等式的解集即可 解： 关于 x 的一元二次方程 x2（ 2k+1） x+k2+2k=0 有两个实数根 x1， x2， x1+x2=2k+1 ， x1x2=k2+2k， x1x2 x12 x220 成立， x1x2 （ x12+x22） 0 ，即 x1x2 （ x1+x2）2 2x1x20 ， k2+2k （ 2k+1） 2 2（ 2k+1） 0 ， k 或 k1. 点评：本题考查了根与系数的关系的应用，解此题的关键是能得出关于 k 的不等式 【例 2】【解析】（ 1）根据一元二次方程根的判别式的意义得到 4（ m+1） 2 4（ m2 3） 0 ，然后解不等式即可； （ 2）根据根与系数的关系得 x1+x2=2（ m+1）， x1x2=m2 3，代入（ x1 x2） 2 x1x2=26，计算即可求解 解：（ 1）根据题意，得 =4 （ m+1） 2 4（ m2 3） 0 ， 解得 m 2； （ 2）当 m 2 时， x1+x2=2（ m+1）， x1x2=m2 3 则（ x1 x2） 2 x1x2=（ x1+x2） 2 5x1x2=2（ m+1） 2 5（ m2 3） =26， 即 m2 8m+7=0， 9 / 20 解得 m1=1 2， m2=7 2， 所以 m1=1， m2=7 点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判 别式 练 2【解析】（ 1）根据判别式的意义得到 = （ 2） 2 42（ m 1） 0 ，然后解不等式； （ 2）先根据根与系数的关系得 x1+x2=1， x1x2=，把 7+4x1x2 x12+x22 变形得 7+6x1x2（ x1+x2） 2，所以 7+6 1，解得 m 3，于是得到 m 的取值范围 3m ，由于 m 为负整数，所以 m= 2 或 m= 1，然后把 m 的值分别代入原方程，再解方程 解：（ 1）根据题意得 = （ 2） 2 42 （ m 1） 0 ， 解得 m ； （ 2）根据题意得 x1+x2=1， x1x2=， 7+4x1x2 x12+x22， 7+6x1x2 （ x1+x2） 2， 7+6 1，解得 m 3， 3 m ， m 为负整数， m= 2 或 m= 1， 当 m= 2 时，方程变形为 2x2 2x 1=0，解得 x1=， x2=； 当 m= 1 时，方程变形为 x2 x=0，解得 x1=1， x2=0 10 / 20 点评：本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a0 ）的根与 =b2 4ac有如下关系：当 0 时，方程有两个不相等的两个实数根 ；当 =0 时，方程有两个相等的两个实数根；当 0 时，方程无实数根也考查了根与系数的关系 【例 3】【解析】根据根与系数的关系得到 a+b=1， ab= 1，再利用完全平方公式变形得到 +=，然后利用整体代入的方法进行计算 解： 实数 a， b 是方程 x2 x 1=0的两根， a+b=1 ， ab= 1， += 3 点评：本题考查了根与系数的关系：若 x1， x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a0 ）的两根时， x1+x2=， x1x2= 练 3【解析】（ 1）由方程 x2+2x k=0有两个不相 等的实数根，可以求出 0，由此可求出 k 的取值范围； （ 2）欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可 解：（ 1） =4+4k ， 方程有两个不等实根， 0，即 4+4k 0 k 1 （ 2）由根与系数关系可知 += 2， 11 / 20 = k， = ， 点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法 课后小测答案： 一、选择题 3.【解析】由已知得 x1+x2 3， x1x2 3，则 原式 5 故选 B 点评：本题着重考查一元二次方程根与系数关系的应用，同时也考查了代数式变形、求值的方法 二、填空题 4【解析】首先根据根与系数的关系求出 x1+x2=5， x1x2= 1，然后把 x12+x22转化为 x12+x22=（ x1+x2） 2 2x1x2，最后整体代值计算 解： x1 、 x2是一元二次方程 x2 5x 1=0的两实数根， x1+x2=5 ， x1x2= 1， x12+x22= （ x1+x2） 2 2x1x2=25+2=27， 故答案为： 27 点评：本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的12 / 20 关 键是掌握一元二次方程两根之和与两根之积与系数的关系，此题难度不大 5.【解析】将 x=1代入到 x2+ax+b=0 中求得 a+b的值，然后求代数式的值即可 解： x=1 是一元二次方程 x2+ax+b=0的一个根， 12+a+b=0 ， a+b= 1， a2+b2+2ab= （ a+b） 2=（ 1） 2=1 故答案为： 1 点评：此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可求得代数式的值 6.【解析】由于 m， n 是两个不相等的实数，且满足 m2 m=3，n2 n=3，可知 m， n是 x2 x 3=0的两个不相等的实数根则根据根与系数的关系可知： m+n=2， mn= 3，又 n2=n+3，利用它们可以化简 2n2 mn+2m+XX=2（ n+3） mn+2m+XX=2n+6 mn+2m+XX=2（ m+n） mn+2021，然后就可以求出所求的代数式的值 解：由题意可知： m， n 是两个不相等的实数，且满足 m2m=3， n2 n=3， 所以 m， n 是 x2 x 3=0的两个不相等的实数根， 则根据根与系数的关系可知： m+n=1， mn= 3， 13 / 20 又 n2=n+3， 则 2n2 mn+2m+XX =2（ n+3） mn+2m+XX =2n+6 mn+2m+XX =2（ m+n） mn+2021 =21 （ 3） +2021 =2+3+2021 =2026 故答案为： 2026 点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值 三、解答题 7【解析】（ 1）关于 x 的方程 x2 2x+a 2=0有两个不相等的实数根，即判别式 =b2 4ac 0即可得到关于 a 的不等式，从而求得 a 的范围 （ 2）设方程的另一根为 x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出 a 的值和方程的另一根 解：（ 1） b2 4ac=（ 2） 2 41 （ a 2） =12 4a 0， 解得： a 3 a 的取值范围是 a 3； （ 2）设方程的另一根为 x1，由根与系数的关系得： 14 / 20 ，解得：， 则 a 的值是 1，该方程的另一根为 3 点评：本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式 的关系： （ 1） 0方程有两个不相等的实数根； （ 2） =0 方程有两个相等的实数根； （ 3） 0方程没有实数根 8.【解析】：先把原方程变形，得到一个一元二次方程的形式，利用已知条件，两根或是相等，或是互为相反的数，从而找到关于 m 的方程，从而得到 m 的值，但前提条件是方程得有实数根 . 解：原方程可变形为： . 、是方程的两个根， 0, 即： 4（ m+1） 2-4m20,8m+40,m. 又、满足 ,= 或 =-,即 =0 或 +=0, 由 =0, 即 8m+4=0,得 m=. 由 +=0,即 :2(m+1)=0,得 m=-1,(不合题意，舍去 ) 所以 ,当时， m 的值为 . 点评：本题是考查一元二次方程有根的情况求字母的值 .首先在保证方程有实数的前提下，再利用两根之间的关系找到含有字母的方程，从而得到字母的值 . 9【解析】（ 1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么15 / 20 只要证明 0 即可； （ 2）要是方程有整数解，那么 x1x2=4 p2 为整数即可，于是求得当 p=0， 1 时，方程有整数解 解；（ 1）原方程可化为 x2 5x+4 p2=0， = （ 5） 2 4 （ 4 p2） =4p2+9 0， 不论 m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （ 2） 方程 有整数解， x1x2=4 p2为整数即可， 当 p=0， 1 时，方程有整数解 点评：本题考查了一元二次方程的根的情况，判别式 的符号，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题是解题的关键 10【解析】（ 1）首先求出 m 和 n 的值，进而判断出 m 和 n均小于 0，然后进行分式的化简，最后整体代入求值； （ 2）根据 m 和 n 小于 0 化简 +为（），然后根据 m+n= 3，mn=1整体代值计算 解：（ 1） m ， n 是方程 x2+3x+1=0的两根， m= ， n=， m n 0， 原式 = = = 6 2m 16 / 20 = m ， n 是方程 x2+3x+1=0 的两根， m2+3m+1=0 ， 原式 =0； （ 2） m 0， n 0， += m n=+=（）， m+n= 3， mn=1， 原式 =9 2=7 点评：本题主要考查了根与系数的关系、分式的化简求值以及代数求值等知识，解答本题的关键是能求出 m 和 n 的判断出 m 和 n 均小于 0，此题难度一般 11【解析】由 x1， x2是一元二次方程（ a 6） x2+2ax+a=0的两个实数根，可得 x1+x2=， x1x2=， = （ 2a） 2 4a（ a 6） =24a 0，又由 x1+x1x2=4+x2，即可求得 a的值 解：存在 x1 ， x2 是一元二次方程（ a 6） x2+2ax+a=0 的两个实数根， x1+x2= ， x1x2=， = （ 2a） 2 4a（ a 6） =24a 0， a 0， x1+x1x2=4+x2， 17 / 20 x1x2=4+x2+x1 ， 即 =4， 解得： a=24 点评：此题考查了根与系数的关系以及根的判别式此题难度适中，注意掌握若二次项系数不为 1， x1， x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a0 ）的两根时， x1+x2=， x1x2= 12【解析】（ 1）根据判别式的意义得到 = 2（ k 1） 2 41k20 ，然后解不等式即可； （ 2）利用求根公式得到 x1=k 1+， x2=k 1，然后分别计算 x1+x2， x1x2 的值即可； （ 3）利用（ 2）中的结论得到（ x1 1） （ x2 1）=x1x2（ x1+x2） +1=k2 2（ k 1） +1，然后利用配方法确定代数式的最小值 （ 1）解：依题意得 = 2（ k 1） 2 41k20 ， 解 得 k ； （ 2）证明： =4 8k， x= ， x1=k 1+， x2=k 1 x1+x2=k 1+k 1 =2（ k 1）； x1x2=（ k 1+）（ k 1） =（ k 1） 2（） 2=k2； （ 3）解：（ x1 1） （ x2 1） =x1x2（ x1+x2）+1=k2 2（ k 1） +1=（ k 1） 2+2， 18 / 20 （ k 1） 20 ， （ k 1） 2+22 ， （ x1 1） （ x2 1）的最小值为 2 点评：本题考查了根与系数的关系：若 x1， x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a0 ）的两根时， x1+x2=， x1x2=也考查了根的判别式 13.【解析】由于方程 x2 2x+m+2=0 的有实根，由此利用判别式可以得到 m 的一个取值范围，然后利用根与系数的关系讨论 |x1|+|x2|3 就又可以得到 m 的取值范围，最后取它们的公共部分即可求出 m 的取值范围 解：根据题意可得 =b2 4ac=4 41 （ m+2） 0 ， 解得 m 1， 而 x1+x2=2， x1x2=m+2， 当 m 2 时， x1、 x2异号， 设 x1为正， x2 为负时 ， x1x2=m+20 ， |x1|+|x2|=x1 x2=3 ， m ，而 m 2， m 2； 当 2 m 1 时， x1、 x2同号，而 x