初中函数总结

1 / 68 初中函数总结 函数知识点总结 (掌握函数的定义、性质和图像 ) 平面直角坐标系 1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系 2、各个象限内点的特征 : 第一象限： 点 P，则 x 0,y 0； 第二象限： 点P，则 x 0,y 0； 第三象限： 点 P，则 x 0,y 0； 第四象限 ： 点 P，则 x 0,y 0； 3、坐标轴上点的坐标特征： x 轴上的点，纵坐标为零； y 轴上的点，横坐标为零；原点的坐标为。两坐标轴的点不属于任何象限。 4、点的对称特征：已知点 P(m,n), 2 / 68 关于 x 轴的对称点坐标是 (m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号 关于 y 轴的对称点坐标是 (-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号 关于原点的对称点坐标是 (-m,-n) 横，纵坐标都反号 5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征： 平行于 x 轴的直线上的任意两点：纵坐标相等； 平行于 y 轴的直线上的任意两点：横坐标相等。 6、各象限角平分线上的点的坐标特征： 第一、三象限角平分 线上的点横、纵坐标相等。 第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。 7、点 P的几何意义： 点 P 到 x 轴的距离为 |y|， 点 P到 y 轴的距离为 |x|。 点P 到坐标原点的距离为 8、两点之间的距离： X 轴上两点为 A(x1,0)、 B(x2,0) |AB|?|x2?x1| x?y 2 2 3 / 68 Y 轴上两点为 C(0,y1)、 D(0,y2) |CD| ?|y2?y1| 2 2 已知 A(x1,y1)、 B(x2,y2) AB|= (x2?x1)?(y2?y1) 9、中点坐标公式：已知 A(x1,y1)、 B(x2,y2) M 为 AB 的中点 则： M=( x2?x1 2 4 / 68 , y2?y1 2 ) 10、点的平移特征： 在平面直角坐标系中， 将点向右平移 a 个单位长度，可以得到对应点； 将点向左平移 a 个单位长度，可以得到对应点； 将点向上平移 b 个单位长度，可以得到对应点； 将点向下平移 b个单位长度，可以得到对应点。 注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来， 从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。 函数的基本知识： 基本概念 5 / 68 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 x和 y，并且对于 x 的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把 x称为自变量，把 y称为因变量，y 是 x 的函数。 *判断 A是否为 B的函数，只要看 B 取值确定的时候， A是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范 围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法： 关系式为整式时，函数定义域为全体实数； 关系式含有分式时，分式的分母不等于零； 关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； 关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； 实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合， 使之有意义。 5、函数的图像 6 / 68 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象 6、函数解析 式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。 7、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表； 第二步：描点； 第三步：连线。 8、函数的表示方法 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。 解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。 图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 正比例函数和一次函数 1、正比例函数及性质 7 / 68 一般地，形如 y=kx(k 是常数， k0) 的函数叫做正比例函数，其中 k叫做比例系数 . 注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零 ) k 不为零 x 指数为 1 b 取零 当 k0 时，直线 y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随 x 的增大 y 也增大；当 k (3) 走向： k0 时，图像经过一、三象限； k0， y 随 x的增大而增大； k 一般地，形如 y=kx b(k,b是常数， k0) ，那么 y叫做 x的一次函数 .当 b=0时， y=kx b 即 y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数 . 注：一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零 ) k 不为零 x 指数为 1 b 取任意实数 一次函数 y=kx+b 的图象是经过和两点的一条直线，我们称它为直 线 y=kx+b,它可以看作由直线 y=kx平移 |b|个单位长度得到 . 解析式： y=kx+b(k、 b是常数， k?0) 必过点：和 8 / 68 走向： k0，图象经过第一、三象限； k0，图象经过第一、二象限； b ?k?0?k?0 直线经过第一、二、三象限 ?直线经过第一、三、四象限 ? ?b?0?b?0?k?0?k?0 ?直线经过第一、二、四象限 ?直线经过第二、三、四象限 ?b?0b?0? 注： y kx+b中的 k， b的作用： 1、 k决定着直线的变化趋势 k0 直线从左向右是向上的 k b0 直线与 y 轴的正半轴相交 b 增减性： k0， y 随 x 的增大而增大； k0时，将直线 y=kx的图象向上平移 b个单位； 当 b 3、一次函数 y=kx b的图象的画法 . 根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一9 / 68 条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可 .一般情况下：是先选取 它与两坐标轴的交点：， .即横坐标或纵坐标为 0的点 . 注：对于 y kx+b 而言，图象共有以下四种情况： 1、 k0， b0 2、 k0， b0 4、直线 y=kx b(k0) 与坐标轴的交点 (1)直线 y=kx 与 x 轴、 y轴的交点都是 (0， 0)； (2)直线 y=kx b与 x 轴交点坐标为 5、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤： 与 y轴交点坐标为 (0， b) 根据已知条件写出含有待定系数 的函数关系式； 将 x、 y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程； 10 / 68 解方程得出未知系数的值； 将求出的待定系数代回所求的函数关系式中 得出所求函数的解析式 . 6、两条直线交点坐标的求法： 方法：联立方程组求 x、 y 例题：已知两直线 y x+6 与 y 2x-4 交于点 P，求 P点的坐标？ 7、直线 y=k1x+b1 与 y=k2x+b2 的位置关系 两条直线平行： k1=k2且 b1?b2 两直线相交： k1?k2 两直线重合：k1=k2且 b1=b2 平行于 轴的直线记作 .特别地， 轴记作直线 8、正比例函数与一次函数图象之间的关系 一次函数 y=kx b 的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移 |b|个单位长度而得到 . 9、一元一次方程与一次函11 / 68 数的关系 任何一元一次方程到可以转化为 ax+b=0 的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为 0 时，求相应的自 变量的值 . 从图象上看，相当于已知直线 y=ax+b 确定它与 x 轴的交点的横坐标的值 . 10、一次函数与一元一次不等式的关系 任何一个一元一次不等式都可以转化为 ax+b0 或 ax+b 以二元一次方程 ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数 y=? abx? cb 的 知识点一、平面直角坐标系 1、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 12 / 68 其中，水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做 y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点 O 叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x 轴和 y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意： x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后 ，中间有 “ ， ” 分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当 a?b 时，和是两个不同点的坐标。 知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一象限 ?x?0,y?0 13 / 68 点 P(x,y) 在 第 二 象 限 ?x?0,y?0 点 P(x,y) 在 第 三 象限 ?x?0,y?0 点 P(x,y)在第四象限 ?x?0,y?0 2、坐标轴上的点的特征 点 P(x,y)在 x 轴上 ?y?0， x 为任意实数 点 P(x,y)在 y 轴上 ?x?0， y 为任意实数 点 P(x,y)既在 x 轴上，又在 y 轴上 ?x， y 同时为零，即点 P坐标为 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上 ?x与 y相等 点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上 ?x与 y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于 x 轴 的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同。 5、关于 x轴、 y轴或远点对称的点的坐标的特征 点 P 与点 p 关于 x 轴对称 ?横坐标相等，纵坐标互为相反数 点 P 与点 p 关于 y 轴对称 ?纵坐标相等，横坐标互为相反数 点 P 与点 p 关于原点对称 ?横、纵坐标均互为相反数 14 / 68 6、点到坐标轴及原点的距离 点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离： 点 P(x,y)到 x 轴的距离等于 y 点 P(x,y)到 y 轴的距离等于x 点 P(x,y)到原点的距离等于 x2?y2 知识点三、函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的每一 个值， y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说 x 是自变量， y 是 x 的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 解析法 15 / 68 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 列表法 把自变量 x的一系列值和函数 y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 知识点四、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念 16 / 68 2、反比例函数的图像 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量 x?0，函数 y?0，所以，它的图像与 x 轴、 y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 知识点六、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果 y?ax?bx?c(a,b,c 是常数， a?0)，特别注意 a不为零，那么 y叫做 x 2 y?ax2?bx?c(a,b,c 是常数， a?0)叫做二次函数的一般式。 、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于 x? b 17 / 68 对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 2a 抛物线的主要特征： 有开口方向； 有对称轴； 有顶点。 、二次函数图像的画法 五点法： 先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点 M，并用虚线画出 求抛物线 y?ax?bx?c 与坐标轴的交点： 当抛物线与 x轴有两个交点时，描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y轴的交点 C，再找到点 CD。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图 当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时， 描出抛物线与 y轴的交点 C及对称点 D。由 C、 M、三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点 A、 B， 1. 二次函数基本形式： y?ax2 的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 18 / 68 2 确定解析式的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数 y? k 中，只有一个待定系数，因此 x 只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出 k 的值，从而确定其解析式。 5、反比例函数中反比例系数的几何意义 k (k?0)图像上任一点 P 作 x 轴、 y 轴的垂线 PM， PN，则所得的矩形 x k PMON的面积 S=PM?PN=y?x?xy。 ?y?,?xy?k,S?k。 19 / 68 x 若过反比例函数 y? 2. y?ax2 ?c的性质： 二次函数 y?ax2?c 的图像可由 y?ax2 的图像上下平移得到。 3. y?a?x?h?2 的性质： 二次函数 y?a?x?h?2 的图像可由 y?ax2 的图像左右平移得到。 4. y?a?x?h?2 ?k的性质： 20 / 68 知识点八、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式： y?ax2?bx?c； 2. 顶点式： y?a(x?h)2?k； 3. 两点式： y?a(x?x1)(x?x2). 注意：任 何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成两 点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b2?4ac?0 时，抛物线的解析式才可以用两点式表 示二次函数解析式的这三种形式可以互化 . a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 知识点九、二次函数解析式的确定 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 21 / 68 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与 x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式 知识点十、二次函数的最值 如果自变量的取值范 围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值，即当 x?b 4ac?b22a 时， y最值 ? 4a。 如果自变量的取值范围是 xb 1?x?x2，那么，首先要看 ? 2a 22 / 68 是否在自变量取值范围 xb 4ac?b21?x?x2 内，若在此范围内，则当 x=?2a 时， y最值 ?4a；若不在此范围内，则需要 考虑函数在 x1?x?x2 范围内的增减性，如果在此范围内， y随 x 的增大而增大，则当 x?x2时， y2 最大 ?ax2?bx2?c，当 x?x1 时， y 最小 ?ax21?bx1?c；如果在此范围内， y随 x 的增大而 减小，则当 x?x21 时， y最大 ?ax1?bx1?c，当 x?x2时， y2 最小 ?ax2?bx2?c。 知识点十一、二次函数的性质 1、二次函数的 性质 2、二次函数与一元二次方程的关系： 23 / 68 一元二次方程 ax2?bx?c?0是二次函数 y?ax2?bx?c当函数值y?0时的特殊情况 . 图象与 x轴的交点个数： 当 ?b2?4ac?0 时，图象与 x轴交于两点 A?x1，其中的 x1，x2是 0?， B?x2， 0?(x1?x2)， 一元二次方程 ax?bx?c?0?a?0?的两根这两点间的距离AB?x2?x1?2 推导过程：若抛物线 y?ax?bx?c 与 x 轴两交点为 A?x1， 0?，B?x2， 0?，由于 x1、 x2是 2 方程 ax?bx?c?0 的两个根，故 2 bcx1?x2?,x1?x2? aa 24 / 68 AB?x1?x2? x1?x22 ? x1?x22 b2?4ac?b?4c ?4x1x2? aaa?a? 2 当 ?0时，图象与 x轴只有一个交点； 当 ?0时，图象与 x轴没有交点 . 1 当 a?0 时，图象落在 x 轴的上方，无论 x 为任何实数，都有 y?0； 25 / 68 2当 a?0 时，图象落在 x 轴的下方，无论 x为任何实数，都有 y?0 记忆规律：一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与 x 轴的交点坐标。 因此一元二次方程中的 ?b?4ac，在二次函数中表示图像与 x 轴是否有交点。 当 ?0 时，图像与 x 轴有两个交点；当 ?=0 时， 图像与 x 轴有一个交点； 当 ? 中考二次函数压轴题常考公式 、两点间距离公式 如图：点 A坐标为点 B 则 AB间的距离，即线段 AB2 函数知识点总结 (掌握函数的定义、性质和图像 ) 正比例函数和一次函数 1、正比例函数及性质 一般地，形如 y=kx(k 是常数， k0) 的函数叫做正比例函数，其中 k叫做比例系数 . 注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零 ) k 不为零 x 指数为 1 b 取零 26 / 68 当 k0 时，直线 y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随 x 的增大 y也增大；当 k (1) 解析式： y=kx (2) 必过点：、 (3) 走向： k0时，图像经过一、三象限； k (4) 增减性：k0， y随 x 的增大而增大； k (5) 倾斜度： |k|越大，越接近 y轴； |k|越小，越接近 x轴 2、一次函数及性质 一般地，形如 y=kx b(k,b 是常数， k0) ，那么 y 叫做 x的一次函数 .当 b=0 时， y=kx b 即 y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数 . 注：一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零 ) k 不为零 x 指数为 1 b 取任意实数 一次函数 y=kx+b 的图象是经过和两点的一条直线，我们称它 为直 k 线 y=kx+b,它可以看作由直线 y=kx平移 |b|个单位长度得到 . 27 / 68 解析式： y=kx+b(k、 b是常数， k?0) 必过点：和 k 走向： k0，图象经过第一、三象限； k b0，图象经过第一、二象限； b ?k?0?k?0?直线经过第一、二、三象限 ?直线经过第一、三、四象限 ?b?0b?0? ?k?0?k?0 直线 经过第一、二、四象限 ?直线经过第二、三、四象限 ?b?0?b?0 注： y kx+b中的 k， b的作用： 1、 k决定着直线的变化趋势 k0 直线从左向右 是向上的 k 2 、 b 决定着直线与 y轴的交点位置 b0 直线与 y轴的正半轴相交 b 增减性： k0，y 随 x 的增大而增大； k 倾斜度： |k|越大，图象越接近28 / 68 于 y 轴； |k|越小，图象越接近于 x 轴 . 图像的平移： 当 b0时，将直线 y=kx的图象向 上平移 b 个单位； 当 b 3、一次函数 y=kx b的图象的画法 . 根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可 .一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：， .即横坐标或纵坐标为 0的点 . 注：对于 y kx+b 而言，图象共有以下四种情况： 1、 k0， b0 2、 k0， b0 4、直线 y=kx b(k0) 与坐标轴的交点 (1)直线 y=kx 与 x 轴、 y轴的交点都是 (0， 0)； (2)直线 y=kx b与 x 轴交点坐标为 29 / 68 5、 用待定系数法确定函数解析式的一般步骤： 与 y 轴交点坐标为 (0， b) 根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式； 将 x、 y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程； 解方程得出未知系数的值； 将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式 . 6、两条直线交点坐标的求法： 方法：联立方程组求 x、 y 例题：已知两直线 y x+6 与 y 2x-4 交于点 P，求 P点的坐标？ 7、直线 y=k1x+b1 与 y=k2x+b2 的位置关系 30 / 68 两条直线平行： k1=k2 且 b1?b2 两直线相交： k1?k2 两直线重合： k1=k2 且 b1=b2 平行于轴的直线记作 .特别地，轴记作直线 8、正比例函数与一次函数图象之间的关系 一次函数 y=kx b 的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移 |b|个单位长度而得到 . 9、一元一次方程与一次函数的关系 任何一元一次方程到可以转化为 ax+b=0 的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为 0 时，求相应的自变量的值 . 从图象上看，相当于已知直线 y=ax+b 确定它与 x 轴的交点的横坐标的值 . 10、一次函数与一元一次不等式的关系 任何一个一元一次不等式都可以转化为 ax+b0 或 ax+b 31 / 68 11、一次函数与二元一次方程组 以二 元一次方程 ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数 y=? 图象相同 . acx?的 bb 二元一次方程组 ?a1x?b1y?c1ac 的解可以看作是两个一次函数 y=?1x?1 和 b1b1?a2x?b2y?c2 y=?a2cx?2 的图象交点 . b2b2 12、函数应用问题 利用图象解题 通过函数图象获取信息，并利用所获取的信息解决简单的实际问题 . 经营决策问题 函数建模的关键是将实际问题数学化，从而解决最佳方案，最佳策略等问题 .建立一次函数模型解决实际问题，就是要从实际问题中抽象出两个变量，再寻求出两个变量之间的关系，构建函数模型，从而利用数学知题 . 32 / 68 反比例函数 一般地，如果两个变量 x、 y之间的关系可以表示成 y k x (k为常数， k0) 的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数。 取值范围： k 0; 在一般的情况下 , 自变量 x 的取值范围可以是 不等于 0 的任意实数 ; 函数 y 的取值范围也是任意非零实数。 反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线 反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近 X 轴 Y轴但不会与坐标轴相交。 反比例函数的性质： 1.当 k0 时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内， y 随 x的增大而减小；当 k 0时，函数在 x0上同为减函数； k0上同为增函数。 定义域为 x0 ；值域为 y0 。 3.因为在 y=k/x(k0) 中， x 不能为 0， y 也不能为 0，所以33 / 68 反比例函数的图象不可能与 x轴相交，也不可能与 y轴相交。 4. 在一个反比例函数图象上任取两点 P， Q，过点 P， Q分别作 x 轴， y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为 S1， S2，则 S1 S2=|K| 5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x，对称中心是坐标原点。 6.若设 正比例函数 y=mx与反比例函数 y=n/x交于 A、 B两点，那么 A B 两点关于原点对称。 7.设在平面内有反比例函数 y=k/x 和一次函数 y=mx+n，要使它们有公共交点，则 n2 +4km0 。 8.反比例函数 y=k/x 的渐近线： x轴与 y轴。 9.反比例函数关于正比例函数 y=x,y=-x轴对称 ,并且关于原点中心对称 . (第 5 点的同义不同表述 ) 10.反比例上一点 m 向 x、 y轴分别做垂线，交于 q、 w，则矩形 mwqo的面积为 |k| 34 / 68 值相等的反比例函数重合， k 值不相等的反比例函数永不相交。 12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。 二次函数 二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为 f(x)=ax +bx+c(a 不为 0)。其图像是一条主轴平行于 y 轴的抛物线。 一般式 (已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式 .) y=ax+bx+c(a0,a 、 b、 c 为常数 )，顶点坐标为 (-b/2a，(4ac-b /4a) ； 顶点式 (已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式 .) y=a(x+m)+k(a0,a 、 m 、 k 为 常 数 ) 或y=a(x-h)+k(a0,a 、 h、 k为常数 )，顶点坐标为或对称轴为 x=-m或 x=h，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式； 交点式 (已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式 ) 35 / 68 y=a(x-x1)(x-x2) 仅限于与 x轴有交点 A和 B的抛物线 ； 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点 顶点 抛物线有一个顶点 P，坐标为 P ( -b/2a ， 4ac-b /4a ) ，当 -b/2a=0 时， P在 y 轴上；当 = b -4ac=0 时， P 在 x 轴上。 开口 二次项系数 a决定抛物线的开口方向和大小。 当 a 0时，抛物线向上开口；当 a 0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。 决定对称轴位置的因素 一次项系数 b和二次项系数 a共同决定对称轴的位置。 当 a 与 b 同号时，对称轴在 y轴左；当 a 与 b异号时，对称轴在 y轴右。 36 / 68 c 的大小决定抛物线 当 时， 抛物线 ,与与轴交点的位置 . 与轴有且只有一个交点： ,与轴交于负半轴 . ，抛物线经过原点 ; 轴交于正半轴； 考点一、平面直角坐标系 1、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 其中，水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做 y轴或纵轴，取 向上为正方向；两轴的交点 O 叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x 轴和 y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 37 / 68 注意： x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有 “ ， ” 分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当 a ?b时，和是两个不同点的坐标。 考点二、不同位置的点的 坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一象限 ? 点 P(x,y)在第二象限 ?点 P(x,y)在第三象限 ?点 P(x,y)在第四象限 ? x?0,y?0 x?0,y?0 x?0,y?0 x?0,y?0 2、坐标轴上的点的特征 点 P(x,y)在 x 轴上 ? y?0， x 为任意实数 x?0 为任意实数 38 / 68 点 P(x,y)在 y 轴上， y? 点 P(x,y)既在 x 轴上，又在 y?轴上 x， y 同时为零，即点 P坐标为 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上 ?x与 y相等 点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上 ?x与 y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同。 5、关于 x 轴、 y 轴或远点对称的点的坐标的特征 点 P 与点 p 关于 x 轴对称 ?横坐标相等，纵坐标互为相反数 点 P 与点 p 关于 y 轴对称 ?纵坐标相等，横坐标互为相反数 点 P 与点 p 关于原点对称 ?横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离 点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离： 点 P(x,y)到 x 轴的距离等于考点三、函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x39 / 68 的每一个值， y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说 x 是自变量， y 是 x的函数。 1 y 点 P(x,y)到 y 轴的距离等于 x 点 P(x,y)到原点的距离等于 x2?y2 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 列表法 把自变量 x的一系列值和函数 y的对应值列成一个表来表示40 / 68 函数关系，这种表示法叫做列表法。 图像法 用图像表示函数关系的方法 叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 连线：按照自变量由小到大 的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 考点四、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念 一般地，如果 y?kx?b，那么 y叫做 x的一次函数。 y?kx?b 中的 b 为 0 时， y?kx。这时， y 叫做 x 的正比例函数。 特别地，当一次函数 2、一次函数的图像 41 / 68 所有一次函数的图像都是一条直线 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征： 一次函数过原点的直线。 4、正比例函数的性质，一般地，正比例函数 y?kx?b 的图像是经过点的直线；正比例函数 y?kx 的图像是经 y?kx有下列性质： 当 k0时，图像经过第一、三象限， y随 x 的增大而增大； 当k0时， y 随 x的增大而增大 当 k 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式 y?kx?b 有下列性质： y?kx中的常 数 k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式 42 / 68 y?kx?b 中的常数 k 和 b。解这类问题的一般方法是待定系数法。 考点五、反比例函数 1、反比例函数的概念 一般地，函数 y? k x 叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成 y?kx?1的形式。自变量 x 的取值范 围是 x?0 的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。 2、反比例函数的图像 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。43 / 68 由于反比例函数中自变量 x?0，函数 y?0，所以，它的图像与 x 轴、 y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 2 3、反比例函数的性质 4、反比例函数解析式的确定 确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数坐标，即可求出 k的值，从而确定其解析式。 5、反比例函数中反比例系数的几何意义 y? kx 中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的 44 / 68 k (k?0)图像上任一点 Pxk S=PM?PN=y?x?xy。 ?y?,?xy?k,S?k。 x 考点六：二次函数 如下图，过反比例函数 y? 作 x 轴、 y 轴的垂线 PM， PN，则所得的矩形 PMON的面积 1.定义：一般地，如果 y?ax2?bx?c(a,b,c 是常数， a?0)，那么 y叫做 x的二次函数 . 2 45 / 68 y?ax2.二次函数的性质 抛物线函数 y?ax2的顶点是坐标原点，对称轴是 y轴 . y?ax2的图像与 a 的符号关系 . 当 a ?0时 ?抛物线开口向上 ?顶点为其最低点； 当 a?0 时 ?抛物线开口向下 ?顶点为其最高点 . . y轴的抛物线 的解析式形式为 y?ax2 顶点是坐标原点，对称轴是 3.二次函数 y?ax2?bx?c的图像是对称轴平行于 y 轴的抛物线 . 46 / 68 2 b4ac?b2 ， k?4.二次函数 y?ax?bx?c 用配方法可化成：y?a?x?h?k的形式，其中 h?2a4a 2 . 3 5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： y?ax2； y?ax2?k ； y?a?x?h? 2 ； y?a?x?h?k； 47 / 68 2 y?ax2?bx?c. 6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点 . a 的符号决定抛物线的开口方向：当 a ?0时，开口向上；当 a?0 时，开口向下； a 相等，抛物线的开口大小、形状相同 . 平行于 y 轴的直线记作 x?h.特别地， y 轴记作直线 x?0. 7.顶点决定抛物线的位置 .几个不同的二次函数，如果二次项系数 a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同 . 2 48 / 68 b4ac?b?2b4ac?b2，对称轴是直线 x?b. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法公式法： y?ax?bx?c?a?x?， 顶点是配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 y?a?x?h?k的形式，得到顶点为 (h,k)，对称轴是直线 x?h. 2 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛 物线的交点是顶点 . 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失 . 9.抛物线 y?ax2?bx?c中， a,b,c的作用 y?ax2中的 a完全一样 . a 决定开口方向及开口大小，这与 49 / 68 b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置 .由于抛物线 y?ax2?bx?c的对称轴是直线 x? bbb ，故： b?0 时，对称轴为 y 轴； ?0 时，对称轴在 y 轴左侧； ?0 时， aa2a 对称轴在 y 轴右侧 . y?ax2?bx?c 与 y轴交点的位置 . c 的大小决定抛物线 当 x c 50 / 68 ?0 时， y?c， 抛物线 y?ax2?bx?c 与 y 轴有且只有一个交点： ?0，抛物线经过原点 ; c?0, 与 y 轴交于正半轴； c?0, 与 y轴交于负半轴 . 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立 .如抛物线的对称轴在 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下： y 轴右侧，则 b ?0. a 4 11.用待定系数法求二次函数的解析式 一般式： y?ax2?bx?c.已知图像上三点或三对 x、 2 y 的值，通常选择一般式 . 51 / 68 顶点式： y?a?x?h?k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式 . 交点式：已知图像与 x轴的交点坐标 x1、 x2，通常选用交点式： y?a?x?x1?x?x2?. 12.直线与抛物线的交点 y 轴与抛物线 y?ax2?bx?c得交点为 (0, c). y轴平行的直线 x?h与抛物线 y?ax2?bx?c有且只有一个交点(h,ah2?bh?c). 与 抛物线与 x轴的交点 二次函数 y?ax2?bx?c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x1、 x2，是对应一元二次方程 ax2?bx?c?0 的两个实数根 . 抛物线与 x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 52 / 68 ?0?抛物线与 x轴相交； 有一个交点 ?0?抛物线与 x 轴相切； 没有交点 ?0?抛物线与 x 轴相离 . 有两个交点 ? 平行于 x 轴的直线与抛物线的交点 同一样可能有 0个交点 、 1 个交点、 2个交点 .当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 k，则横坐标是 ax2?bx?c?k的两个实数根 . y?kx?n?k?0?的图像 l 与二次函数 y?ax?bx?c?a?0?的图像 G 2 的交点，由方程组 y?kx?ny?ax2?bx?c 53 / 68 的解的数目来确定： 方程组有两组不同的解时 ?l 与 G 有两个交点 ; 方程组只有一组解时 ?l 与 G 只有一个交点； 方程组无解时 ?l与 G 没有交点 . 抛物线与 0?， B?x2， 0?，由于 x1、 x2是方程 x 轴两交点之间的距离：若抛物线 y?ax2?bx?c 与 x轴两交点为 A?x1， ax2?bx?c?0的两个根，故 bc x1?x2?,x1?x2?AB?x1?x2? aa x1?x22 ? x1?x22 b2?4ac?b?4c 54 / 68 ?4x1x2? aaa?a? 2 5 知识点一、平面直角坐标系 1、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 其中，水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做 y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点 O 叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x 轴和 y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 55 / 68 注意： x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用表示，其顺序是横坐标在前，纵坐 标在后，中间有 “ ， ” 分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当 a?b 时，和是两个不同点的坐标。 知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一象限 ?x?0,y?0 点 P(x,y) 在 第 二 象 限 ?x?0,y?0 点 P(x,y) 在 第 三 象限 ?x?0,y?0 点 P(x,y)在第四象限 ?x?0,y?0 2、坐标轴上的点的特征 点 P(x,y)在 x 轴上 ?y?0， x 为任意实数 点 P(x,y)在 y 轴上 ?x?0， y 为任意实数 点 P(x,y)既在 x 轴上，又在 y 轴上 ?x， y 同时为零，即点 P坐标为 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 56 / 68 点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上 ?x与 y相等 点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上 ?x与 y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行 于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同。 5、关于 x轴、 y轴或远点对称的点的坐标的特征 点 P 与点 p 关于 x 轴对称 ?横坐标相等，纵坐标互为相反数 点 P 与点 p 关于 y 轴对称 ?纵坐标相等，横坐标互为相反数 点 P 与点 p 关于原点对称 ?横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离 点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离： 点 P(x,y)到 x 轴的距离等于 y 点 P(x,y)到 y 轴的距离等于x 点 P(x,y)到原点的距离等于 x2?y2 知识点三、函数及其相关概念 1、变量与常量 57 / 68 在某一变化过程中，可以取 不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的每一个值， y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说 x 是自变量， y 是 x 的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 列表法 把自变量 x的一系列值和函数 y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 图像法 58 / 68 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 知识点四、正比例函数和一次函数