小学六年级数学竞赛讲座 第5讲 工程问题(二).doc

第五讲 工程问题（二）模块一、合作类问题：工程问题的三个基本公式：工作效率工作时间=工作总量；工作总量工作时间=工作效率；工作总量工作效率=关系时间；上述三个公式都可以通过第一个公式经过简单的运算导出；在合作问题中工作效率可以叠加，但工作时间不能加单的叠加，这是因为时间是工作量除以工作效率得到的，二商一般不能简单叠加；在工作总量未知时，常常把工作总量假设为单位1.例1（1）打印一本书稿，甲、乙两个打字员如果合打8天完成，甲单独打12天完成。实际上是乙先打了若干天后，再由甲继续完成，全部完成共用了15天，则实际上甲打了 天，乙打了 天。（2）一份文件，如果甲抄10小时，乙抄10小时可以完成；如果甲抄8小时，乙抄13小时也可以抄完。现在甲先抄2小时，剩下的甲、乙合作，还需要 小时才能完成。解：（1）甲的工作效率是，甲、乙两人的工作效率之和是，所以乙的工作效率是，设甲打了x天，乙打了15x天，则，解得x=9，15x=6，所以甲打了9天，乙打了6天。（2）由已知，甲少抄2小时，乙多抄了3小时，即甲与乙的工作效率之比为3 : 2，设甲的工作效率为3x，则乙的工作效率为2x，所以10(3x+2x)=1，解得x=，甲的工作效率为，乙的工作效率为，(12)(+)=8.8（小时）。例2有一条公路，甲队单独修需要20天，乙队单独修需要30天，丙队单独修需要40天，现在让三个队合修，但中间甲队撤出到另外的工地，结果用了12天才把这条公路修完，则甲队中间撤出 天。解：设甲队中间撤出了x天，则12()x=1. 解得x=6，所以甲队中间撤出了6天。模块二：轮流工作 轮流工作问题是指两个人或多个人按顺序交替工作的工程问题，所有人都完成一次工作后看做一个周期，而完成整个工作往往不是整数个周期，这时就要注意经过尽可能多的完整周期后，剩余格子每个人的顺序及格子时间。例3两个人轮流做一项工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做1个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复轮流做，做完为止，如果甲、乙轮流做这项工程需要9.8小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要9.6小时，那么乙单独做这项工程需要 小时。解：甲、乙轮流做一个工程需要9.8时，甲做了5小时，乙做了4.8小时；乙、甲轮流做一个工程需要9.6时，甲做了4.6小时，乙做了5小时；设：甲的效率是每小时做x，乙的效率是每小时做y.5x+4.8y=1，4.6x+5y=1， 解得x=，y=10/73，1=7.3小时， 答：乙单独做这个工程需要7.3时.例4一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天，已知乙单独完成这项工程需要20天，则甲单独完成这项工程需要 天。解：两种方法比较，显然第一种方法用的时间少，也就是甲的效率比乙的效率要高，即第一种方法是用了奇数天：甲、乙、甲、乙、甲、乙、甲；第二种方法是乙、甲、乙、甲、乙、甲、乙、甲(半天)；前面偶数天的进度是一样的，也就是最后甲工作1天相当于乙工作1天+甲工作半天，得到甲的效率是乙的2倍，已知乙单独完成这项工程需要20天，则甲单独完成这项工程需要10天。模块三、变速工作 变速工作是指工作效率变化的工程问题，在整个工作过程中，要注意工作效率的变化以及不同的工作效率所对应的工作时间。例5加工一批零件，甲单独做需要60小时，乙单独做需要50小时，已知每小时乙比甲多做12件，如果甲的工作效率提高40%，而乙每小时比原来多做4件，那么两人合作这批零件的需要 小时。解：由已知甲的效率是，乙的效率是，12()=3600（件），所以甲每小时完成60件，乙每小时完成72件，甲提高效率后每小时完成601.4=84（件），此时乙每小时完成76件，这批零件的一共有3600=2400（件），2400(84+76)=15（小时）。例6甲、乙两人分别加工一批零件，甲用A机器需要6小时才能完成任务，用B机器效率降低60%，乙用B机器需要10小时才能完成任务，用A机器效率提高20%。如果甲用A机器、乙用B机器同时开始工作，中途某一时刻交换机器，最后恰好同时完成任务，则甲、乙完成任务所用的时间为 小时。解：甲用A机器的效率为，用B机器的效率为40%=，乙用A机器的效率为，用B机器的效率为120%=，设甲用A机器x小时，B机器y小时；那么乙用B机器x小时，用A机器y小时则，解得.所以完成任务所用的时间为9小时。随 堂 练 习1一项工程，甲队单独做要10天完成，乙队单独做要6天完成，已知这项工程甲队做了几天后离开，乙队接着做，从开始到完成共用了8天，那么乙队做了多少天？解：设乙队做了x天，则甲队做了8x天，243x+5x=30，解得x=3，答：乙队做了3天。2一项工程，甲队单完成需要40天，若乙队先做10天，余下的工程由甲、乙合作，又需要20天可完成。如果乙队单独完成此工程，则需要多少天？解：设乙队单独完成需要x天，则，解得x=60（天），答：乙队单独完成需要60天。3蓄水池有甲、乙、丙三个进水管，如果想灌满整池水，单开甲管需要10小时，单开乙管需要12小时，单开丙管需要15小时，上午8点三个管同时打开，中间甲管因故关闭，结果到下午2点水池被灌满。问甲管在何时被关闭？解：上午8点到下午2点，一共是6小时，设甲管放水的时间为x小时，则，解得6x+30+24=60，x=1，答：甲管在上午9点时被关闭。4一项工程，甲单独做需要6小时完成，乙单独做需要10小时完成。如果按甲、乙、甲、乙的顺序交替工作，每人工作1小时后交换，那么需要多少小时才能完成任务？解：甲的效率为，乙的效率为，每人工作1小时，完成工作的+=，6小时之后，即两人都工作了3小时后，完成了工作的，剩下，甲再做1小时，剩下=，乙再做需要=小时，所以一共需要7小时。5一项工程，甲单独做需要10天，乙单独做需要15天。如果两人合作，工作效率就要降低，甲每天只能完成原来的，乙每天只能完成原来的。现在要8天完成这