高一教学中数学思想方法训练初探.doc

高一教学中数学思想方法训练初探杨思中学 吕敏华数学教学的重要任务是培养和发展学生的数学能力，提高学生的素质，最终目的是促进其身心发展。数学学科的内容，包括数学知识和蕴含于数学知识中的数学思想方法两个部分组成。概念、定理、公式等知识是数学的外在表现形式，而数学思想方法则是数学发展的内在动力。把握住它就可以把握数学发展的。可是，很多教材往往注重演绎法和形式化，学生即使把定理的意义和证明都搞清楚，仍然不能抓住有关数学思想方法的实质内容，正如高斯形容的那样：“数学家就象建造数学大厦的工匠，等到抹好四壁之后，就拆走了脚手架，展现给人们的只是雄伟壮观的建筑物了。”面对着这种学科特点，如果教师只是注解似的照本宣科，学生只是死记硬搬书本上的知识，即使大搞“题海战术”，培养出来的只会是高分低能的学生。因此，在中学数学中必须有意识地以数学知识为载体，把藏在知识背后的数学思想方法显示出来，作为教学的对象，训练学生有意识地运用数学思想来理解、掌握所学的数学知识和分析问题、解决问题，以达到数学教育之目的。学习数学知识和思想方法可以相互促进。学生有意识地应用数学思想方法，可以更深刻地理解数学知识，完善数学认知结构，提高分析问题和解决问题的能力。另一方面，由于数学思想方法较之数学知识更概括、更抽象，因此，比数学知识更容易迁移。学生在学校里接受的许多数学知识因毕业进入社会后很少有机会得到应用而淡忘；但是不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学思维方法，却随时随地发生着作用，收益终生。数学思想方法训练，象数学知识的教学一样，从“规定”到“实施”到“取得成效”，其中有大量的工作需要我们扎扎实实地去做，有许许多多的问题等待着我们去研究、去解决。这是一个存在于整个数学教育各个阶段的一个长期的重要任务。根据我的了解，所教的高一新生一般不知数学思想指何物，更谈不上有意识地运用数学思想的观念了。我在上海版97版教材高一数学教学中，就数学思想的训练作了一些研究和尝试。囿于本人的水平和精力，肯定是不够全面和深入的，在许多方面需要今后加以改进，也存在许多有待进一步解决的问题。一、对高一数学涉及的数学思想方法的思考中学数学教材涉及的数学思想方法，仅是丰富的数学思想方法的一部分。中学数学教学中应选择数学思想方法中最常见、最基本的内容，它们不仅可以包括中学数学的主要内容，而且是中学生进一步学习、深造所必须的数学基础，另一方面也应有可能被中学生较好理解和掌握应用的数学思想方法。其数量不宜过多，难度不宜过大，其本身不一定能形成严格的体系结构。数学思想方法大体上可分为三种类型。第一类是宏观型思想方法，包括抽象概括、化归、数学建模、数形结合、归纳猜想等。有的（如抽象概括、数学建模、归纳猜想等）常常与数学知识的发生、发现过程紧密联系，是将现实世界数学化的重点方法；有的（如化归等）是我们处理数学问题的一种基本思想，具有很强的思维导向功能；有的（如数形结合等）则反映了数学各科之间的内部联系和统一性，体现了人们对数学的总体认识。第二类是逻辑型思想方法，包括分类讨论、完全归纳法、反证法、演绎法、特殊化方法等。这类方法都具有确定的逻辑表达结构。第三类是技巧型思想，包括换元、配方、待定系数等方法。这类方法常常用于具体解题，具有一定的操作步骤。高中数学内容涉及其中相当部分数学思想方法，但出现的频率有高有低，学生基础有好有差，训练的难度有大有小，因此应有计划分布进行。有些数学思想方法，例如抽象概括、化归、演绎、换元、配方、待定系数法等，学生在初中阶段接触较多或是需要在今后学习中加以明确、逐步巩固（如：抽象概括、化归、演绎等），或是在高一数学内容中出现时面目变化不大（如：换元、配方、待定系数法等），在教学中主要应与初中内容相联系予以复习，并加以适当提高。例如初中在学习二次函数等内容时以训练过配方。高一在第二章用作差比较法证明不等式应用配方法时可予以复习，并提高到对二元二次式两处配方，为日后解析几何中坐标平移作好准备。有些数学思想，例如归纳猜想、反证法等，在初中、高一数学中均出现不多或尚未出现，可放于高二、高三时着重训练。高一教学中遇到时可让学生有个大致印象。有些数学思想，例如数学建模、数形结合、分类讨论等，虽然在初中也有接触，但在高中不同阶段出现时差异较大。对学生掌握知识、解决问题、提高能力作用较大，应特别予以重视。我在高一数学教学中，以这三个数学思想方法为重点，作为从初中阶段到高中阶段的过渡、巩固与提高。二、对三种数学思想方法的训练（一）数形结合思想方法训练数学是研究现实世界中关于空间形式和数量关系的科学。“数”和“形”是数学研究中既有区别又有联系的两个主要对象，它们是同一事务的两个方面。数量问题有时借助图形可以直观地解决；反之，图形问题有时可以转化为数量问题，通过计算得到解决。这就是数形结合的思想方法。正如华罗庚所说的那样：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。在数学教学中突出数形结合的思想方法，有利于学生从不同侧面加深对问题的认识和理解，提供解决问题的方法，也有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。把抽象的数量关系形象化，具有直观性强、易于理解、易接受的作用。将直观图形数量化、转化成数学运算，会降低难度，并可对知识的理解达到更深刻的程度。在数学教学中突出数形结合的思想，不仅对解决问题的一种手段，而且加深了对数学实质的认识。1、在高一数学各部分内容中，借助以下不同的数形结合的载体，进一步掌握数形之间的关系：利用函数图象解不等式；利用数轴求不等式（组）的解集；用复平面上的点表示复数；函数的各种性质在函数图象上的表现；有函数图象看方程的解；计算三角形有关问题；利用单位圆看三角函数的性质。以上是教材中出现并要求的，在教学中要注意加以整理，有的还需加以具体补充，使学生掌握数、形之间有关特点的关系，便于应用。例如关于函数的性质与图象特点的关系，需指出以下方面：（1）是的函数：垂直于轴的直线与函数图象最多只有一个交点。（2）函数的定义域。（3）函数的值域。（4）函数的最值：函数图象的最高（低）点的纵坐标。（5）函数的奇偶性：函数图象是否关于原点中心对称或关于轴对称。（6）函数的增减性：自左向右看函数图象是向上还是向下。（7）函数式中的常数与图象变换的关系。（8）函数存在反函数：垂直于轴的直线与函数图象最多只有一个交点。（9）函数与它的反函数的图象的关系。其中（1）（5）（9）在教材中有明确结论，（6）（7）有练习。其余各条则需适时具体引导补充，使学生有较为完整的认识，便于应用。例如教材在5.7反函数一节中引进反函数概念时没有与函数图象结合起来，在教学中可补充有关存在反函数与不存在反函数的函数图象，让学生直观了解它们的特点，易于掌握、加深理解反函数概念，进而看出怎样改变定义域，使函数存在反函数。在反三角函数这一章，学生就自己能从三角函数图象得出应在什么区间内存在反三角函数。2、经常指导学生利用数形结合记忆知识、思考问题。中学阶段学过许多函数，其性质都是需要记忆的。由于图象直观易记，在掌握函数的性质与图象特点的关系后，学生不仅可以根据记忆的图象说出函数性质，而且可以清晰地思考、解决有关问题。例如：4.3函数运算一节中，例2给出了形如（）函数的图象。在以后的教学中，我们一方面可以让学生观察图象，说出它的性质；另一方面可以结合不等式求它在的最小值和的最大值，还可以根据函数增减性的定义证明它在各单调区间的增减性。在日后遇到求这类函数在某区间内最值时，学生很容易想到它的图象，然后根据所给的区间采用不同方法求出最值。另一方面，我们还可以应用数学计算解决有关图形问题。例如求三角形的边、角或判断它的形状，以及证明图形性质。3、在其它数学概念的教学中，也应该注意把抽象的数学概念图形化，并借助图形帮助思考。例如，我们常用文氏图表示集合，并用来解决有关问题，中学数学要求也限于此。其实也需具体知道各种集合关系在图中的反映。例如：学生容易理解“若，则”；但许多问题中需要由“”得到“”这一结论。这就不仅需要利用把集合概念图形化的载体文氏图，而且需要具体掌握两集合各种关系的有关图形，才能形象地解决这一抽象问题，而教科书中与参考书中都未见具体说明。注意数形结合，可以使学生在发展逻辑思维的同时发展形象思维，两者相辅相成，互相促进。人的大脑左半球主要从事抽象和逻辑思维，右半球主要从事形象和直觉思维。形象思维善于提出解决问题的各种尝试，抽象思维则善于按一定的程序有条理地解决问题。两者通过胼胝体互相作用。我们平时有意识地把这两者更好地结合起来，更充分开发和发挥大脑两半球的共同作用，人就会更加聪明，具有更大的创造性。（二）数学建模的思想方法训练无论是数学研究，还是数学学习，其最终目的是将数学运用于社会、服务于社会，而运用数学解决实际问题是通过数学建模这个桥梁来实现的。当今是数学广泛应用的时代，数学建模的地位也得到显著提高，计算机的出现和普及又使数学建模插上了翅膀，它已不仅使数学学科的背景材料，更重要的使已成为人们改造自然的一种技术。目前，中学数学实际应用问题成了中学数学教育界的热门话题。广义地说，一切数学概念、数学理论（公式、定理、法则等）、数学事实（各种方程、各种函数式等）都可称之为数学建模。而在应用数学中的数学建模是指狭义理解的数学建模，即指反映特定现实原型的数学关系结构（数学问题）。数学本身是为解决各个领域所产生的各种类型的问题的需要而产生的，它为解决实践中的问题提供了一种表述的语言、抽象的思维能力和计算的方法和工具，从而使解决有关的生活、生产和科学理论问题成为可能。九年制义务教育大纲指出：“要使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练，形成应用数学意识”。通过实际应用的教学，引导学生理解、描述和解决他们熟悉的现实问题，认识和掌握数学与相关学科及现实生活的联系，从而更深刻地体会到数学理论的用途与威力，以激发学生的学习动机，提高学习兴趣，增强学习信心，并进一步加深对数学知识和方法的理解，培养创造性地解决问题的意识和能力，以及实事求是、理论联系实际的工作作风，为今后参加工作作好各方面准备。1、让学生掌握数学建模思想方法的一般程序。把实际问题抽象成数学问题就是建立数学模型，数学建模是针对或参照某种事务系统的特征或数量依存关系，采用数学语言，概括地或近似地表述出的一种数学结构。通过数学建模的研究结果的解释，使实际问题得到解决。用流程图可以把数学建模思想方法的一般 程序表示如下：实际问题（1）建模数学模型（2）数学处理数学模型的解（3）解释实际问题的解这是一种迂回的化归方法。例（高一课本4.7函数的最大值和最小值）要建造一排靠墙的5间面积相同的长方形猪圈（图略），可供建造围墙的材料是60米，问宽为多少米时才能使所建造的猪圈面积最大？猪圈的最大面积是多少？解：（1）建立相应的数学模型设猪圈宽为米（）；总面积为平方米。则5间猪圈总长为米。那么（）（2）数学处理：本题即求二次函数在指定区间内的最大值由得：当时，（3）解释答：当猪圈得宽为5米时，猪圈最大面积为150平方米。2、高一数学中的数学建模（1）两个有限集的并集的元素个数（在统计中推测有关群体的人员数）（2）解不等式的应用（求时间、距离、计划数等的范围）（3）用图形表示函数（自动记录仪及估计增长情况等）（4）求函数最大（小）值（这方面应用最广泛，有关多、快、好、省各类问题）（5）指数、对数方程的应用（利率、产量、价格、人口等增长及放射元素的衰变等）（6）弧长公式（公路弯道长、圆轮旋转等）（7）解三角形（测量问题、航海问题等）（8）正弦函数的图象和性质（物理中的振动和波）3、正确处理纯数学应用和实际应用的关系中学数学的应用，无论是纯数学应用还是实际应用，都是为了掌握知识、培养能力和形成数学的意识。纯数学应用侧重思维的训练，逻辑能力的培养，同时也使得数学的抽象性和严紧性得到充分体现。而实际应用侧重于知识的活动，思维灵活性和创造能力的培养，同时也使数学应用广泛性的特点得到充分体现。它实质上是综合运用各种知识，数学化地解决问题，其要求自然要比纯数学高。因此，教学中对实际问题的接触与训练，应当逐步地进行，不能偏急、贪多、过难与太集中。为了使学生顺利地掌握数学建模的思想方法，也必须及时补充有关的学科知识和日常生活常识（如测量中的仰角、俯角、方位角；银行的利率等），并鼓励学生结合日常生活编写、解决有关实际问题。一般地说在教学过程中，首先应当进行的是扎实基础的纯数学训练，然后再过渡到综合训练和实际问题的训练。这样会更适应学生的认识背景和接受能力，从而使学生更顺利地学好数学。（三）分类讨论的思想方法训练当我们再研究某一个较为复杂的问题时，若不能用同一种方法去处理，往往就需要把这个问题（全集）恰当地划成若干部分（子集），在解决了这些部分问题后，整个问题就得到了解决。这就是化整为零，各个击破的分类讨论的思想方法。分类讨论思想时自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法。掌握分类讨论思想，有助于理解知识、整理知识、消化知识和独立获取知识，它对培养和发展学生思维的条理性、缜密性、和提高分析问题和处理问题能力具有重要的意义。在中学数学的各个方面，都渗透着分类讨论的思想，如概念的定义、定理的证明、具体问题的解决等等。如果离开了分类讨论，就往往无法着手或顾此失彼，导致错误的发生。1、学生在初中阶段接触了许多蕴含分类讨论思想的数学内容。如数、方程、函数、三角形、四边形的分类、直线和圆的位置关系、两圆的位置关系等等。我们应该充分利用学生的这一认识基础，在教学中经常联系初中的有关内容不失时机地进行纵横的联想和回顾，加以强化。虽然当时不能给出分类的定义，但学生知道每进行一种意义下的分类，都应该有明确的标准；同一事务按不同的标准则有不同的分类；对一种事务的分类，应该是无重复和无遗漏的。2、随着学生年龄和知识的增长，阅历的丰富，思维的进一步成熟，在获得大量感性认识的基础上，对分类的实质在头脑中逐步产生“悟化”。特别在学习了集合知识后，可以给出分类的定义：在某一问题中，设符合一定条件的所有元素组成集合，按元素的某一性质将进行分类，分成若干真子集（）（），在划分时应满足下列两条件：（1）（）（2）这样就把分类的问题提高到新的高度来认识。3、高一数学出现的蕴含分类讨论思想的数学内容。一般来说，当研究的问题涉及到分类定义的概念；或运用了分类研究的定理、性质、公式、法则；或在进行某些有限制的运算；或在计算、推理过程中遇到数量大小不确定或图形位置不确定时，常常可以运用分类讨论的思想方法去研究解决。高一数学中这方面内容有：两集合各种关系；不等式某些性质；某些不等式的证明；一元二次不等式的解；解无理不等式；复数的分类；实系数一元二次方程的解；分段函数；函数的某些性质；幂函数、指数函数、对数函数的性质；三角函数性质；扩充的正弦定理的证明；最简单的三角方程的解。4、对分类思想的理解和运用必须有一个逐步深化的过程。（1）把初中阶段出现过的内容加以总结：例如：解一元一次不等式在初中阶段常见具体实数和，解不等式，在高一数学不等式的教学中，则对任意的实数和，用分类讨论的方法解不等式，这是一个从感性认识到理性认识的飞跃。（2）由浅入深，逐步深化，循序渐进。例如：初中数学中求二次函数（）的最值时，仅就、两种情况加以区分计算。在高一数学中不仅要对的正负进行讨论，还要根据所给区间是否包括顶点进行计算和讨论，并进一步应用于求形如（）的复合函数的极值和反过来由极值求（在某区间）中的某个字母的值。（3）引导学生自觉运用分类讨论思想解决问题。学生在学习中经常遇到把条件分类得不到结果的问题，往往也反过来根据结论的启示来分析该如何分类。这就需要学生自觉地运用分类的思想去分析问题和解决问题。例如在说明 “若，则”时，因结论是两集合、的关系，因此可以用文氏图列举两集合的所有可能的关系，剔除其中不符合者，就可得到结论。（4）根据需要，多级分类。例：解不等式解：1、当时，原不等式为一元一次不等式，2、当时，原不等式为一元二次不等式，但与时它的解有不同形式，而且对相应一元二次方程两根、2的大小还需进一步讨论。（1）当时，当，即时，得或当，即时，得或当，即时，得或（2）当时，最后整理结果得：（1）当时，；（2）当时，；（3）当时，或；（4）当时，或。三、关于实施数学思想方法训练的体会1、注意发掘隐藏于知识中的思想方法数学科学是知识和方法的有机结合，没有不包含数学方法的知识，也没有游离于数学指数之外的方法，而许多思想方法并不是以明显的形式呈现出来，学生学习知识时不一定注意到它们，是要靠教师去发掘和整理。例如函数与图象的各方面有着密切的关系，只要抓住“自变量是图象上点的横坐标，函数值是图象上点的纵坐标”，这一联系函数与图象的桥梁，帮助、启发学生掌握函数各种性质与图象特点之间的关系，以至运用这些关系，用数形结合的思想方法理解知识、解决问题。只有在教学中有意识地把数学思想方法作为教学对象，学生才会注意并掌握和应用它们。2、突出基本的数学思想方法，根据不同年级的教学内容和学生情况，进行数学思想方法训练。中学数学教学内容中蕴含着大量的数学思想方法，它们渗透于各类知识中，在教学的各个阶段都起着重要作用。突出了基本数学思想方法就相当于抓住了中学数学知识的精髓。数形结合、数学建模和分类讨论的思想就是三种基本数学思想。数学思想方法的形成难于知识的理解和掌握，数学思想方法的训练应与知识教学、学生认知水平相适应，经过多次反复，才能逐步完成。因此在教学中要结合不同年级的教学内容和学生情况，不仅要安排基本数学思想方法的训练，也要逐步安排其它数学思想方法的训练；不仅要学生学习第一次接触的数学思想方法，也要使过去接触过的数学思想方法得以进一步明确、巩固和深化。3、数学教学是数学活动的教学。只有突出数学理论的形成过程，暴露数学家的思维过程，引导学生参与数学的“发现”，学生才能获得活