高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.6.1椭圆的概念及其性质课件(理).pptVIP

第六节椭圆第一课时椭圆的概念及其性质,【知识梳理】1.椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1,F2的距离_等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的_,两焦点间的距离叫做椭圆的_.,之和,焦点,焦距,(2)集合P=M|MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a0,c0.当2a|F1F2|时,M点的轨迹为椭圆;当2a=|F1F2|时,M点的轨迹为线段F1F2;当2a0,B0且AB.,【小题快练】链接教材练一练1.(选修2-1P49T2(1)改编)已知椭圆=1的焦点在x轴上,焦距为4,则m等于()A.8B.7C.6D.5,【解析】选A.因为椭圆=1的焦点在x轴上.所以解得60).因为椭圆的一个焦点为F(1,0),离心率e=,所以故椭圆的标准方程为答案:,感悟考题试一试3.(2016南昌模拟)矩形ABCD中,|AB|=4,|BC|=3,则以A,B为焦点,且过C,D两点的椭圆的短轴的长为()A.2B.2C.4D.4,【解析】选D.依题意得|AC|=5,所以椭圆的焦距为2c=|AB|=4,长轴长2a=|AC|+|BC|=8,所以短轴长为2b=,4.(2015全国卷)一个圆经过椭圆=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.,【解析】设圆心为(a,0),则圆的方程为(x-a)2+y2=r2,依题意得解得a=,r2=,所以圆的方程为答案:,5.(2016三明模拟)已知椭圆=1(ab0)的两焦点为F1,F2,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为.,【解析】设过左焦点F1的正三角形的边交椭圆于点A,则|AF1|=c,|AF2|=c,有2a=(1+)c,所以e=答案:-1,考向一椭圆的定义及应用【典例1】(1)(2016毕节模拟)点M为圆P内不同于圆心的定点,过点M作圆Q与圆P相切,则圆心Q的轨迹是()A.圆B.椭圆C.圆或线段D.线段,(2)已知F1,F2是椭圆C:(ab0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且若PF1F2的面积为9,则b=.,【解题导引】(1)设圆P的半径为r,当点M在定圆P内时(非圆心),|QP|+|QM|=r为定值,可得轨迹.(2)注意到点P在椭圆上,则有|PF1|+|PF2|=2a,再利用求出的值,进而可求得b的值.,【规范解答】(1)选B.设圆P的半径为r,当点M在定圆P内时(非圆心),|QP|+|QM|=r为定值,轨迹为椭圆.,(2)由题意知|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,所以(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|=4c2,所以2|PF1|PF2|=4a2-4c2=4b2.所以|PF1|PF2|=2b2,所以=|PF1|PF2|=2b2=b2=9.所以b=3.答案:3,【母题变式】1.将本例(2)中条件“”“PF1F2的面积为9”分别改为“F1PF2=60”“=3”,则结果如何?,【解析】由题意得|PF1|+|PF2|=2a,又F1PF2=60,所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos60=|F1F2|2,所以(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|PF2|=4c2,所以3|PF1|PF2|=4a2-4c2=4b2,所以|PF1|PF2|=b2,所以=|PF1|PF2|sin60=所以b=3.,2.将本例(2)中条件“PF1F2的面积为9”去掉,试求离心率的取值范围.,【解析】因为P为椭圆上的一点,且,所以bc,b2c2,a2-c2c2,又因为e是椭圆的离心率,所以e1.,【规律方法】1.椭圆定义的应用范围(1)确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆.(2)解决与焦点有关的距离问题.,2.焦点三角形的应用椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长;利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|;通过整体代入可求其面积等.,【变式训练】(2016南昌模拟)设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0b1)的左、右焦点,过F1的直线l与E相交于A,B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,则|AB|=(),【解析】选C.设椭圆E:(0b1),知a=1,因为|AF1|+|AF2|=2a=2,|BF1|+|BF2|=2a=2,两式相加得|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4,所以|AF2|+|BF2|=4-(|AF1|+|BF1|)=4-|AB|.因为|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,所以2|AB|=|AF2|+|BF2|,于是2|AB|=4-|AB|,所以|AB|=.,【加固训练】1.(2016郑州模拟)已知椭圆=1(05,所以椭圆的焦点在x轴上.因为|F1F2|=8,所以c=4,所以a2=25+c2=41,则a=.由椭圆定义,|AF1|+|AF2|=|BF2|+|BF1|=2a,所以ABF2的周长为4a=4.答案:4,3.点P是椭圆=1上一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,且PF1F2的内切圆半径为1,当P在第一象限时,P点的纵坐标为.,【解析】依题意得:|PF1|+|PF2|=10,|F1F2|=6,=(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)1=8=|F1F2|yP=3yP,所以yP=.答案:,考向二椭圆的标准方程及其应用【典例2】(1)若直线x-2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的标准方程为(),(2)设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(00,AB).,【变式训练】(2016宜昌模拟)设是ABC的一个内角,且sin+cos=,x2sin-y2cos=1表示()A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆C.焦点在x轴上的双曲线D.焦点在y轴上的双曲线,【解析】选B.因为(0,),且sin+cos=,两边平方可得,sincos=0,所以,且|sin|cos|,所以x2sin-y2cos=1表示焦点在y轴上的椭圆.,【加固训练】1.已知椭圆C:=1(ab0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点,若AF1B的周长为4,则C的方程为(),【解析】选A.因为AF1B的周长为4,所以4a=4,所以a=,因为离心率为,所以c=1,所以b=,所以椭圆C的方程为=1.,2.(2016常州模拟)若方程=1表示椭圆,则k的取值范围是.【解析】由已知得解得30)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小,于,则椭圆E的离心率的取值范围是(),【解题导引】由点M到直线l的距离不小于,可得出b的范围,从而求出离心率的范围.,【规范解答】选A.不妨设左焦点为F2,连接AF2,BF2,由椭圆的对称性可知四边形AFBF2的对角线互相平分,所以四边形AFBF2为平行四边形,所以|AF|+|BF|=|BF2|+|BF|=2a=4,所以a=2,设M(0,b),所以d=bb1,所以e=又e(0,1),所以e,【易错警示】解答本题易出现以下错误:本题利用点到直线的距离公式,求出b的取值,易将公式记错而导致错误,再者是出现运算错误;还有一点是利用椭圆中a,b,c之间的关系时易与双曲线中a,b,c之间的关系记混出现错误.,命题方向2:依据椭圆的性质求值或范围【典例4】(2016宝鸡模拟)已知椭圆=1,A,B是其左右顶点,动点M满足MBAB,连接AM交椭圆于点P,在x轴上有异于点A,B的定点Q,以MP为直径的圆经过直线BP,MQ的交点,则点Q的坐标为.,【解题导引】取M的坐标,进而得出MA,MQ的方程,从而可求出点Q的坐标.,【规范解答】方法一:设M(2,t),P(x0,y0),则由A,P,M三点共线,得代入=1,解得kPB=,设Q(q,0),则kMQ=解得q=0,即得Q(0,0).,方法二:设M(2,2),因为A(-2,0),B(2,0),所以MA的方程为x-2y+2=0,由解得从而PB的斜率kPB=-1.又PBMQ,所以kMQ=1,于是直线MQ的方程为x-y=0,又Q是直线MQ与x轴的交点,故Q(0,0).答案:(0,0),【技法感悟】1.求椭圆离心率的方法(1)直接求出a,c的值,利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=a2-c2消去b,转化为含有e的方程(或不等式)求解.,2.利用椭圆几何性质求值或范围的思路求解与椭圆几何性质有关的参数问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的关系.,【题组通关】1.(2016长春模拟)椭圆=1(ab0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2,若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为(),【解析】选B.由题意知|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c,且三者成等比数列,则|F1F2|2=|AF1|F1B|,即4c2=a2-c2,a2=5c2,所以e2=,所以e=.,2.(2016深圳模拟)过椭圆=1的中心任意作一条直线交椭圆于P,Q两点,F是椭圆的一个焦点,则PQF周长的最小值是()A.14B.16C.18D.20,【解析】选C.如图,设F1为椭圆的左焦点,右焦点为F2,根据椭圆的对称性可知|F1Q|=|PF2|,|OP|=|OQ|,所以PQF1的周长为|PF1|+|F1Q|+|PQ|=|PF1|+|PF2|+2|PO|=2a+2|PO|=10+2|PO|,易知2|OP|的最小值为椭圆的短轴长,即点P,Q为椭圆的上下顶点时,PQF1即PQF的周长取得最小值为10+24=18.,【加固训练】(2016贵阳模拟)已知椭圆方程为=1(ab0),A,B分别是椭圆长轴的两个端点,M,N是椭圆上关于x轴对称的两点,直线AM,BN的斜率分别为k1,k2,若|k1k2|=,则椭圆的离心率为.,【解析】设M(x0,y0),则N(x0,-y0),