考研高数知识点总结

1 / 53 考研高数知识点总结 考研高等数学重点知识点总结 高等数学是考研数学的重中之重，所占的比重较大，在数学一、三中占 56%，数学二中占 78%，重点难点较多。具体说来，大 家需要重点掌握的知识点有几以下几点： 1.函数、极限与连续：主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数 ;讨论函数连续性和判断间断点类型 ;无穷小阶的比较 ;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。 2.一元函数微分学：主要考查导数与微分的定义 ;各种函数导数与微 分的计算 ;利用洛比达法则求不定式极限 ;函数极值 ;方程的的个数 ;证明函数不等式 ;与中值定理相关的证明 ;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用 ;用导数研究函数性态和描绘函数图形 ;求曲线渐近线。 3.一元函数积分学：主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算 ;变上限积分的求导、极限等 ;积分中值定理和积分性2 / 53 质的证明 ;定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。 4.多元函数微分学：主要考查偏导数存在、可微、连续的判断 ;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数 ;多元函数极值或条件极值在与经济上的应用 ;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。此外，数学一还要求会计算方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。 5.多元函数的积分学：包括二重积分在各种坐标下的计算 ，累次积分交换次序。数一还要求掌握三重积分，曲线积分和曲面积分以及相关的重要公式。 6.微分方程及差分方程：主要考查一阶微分方程的通解或特解 ;二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解 ;微分方程的建立与求解。差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法 由于微积分的知识是一个完整的 体系，考试的题目往往带有很强的综合性，跨章节的题目很多，需要考生对整个学科有一个完整而系统的把握。最后凯程考研名师预祝大家都能取得好成绩。 3 / 53 凯程教育张老师整理了几个节约时间的准则：一是要早做决定，趁早备考 ;二是要有计划，按计划前进 ;三是要跟时间赛跑，争分夺秒。总之，考研是一场 “ 时间战 ” ，谁懂得抓 紧时间，利用好时间，谁就是最后的胜利者。 1.制定详细周密的学习计划。 这里所说的计划，不仅仅包括总的复习计划，还应该包括月计划、周计划，甚至是日计划。努力做到这一点是十分困难的，但却是非常必要的。我们要把学习计划精确到每一天，这样才能利用好每一天的时间。当然，总复习计划是从备考的第 一天就应该指定的 ;月计划可以在每一轮复习开始之前，制定未来三个月的学习计划。以此类推，具体到周计划就是要在每个月的月初安排一月四周的学习进程。那么，具体到每一天，可以在每周的星期一安排好周一到周五的学习内容，或者是在每一天晚上做好第二天的学习计划。并且，要在每一天睡觉之前检查一下是否完成当日的学习任务，时时刻刻督促自己按时完成计划。 方法一：规划进度。分别制定总计划、月计划、周计划、日计划学习时 间表，并把它们 4 / 53 贴在最显眼的地方，时刻提醒自己按计划进行。 方法二：互相监督。和身边的同学一起安排计划复习，互相监督，共同进步。 方法三：定期考核。定期对自己复习情况进行考察，灵活运用笔试、背诵等多种形式。 2.分配好各门课程的复习时间。 一天的时间是有限的，同学们应该按照一定的规律安排每天的学习，使时间得到最佳利用。一般来说上午的头脑清醒、状 态良好，有利于背诵记忆。除去午休时间，下午的时间相对会少一些，并且下午人的精神状态会相对低落。晚上相对安静的外部环境和较好的大脑记忆状态，将更有利于知识的理解和记忆。据科学证明，晚上特别是九点左右是一个人记忆力最好的时刻，演员们往往利用这段时间来记忆台词。因此，只要掌握了一天当中每个时段的自然规律，再结合个人的生活学习习惯分配好时间，就能让每一分每一秒都得到最佳利用。 方法一：按习惯分配。根据个人生活学习习惯，把专业课和公共课分别安排在一天的不同时段。比如：把英5 / 53 语复习安排在上午，练习听力、培养语感，做英 语试题 ;把政治安排在下午，政治的掌握相对来说利用的时间较少 ;把专业课安排在晚上，利用最佳时间来理解和记忆。 方法二：按学习进度分配。考生可以根据个人成绩安排学习，把复习时间向比较欠缺的科目上倾斜，有计划地重点复习某一课程。 方法三：交叉分配。在各门课程学习之间可以相互穿插别的科目的学 习，因为长时间接受一种知识信息，容易使大脑产生疲劳。另外，也可以把一周每一天的同一时段安排不同的学习内容。 凯程考研 历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！ 考研数学：高数重要知识点总结 考研日一天天近了，要求各位考研生必须要高效率进行考研复习，在扎实基础知识的基础上，注重总结答题思路及方法。为帮助各位考研生复习的更加全面，凯程考 研小编对高数部6 / 53 分中的重要考点进行了整理，如下： 1.函数、极限与连续：主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数 ;讨论函数连续性和判断间断点类型 ;无穷小阶的比较 ;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。 2.一元函数微分学：主要考查导数与微分的定义 ;各种函 数导数与微分的计算 ;利用洛比达法则求不定式极限 ;函数极值 ;方程的的个数 ;证明函数不等式 ;与中值定理相关的证明 ;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用 ;用导数研究函数性态和描绘函数图形 ;求曲线渐近线。 3.一元函数积分学：主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算 ;变上限积分的求导、极限等 ;积分中值定理和积分性质的证明 ;定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。 4.多元函数微分学：主要考查偏导数存在、可微、连续的判断 ;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数 ;多元函数极值或条件极值在与经济上的应用 ;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。此外，数学一还要求会计算方向导数、7 / 53 梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。 5.多元函数的积分学：包括二重积分在各种坐 标下的计算，累次积分交换次序。数一还要求掌握三重积分，曲线积分和曲面积分以及相关的重要公式。 6.微分方程及差分方程：主要考查一阶微分方程的通解或特解 ;二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解 ;微分方程的建立与求解。差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法 打有准备之战，胜算 才能更大。希望各 2016 考研生抓紧时间复习，在考研中取得好成绩。 凯程考研，考研机构， 10 年高质量辅导，值得信赖！ 以学员的前途为已任，为学员提 供高效、专业的服务，团队合作 ,为学员 服务，为学员引路。 凯程考研 历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！ 8 / 53 凯程考研： 凯程考研成立于 XX 年，具有悠久的考研辅导历史，国内首家全日制 集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业： 以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，9 / 53 团队合作，为学员服务，为学员引路。 特别说明：凯程学员经验谈视频在凯程官方网站有公布，同学们和家长可 以查看。扎扎实实的辅导，真真实实的案例，凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里。 如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅 导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。 10 / 53 对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下 2016 五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士 10人，人大金融硕士 15个，中财和贸大金融硕士合计 20 人，北师大教育学 7 人，会计硕士保录班考取 30人，翻译硕士接近 20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学 和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多凯程考研，考研机构， 10年高质量辅导，值得信赖！ 以学员的前途为已任，为学员提 供高效、专业的服务，团队合作 ,为学员服务，为学员引路。 凯程考研 历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！ 11 / 53 学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。 凯程考研历年战绩辉煌，成就显著！ 在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下国内最高学府清华大学五道口金融学院金融硕士 29 人，占五道口金融学院录取总人数的约 50%，五道口金融学院历年状元均出自凯程 .例如， 2016 年状元武玄宇 ,2016 年状元李少华， 2016年状元马佳伟， 2016年状元陈玉倩 ;考入北大经院、人大、中财、外经贸、复旦、上财、上交、社科院、中科院金融硕士的同学更 是喜报连连，总计达到 150 人以上，此外，还有考入北大清华人大法硕的张博等 10 人，北大法学考研王少棠，北大法学经济法状元王 yuheng 等 5 人成功考入北大法学院，另外有数 10 人考入人大贸大政法公安大学等名校法学院。北师大教育学和全日制教育硕士辅导班学员考入 15 人，创造了历年最高成绩。会计硕士保录班考取30多人，中传郑家威勇夺中传新闻传播硕士状元，王园璐勇夺中传全日制艺术硕士状元，对于如此优异的成绩，凯程辅12 / 53 导班班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名 校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。 考研路上，拼搏和坚持，是我们成功的必备要素。 王少棠 本科学校：南开大学法学 录取学校：北大法学国际经济法方向第一名 总分： 380+ 在来到凯程辅导之前，王少棠已经决定了要拼搏北大法学院，他有自己的理想，对法学的痴迷的追求，决定到最高学府北大进行深造，他的北大的梦想一直激励着他前进，在凯程辅导班的每一刻，他都认真听课、与老师沟通，每一个重点知识点都不放过，对于少棠来说，无疑是无比高兴的是，13 / 53 圆梦北大法学院。在复试之后，王少棠与凯程老师进行了深入沟通，讲解了自己的考研经验 ，与广大考北大法学，人大法学、贸大法学等同学们进行了交流，录制为经验谈，在凯程官方网站能够看到。 王少棠参加的是凯程考研辅导班，回忆自己的辅导班的经历，他说： “ 这是我一辈子也许学习最投入、最踏实的地方，我有明确的复习目标，有老师制定的学习计划、有生活老师、班主任、授课老师的管理，每天 6 点半就起床了，然后是吃早餐，进教室里早读， 8 点开始单词与长难句测试， 9 点开始上课，中午半小时吃饭，然后又回到教室 里学习了，夏天比较凯程考研，考研机构， 10年高质量辅导，值得信赖！ 以学员的前途为已任，为学员提 供高效、专业的服务，团队合作 ,为学员服务，为学员引路。 凯程考研 历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！ 困了就在桌子上睡一会，下午接着上课，晚上 自习、测试、答疑之类，晚上 11点 30熄灯睡觉。 ” 14 / 53 这样的生活，贯穿了我在辅导班的整个过程，王少棠对他的北大梦想是如此的坚持，无疑，让他忘记了在考研路上的辛苦，只有坚持的信念，只有对梦想的勇敢追求。 龚辉堂 本科西北工业大学物理 考入 :五道口金融学院金融硕士 (原中国人民银行研究生部 ) 作为跨地区跨校跨专业的三跨考生 ,在凯程辅导班里经常遇到的 ,五道口金融 学院本身公平的的传统 ,让他对五道口充满了向往 ,所以他来到了凯程辅导班 ,在这里严格的训练 ,近乎严苛的要求 ,使他一个跨专业的学生 ,成功考入金融界的黄埔军校 ,成为五道口金融学院一名优秀的学生 ,实现了人生的重大转折。 在凯程考研辅导班，虽然学习很辛苦，但是每天他都能感觉到自己在进步，改变了自己以往在大学期间散漫的学习状态，进入了高强度学习状态。在这里很多课程让他收获巨大，例如公司理财老师，推理演算，非常 纯熟到位，也是每个学15 / 53 生学习的榜样，公司理财老师带过很多学生，考的非常好。在学习过程中，拿下了这块知识，去食堂午餐时候加一块鸡翅，经常用小小的奖励激励自己，寻找学习的乐趣。在辅导班里，学习成绩显著上升。 在暑期，辅导班的课程排得非常满，公共课、专业课、晚自习、答疑、测试，一天至少 12 个小时及以上。但是他们仍然特别认真，在这个没有任何干扰的考研氛围里，充实地学习。 在经过暑期严格的训练之后，龚对自己考入五道口更有信心了。在与老师沟通之后，最终确定了五道口金融学院作为自己最后的抉择，决定之后，让他更加发奋努力。 五道口成绩公布，龚辉堂成功了。这个封闭的考研集训，优秀的学习氛围，让他感觉有质的飞跃，成功的喜悦四处飞扬。 另外，在去年，石继华，本科安徽大学，成功考入五道口金融学院，也就是说，我们只要努力，方向正确，就能取得优异的成绩。师弟师妹们加油，五道口、人大、中财、贸大这些名校等着你来。 16 / 53 黄同学 (女生 ) 本科院校：中国青年政治学院 报考院校：中国人民大学金融硕士 总分：跨专业 380+ 初试成绩非常理想，离不开老师 的辛勤辅导，离不开班主任的鼓励，离不开她的努力，离不开所有关心她的人，圆梦人大金融硕士，实现了跨专业跨校的金融梦。 黄同学是一个非常腼腆的女孩子，英语基础算是中等，专业课是 0基础开始复习，刚刚开始有点吃力，但是随着课程的展开，完全能够跟上了节奏。 初试成绩公布下来，虽然考的不错，班主 任老师没有放松对复试的辅导，确保万无一失，拿到录取通知书才是最终的尘埃落地，开始了紧张的复试指导，反复的模拟训练，常见问题、礼仪训练，专业知识训练，每一个细节都训练好之后，班主任终于放心地让她去复试，果然，凯程考研，考研机构，10 年高质量辅导，值得信赖！ 以学员的前途为已任，为学17 / 53 员提 供高效、专业的服务，团队合作 ,为学员服务，为学员引路。 凯程考研 历史悠久，专注考研 ，科学应试，严格管理，成就学员！ 她以高分顺利通过复试，拿到了录取通知书。这是所有凯程辅导班班主任、授课老师、生活老师的成功。 张博，从山东理工大学考入北京大学法律硕士，我复习的比较晚，很庆幸选择了凯程，法硕老师讲的很到位，我复习起来减轻了不少负担。愿大家在考研中马到成功，也祝愿凯程越办越好。 张亚婷，海南师范大学小学数学专业，考入了北京师范大学教育学部课程与教学论方向，成功实现了自己的北师大梦想。特别感谢凯程的徐影老师全方面的指导。 孙川川，西南大学考入中国传媒大学艺术硕士，播音主持专业。在考研辅导班，进步飞快，不受其他打扰，能够全心全18 / 53 意投入到学习中。凯程老师 也很负责，真的很感谢他们。 在凯程考研辅导班，他们在一起创造了一个又一个奇迹。从河南理工大学考入人大会计硕士的李梦说：考取人大，是我的梦想，我一直努力，肯定能够成功的，只要我们不放弃，不抛弃，并且一直在努力前进创造成功的条件，每个人都能够成功。正确的方法 +不懈的努力 +良好的环境 +严格的管理 =成功。我相信，每个人都能够成功。 凯程考研，考研机构， 10 年高质量辅导，值得信赖！ 以学员的前途为已任，为学员提 供高效、专业的服务，团队合作 ,为学员服务，为学员引路。 凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！ 考研数学：高数重要知识点总结 考研日一天天近了，要求各位考研生必须要高效率进行考研复习，在扎实基础知识的基础上，注重总结答题思路及方 法。为帮助各位考研生复习的更加全面，凯程考研小编对高数部分中的重要考点进行了整理，如下： 19 / 53 1.函数、极限与连续：主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数 ;讨论函数连续性和判断间断点类型 ;无穷小阶的比较 ;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。 2.一元函数微分学：主要考查导数与微分的定义 ;各种函数导数与微分的计算 ;利用洛比达法则求不定式极限 ;函数极值 ;方程的的个数 ;证明函数不等式 ;与中值定理相关的证明 ;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用 ;用导数研究函数性态和描绘函数图形 ;求曲线渐近线。 3.一元函数积分学：主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算 ;变上限积分的求导、极限等 ;积分中值定理和积分性质的证明 ;定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。 4.多元函数微分学：主要考查偏导数存在、可微、连续的判断 ;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数 ;多元函数极值或20 / 53 条件极值在与经济上的应用 ;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。此外，数学一还要求会计算方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。 5.多元函数的积分学：包括二重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序。数一还要求掌握三重积分，曲线积分和曲面积分以及相关的重要公式。 6.微分方程及差分方程：主要考查一阶微分方程的通解或特解 ;二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解 ;微分方程的建立与求解。差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法 打有准备之战，胜算才能更大。希望各 2016 考研生抓紧时间复习，在考研中取得好成绩。 一分耕耘一分收获。加油！ 第 1 页 共 1 页 考研数学讲座 21 / 53 考好数学的基点 “ 木桶原理 ” 已经广为人所知晓。但真要在做件事时找到自身的短处，下意识地有针对性地采取措施，以求得满意的结果。实在是一件不容易的事。 非数学专业的本科学生与数学专业的学生的最基本差别，在于概念意识。 数学科学从最严密的定义出发，在准确的概念与严密的逻辑基础上层层叠叠，不断在深度与广度上发展。形成一棵参天大树。 在高等数学中，出发点处就有函数，极限，连续，可导，可微等重要概念。 在线性代数的第一知识板块中，最核心的概念是矩阵的秩。而第二知识板块中，则是矩阵的特征值与特征向量。 在概率统计中， 第一重要的概念是分布函数。不过，概率不是第一层次基础课程。学习概率需要学生有较好的高等数学基础。 非数学专业的本科学生大多没有概念意识，记不住概念。更不会从概念出发分析解决问题。基础层次的概念不熟，下一层次就云里雾里了。这是感到数学难学的关键。 22 / 53 大学数学教学目的，通常只是 为了满足相关本科专业的需要。教师们在授课时往往不会太重视，而且也没时间来进行概念训练。 考研数学目的在于选拔，考题中基本概念与基本方法并重。这正好击中考生的软肋。在考研指导课上，往往会有学生莫名惊诧， “ 大一那会儿学的不一样。 ” 原因就在于学过的概念早忘完了。 做考研数学复习，首先要在基 本概念与基本运算上下足功夫。 按考试时间与分值来匹配，一个 4 分的选择题平均只有 5 分钟时间。而这些选择题却分别来自三门数学课程，每个题又至少有两个概念。你可以由此体验选拔考试要求你对概念的熟悉程度。 从牛顿在硕士生二年级的第一篇论文算起，微积分有近四百年历史。文献浩如烟海，知识千锤百炼 。非数学专业的本科生们所接触的，只是初等微积分的一少部分。方法十分经典，概念非常重要。学生们要做的是接受，理解，记忆，学会简23 / 53 单推理。当你面对一个题目时，你的自然反应是， “ 这个题目涉及的概念是 - - -” ，而非 “ 在哪儿做过这道题 ” ，才能算是有点入门了。 你要考得满意吗？基点不在于你看了多少难题，关键在于你是否对基本概念与基本运算非常熟悉。 阳春三月风光好，抓好基础正当时。 考研数学讲座笔下生花花自红 在爱搞运动的那些年代里，数学工作者们经常受到这样的指责， “ 一支笔，一张纸，一杯茶，鬼画桃符，脱离实际。 ” 发难者不懂基础研究的特点，不懂得考虑数学问题时 “ 写 ”与 “ 思 ” 同步的重要性。 也许是计算机广泛应用的影响，今天的学生们学习数学时，也不太懂得 “ 写 ” 的重要性。 考研的学生们，往往拿着一本厚厚的考研数学指导资料，看题看解看答案或看题想 解翻答案。 24 / 53 动笔的时间很少。 数学书不比小说。看数学书和照镜子差不多，镜子一拿走，印象就模糊。 科学的思维是分层次的思维。求解一个数学问题时，你不能企图一眼看清全路程。你只能踏踏实实地考虑如何 迈出第一步。 或 “ 依据已知条件，我首先能得到什么？ ” ； 或 “ 要证明这个结论，就是要证明什么？ ” 。 在很多情形下，写出第一步与不写的感觉是完全不同 的。下面是一个简单的例。 “ 连续函数与不连续函数的和会怎样？ ” 写成 “ 连续 A + 不连续 B = ？ ” 后就可能想到，只有两个答案，分别填出来再说。 如果， “ 连续 A + 不连续 B = 连续 C” 移项，则 “ 连续25 / 53 C 连续 A = 不连续 B” 这与定理矛盾。所以有结论： 连续函数与不连续函数的和一定不连续。 有相当一些数学定义，比如 “ 函数在一点 可导 ” ，其中包含有计算式。能否掌握并运用这些定义，关键就在于 是否把定义算式写得滚瓜烂熟。比如， 题面上有已知条件 f (1) 0，概念深，写得熟的人立刻就会先写出 h 趋于 0时， lim( f(1+h) f(1） )/h 0 然后由此自然会联想到，下一步该运用极限的性质来推理。而写不出的人就抓瞎了。 又比如线性代数中特征值与特征向量有定义式 A= ， 0 ，要是移项写成 = 0 ， 0 ， 26 / 53 这就表示 是齐次线性方程组 X = 0 的非零解，进而由理论得到算法。 数学思维的特点之一是 “ 发散性 ” 。一个数学表达式可能有几个转换方式，也许从其中一个方式会得到一个 新的解释，这个解释将导引我们迈出下一步。 车到山前自有路，你得把车先推到山前啊。望山跑死马。思考一步写一步，观测分析迈下步。路只能一 步步走。陈景润那篇名扬世界的 “1+2” 论文中有 28个 “ 引理 ” ，那就是他艰难地走向辉煌的 28步。 对于很多考生来说，不熟悉基本计算是他们思考问题的又一大障碍。 高等数学感觉不好的考生，第一原因多半是不会或不熟悉求导运算。求导运算差，讨论函数的图形特征， 积分，解微分方程等，反应必然都慢。 27 / 53 线性代数中矩阵的乘法与矩阵乘积的多种分块表达形式，那是学好线性代数的诀窍。好些看似很难的问题， 选择一个分块变形就明白了。 概率 统计中，要熟练地运用二重积分来计算二维连续型随机变量的各类问题。对于考数学三的同学来说， 二重积分又是高等数学部分年年必考的内容。掌握了二重积分，就能在两类大题上得分。 要考研吗，要去听指导课吗，一定要自己先动笔，尽可能地把基本计算练一练。 我一直向考生建议，临近考试的一段时间里，不仿多自我模拟考试。在限定的考试时间内作某年研考的全巻。中途不翻书，不查阅，凭已有能力做到底。看看成绩多少。不要以为你已经看过这些试卷了。就算你知道题该怎么做， 你一写出来也可能会面目全非。 28 / 53 多动笔啊， “ 写 ”“ 思 ” 同步步履轻，笔下生花花自红。 考研数学讲座极限概念要体 极限概念是微积分的起点。说起极限概念的历史，学数学的都多少颇为伤感。 很久很久以前，西出阳关无踪影的老子就体验到， “ 一尺之竿，日取其半，万世不竭。 ” 近两千年前，祖氏父子分别用园的内接正 6n 边形周长替带园周长以计算园周率；用分割曲边梯形为 n个窄曲边梯形，进而把窄曲边梯形看成矩形来计算其面积。他们都体验到，“ 割而又割，即将 n 取得越来越大，就能得到越来越精确的园周率值或面积。 ” 国人朴实的体验延续了一千多年，最终没有思维升华得到极限概念。而牛顿就在这一点上率先突破。 极限概念起自于对 “ 过程 ” 的观察。极限概念显示着过程中两个变量发展趋势的 关联。自变量的变化趋势分为两类，一类是 x x0 ；一类是 x ， 29 / 53 “ 当自变量有一个特定的发展趋势时，相应的函数值是否无限接近于一个确定的数 a ？ ” 如果是，则称数 a为函数的极限。 “ 无限接近 ” 还不是严密的数学语言。但这是理解极限定义的第一步，最直观的一步。 学习极限概念，首先要学会观察，了解过程中的变量有无一定的发展趋势。学习体验相应的发展趋势。其次才是计算或讨论极限值。 自然数列有无限增大的变化趋势。按照游戏规则，我们还是说自然数列没有极限。 自 然数 n 趋于无穷时，数列 1/n的极限是 0； x趋于无穷时，函数 1/x 的极限是 0； 回顾我们最熟悉的基本初等函数，最直观的体验判断是， x 趋于正无穷时，正指数的幂函数都与自然数列一样，无限增大，没有极限。 30 / 53 x 趋于正无穷时，底数大于 1 的指数函数都无限增大，没有极限。 x 0+ 时，对数函数 lnx 趋于 ； x 趋于正无穷时， lnx无限增大，没有极限。 x 时，正弦 sinx与余弦 conx 都周而复始，没有极限。在物理学中，正弦 y = sinx的图形是典型 的波动。 我国高等数学教科书上普遍都选用了 “ 震荡因子 ”sin 。当 x 趋于 0 时它没有极限的原因是震荡。具体想来，当 x由变为时，只向中心点 x = 0 靠近了一点点，而正弦 sinu却完成了 140多个周期。函数的图形在 +1与 1 之间上下波动 140多次。在 x = 0 的邻近，函数各周期的图形紧紧地 “ 挤 ” 在一起，就好象是 “ 电子云 ” 。 当年我研究美国各大学的高等数学教材时，曾看到有的教材竟然把函数 y = sin 的值整整印了一大页，他们就是要让学生更具体地体验它的数值变化。 x 趋于 0 时 sin 不是无穷大，直观地说就是函数值震荡而没有确定的发展趋势。 1/x 为虎作伥，让震荡要多疯狂有多疯31 / 53 狂。 更深入一步，你就得体验，在同一个过程中，如果有多个变量趋于 0，就可能有的函数趋于 0 时 “ 跑得更快 ” 。 这就是高阶，低阶概念。 考研数学还要要求学生对极限有更深刻的体验。 多少代人的千锤百炼，给微积分铸就了自己的倚天剑。这就是一套精密的极限语言，。没有这套语言，我们没有办法给出极限定义，也无法严密证明任何一个极限问题。但是，这套语言是高等微积分的内容，非数学专业的本科学生很难搞懂。数十 年来，考研试卷上都没有出现过要运用 语言的题目。 研究生入学考题中，考试中心往往用更深刻的体验来考查极限概念。这就是 “ 若 x趋于 时，相应函数值 f有正的极限 总有 f 0 ” *“ 若 x 趋于 x0 时，相应函数值 f 有正的极限，则在 x0 的一个适当小的去心邻域内， f恒正 ” 32 / 53 这是已知函数的极限而回头观察。逆向思维总是更加困难。不过，这不正和 “ 近朱者赤，近墨者黑 ” 一个道理吗。 除了上述苻号体验外，能掌握下边简单的数值体验则更好。 若 x 趋于无穷时，函数的极限为 0， 则 x 的绝对值充分大时，(你不仿设定一点 x0，当 x x0 时， ) 函数的绝对值恒小于 1 ，则当 x 充分大时， (你不仿设定一点 x0，当 x x0时， ) 若 x 趋于无穷时，函数为无穷大，则 x的绝对值充分大时，( 你不仿设定一点 x0 ， 当 x x0时， ) 函数的绝对值全大于 1 *若 x 趋于 0 时，函数的极限为 0，则在 0的某个适当小的去心邻域内，或 x的绝对值充分小时，函数的绝对值全小于 1 没有什么好解释的了，你得反复领会极限概念中 “ 无限接近 ” 的意义。 你可以试着理解那些客观存在，可以自由设定的点 x0，或充分小的数 0，并利用它们。 33 / 53 考研数学讲座 “ 存在 ” 与否全面看 定义，是数学的基本游戏规则。所有的定义条件都是充分必要条件。 即便有了定义，为了方便起见，数学工作者们通常会不遗余力地去寻觅既与定义等价，又更好运用的描述方式。讨论极限的存在性，就有如下三个常用的等价条件。 1 海涅定理 观察 x 趋 于 x0 的过程时，我们并不追溯 x 从哪里出发；也没有考虑它究竟以怎样的方式无限靠近 ；我们总是向未来，看发展。因而最直观的等价条件就是海涅定理： 定理 极限存在的充分必要条件是，无论 x 以何种方式趋于x0 ，相应的函数值总有相同的极限 A 存在。 这个定理条件的 “ 充分性 ” 没有实用价值。事实上我们不可能穷尽 x 逼近 x0 的所有方式。很多教科书都没有点出这一定理，只是把它的 “ 必要性 ” 独立成为极限的一条重要性 质。即唯一性定理： 34 / 53 “ 如果函数有极限存在，则极限唯一。 ” 唯一性定理的基本应用之一，是证明某个极限不存在。 2用左右极限来描述的等价条件 用 语言可以证得一个最好用也最常用的等价条件： 定理 极限存在的充分必要条件为左、右极限存在且相等。 这是在三类考研试题中出现概率都为 1的考点。考研数学年年考连续定义，导数定义。本质上就是考查极限 存在性。这是因为 函数在一点连续，等价于函数在此点左连续，右连续。 函数在一点可导，等价于函数在此点的左、右导数存在且相等。 由于初等函数有较好的分析性质。考题往往会落实 到分段函数的定义分界点或特殊定义点上。考生一定要对分段函数敏感，一定要学会在特殊点的两側分别考察函数的左右极限。 35 / 53 突出极限值的等价条件 考数学一，二的考生，还要知道另一个等价条件： 定理 函数 f在某一过程中有极限 A存在的充分必要条件是，f A为无穷小。 从 “ 距离 ” 的角度来理解，在某一过程中函数 f与数 A无限接近，自然等价于函数值 f与数 A 的距离 f A 无限接近于 0 如果记 = f A，在定理条件下得到一个很有用的描述形式转换： f= A + 考研题目经常以下面三个特殊的 “ 不存在 ” 为素材。 “ 存在 ” 与否全面看。有利于我们理解前述等价条件。我 用 exp表示以 e 为底数的指数函数，内填指数。 例 1 x 趋于 0时，函数 exp 不存在极限。 36 / 53 分析 在原点 x = 0 的左侧， x恒负，在原点右侧， x 恒正。所以 x 从左侧趋于 0 时，指数 1/x 始终是负数，故左极限 f= 0 ， x 从右侧趋于 0 时，函数趋向 + ， 由定理，函数不存在极限。也不能说， x 趋于 0 时， exp是无穷大 但是，在这种情形下，函数图形在点 x = 0有竖直渐近线 x = 0 例 2 x 趋于 0时， “ 震荡因子 ”sin 不存在极限。俗称震荡不存在。 分析 用海涅定理证明其等价问题， “x 趋于 + 时， sinx 不存在极限。 ” 分别取 x = n 及 x = 2n 两个数列， n 趋于 + 时，它37 / 53 们都趋于 + ，相应的两列正弦函数值却分别有极限 0 与 1，不满足唯一性定理）。故 sinx不存在极限。 例 3 x 趋于 时，函数 y = arctgx 不存在极限。 分析 把 视为一个虚拟点，用定理。由三角函数知识得， x 趋于 + 时，函数极限为 /2 ， x 趋于 时，函数极限为 /2 ， 故，函数 y = arctgx 不存在极限。 请注意，证明过程表明，函数 y = arctgx 的图形有两条水平渐近线。即 方向有水平渐近线 y = /2 ； + 方向则有 有 y =/2 例 4 当 x 1 时， 函数 f (x) = (exp (1/(x 1) )( x平方 1)(x 1) 的极限 等于 2 等于 0 为 不存在但不为 38 / 53 分析 考查 x 1 时函数的极限 ，通常认为 x 不取 1 ；而 x1 时， 可以约去分母 = 0 ， x 从右侧趋于 1 时，函数趋向 + ， ） 例 5 f=） ） + sinx x , 求 x趋于 0 时函数的极限。 分析 绝对值函数 y = | x | 是典型的分段函数。 x = 0 是其定义分界点。一看就知道必须分左右计算。如果很熟悉 “ 典型不存在 1” ，这个 5 分题用 6 分钟足够了。实际上 x 0 - 时， lim f=/ 1 = 1 x 0+ 时， exp + ，前项的分子分母同除以 exp 再取极限 lim f=/+1 = 1 由定理得 x 0 时 ， lim f= 1 例 6 39 / 53 曲线 y = exp(1/x 平方 ) arctg(x 1)(x+2）的渐近线共 有 1 条 2 条。 3条。 4 条。 选 分析 先观察 x趋于 时函数的状态，考查曲线有无水平渐近线；再注意函数结构中，各个因式的分母共有三个零点。即 0， 1 和 2；对于每个零点 x0 ，直线 x = x0 都可能是曲线的竖直渐近线，要逐个取极限来判断。实 际上有 x 时， lim y =/4 ， 曲线有水平渐近线 y =/4 其中， x 时， lim exp(1/x 平方 ) = 1 lim(x 1)(x+2） = 1 考查 “ 嫌疑点 ” 1 和 2时，注意运用 “ 典型不存在 3” ， f= e/2 ； f= e/2 ， x = 1 不是曲线的竖直渐近线。 40 / 53 类似可以算得 x = 2 不是曲线的竖直渐近线。 x 0 时，前因式趋向 + ；后因式有极限 arctg， x = 0 是曲线的竖直渐近线。 啊，要想判断准而快，熟记 “ 三个不存在 ” 。看了上面几例，你有体会吗？ 凯程考研 历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！ 考研数学：高数重点知识总结 对于重点考查内容要着重复习，凯程考研小编整理了考研数学高数中的重要考点，希望各位考生根据自身实际情况对不熟悉的知识加以理解、 掌握。 1.定义 (传统 )： 如果在某变化过程中有两个变量 x， y 并且对于 x 在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则， y 都有唯一确定的值和它对应，那么 y 就是 x 的函数， x 叫做自变量， x41 / 53 的取值范围叫做函数的定义域，和 x 的值对应的 y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 2.构成函数的三要素： 定义域，值域，对应法则。 值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。 3.对函数概念的理解： 函数三要素 (1)核心 对应法则等式 y=f(x)表明，对于定义域中的任意 x，在 “ 对应法则 f” 的作用下，即可得到 y.因此， f 是使 “ 对应 ” 得以实现的方法和途径。是联系 x 与 y 的纽 带，从而是函数的核心。对于比较简单的函数，对应法则可以用一个解析式来表示，但在不少较为复杂的问题中，函数的对应法则 f 也可以采用其他方式 (如图表或图象等 )。 (2)定义域定义域是自变量 x 的取值范围，它是函数的一个42 / 53 不可缺少的组成部分，定义域不同而解析式相同的函数，应看作是两个不同的函数。 在中学阶段所研究的函数通常都是能够用解析式表示的。如果没有特别说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有 实数 x 的集合。在实际问题中，还必须考虑自变量所代表的具体的量的允许取值范围问题。 (3)值域值域是全体函数值所组成的集合。在一般情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也就随之确定。因此，判断两个函数是否相同，只要看其定义域与对应法则是否完全相同，若相同就是同一个函数，若定义域和对应法则中有一个不同，就不是同一个函数。 凯程考研 历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！ 同一函数概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。 (4)关于 函数符号 y=f(x) 43 / 53 1 、 y=f(x)即 “y 是 x 的函数 ” 这句话的数学表示。仅仅是函数符号，不是表示 “y 等于 f 与 x 的乘积 ” 。 f(x)也不一定是解析式。 2 、 f(x)与 f(a)的区别： f(x)是 x 的函数，在通常情况下，它是一个变量。 f(a)表示自变量 x=a 时所得的函数值，它是一个常量 即是一个数值。 f(a)是 f(x)的一个当 x=a时的特殊值。 3 、如果两个函数的定义域和对应法则相同虽然表示自变量的与函数的字母不相同，那么它们仍然是同一个函数，但是如果定义域与对应法则中至少有一个不相同，那么它们就不是同一个函数。 基础知识是答题的基础，各考研生一定要把考研数学基础 知识掌握牢固，切忌只对难题、偏题进行钻研，浪费的复习其他内容的宝贵时间。祝所有考生都能取得好成绩。 凯程考研： 凯程考研成立于 XX 年，具有悠久的考研辅导历史，国内首44 / 53 家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观： 凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 凯程考研 历史悠久，专注考研，科学应试， 严格管理，成就学员！ 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，45 / 53 团队合作，为学员服务，为学员引路 。 特别说明：凯程学员经验谈视频在凯程官方网站有公布，同学们和家长可以查看。扎扎实实的辅导，真真实实的案例，凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里。 如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导 成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。 46 / 53 对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下 2016 五道 口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士 10人，人大金融硕士 15个，中财和贸大金融硕士合计 20 人，北师大教育学 7 人，会计硕士保录班考取 30人，翻译硕士接近 20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很 多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。 凯程考研历年战绩辉煌，成就显著！ 在考研辅 导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下47 / 53 国内最高学府清华大学五道 凯程考研 历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！ 口金融学院金融硕士 29 人，