多元函数的极值与最值.ppt

1,第六节多元函数的极值与最值,一、多元函数的极值与最值,极大值、极小值统称为极值.,使函数取得极值的点称为极值点.,2,(1),(2),(3),例1,例,例,3,播放,4,5,6,7,8,9,10,11,12,极值的求法,（称驻点）,驻点,极值点,注意：,定理1（必要条件）,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,13,定理2（充分条件）,14,例4,解,无极值,极小值-5,极大值31,无极值,驻点,15,二元函数的最值,若根据实际问题,目标函数有最大值(或最小值),而在定义区域内部有唯一的极大(小)值点,则可以断定该极大(小)值点即为最大(小)值点.,设生产某种商品需原料A和B，设A的单价为2，数量为x；而B的单价为1，数量为y，而产量为,例5,解,且商品售价为5,求最大利润.,利润函数为,16,令,解得唯一驻点,唯一驻点为极大值点，,即为最大值点，,最大利润为,17,例6,解,18,令,19,解,例7,总利润为,20,令,解得,21,用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V,问怎么做用料最省？,二、条件极值与拉格朗日乘数法,实际问题中,目标函数的自变量除了受到定义域的限制外,往往还受到一些附加条件的约束,这类极值问题称条件极值问题.,例8,解,即表面积最小.,代入目标函数,化为无条件极值问题：,22,内部唯一驻点,且由实际问题S有最大值,故做成立方体表面积最小.,这种做法的缺点：,1.变量之间的平等关系和对称性被破坏；,2.有时隐函数显化困难甚至不可能.,23,拉格朗日乘数法,引入拉格朗日函数,令,若这样的点唯一,由实际问题,可直接确定此即所求的点.,24,则构造拉格朗日函数为,令,25,用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V,问怎么做用料最省？,例8,解,由实际问题,即为最小值点.,26,在实际问题中,经常要求某多元函数在已知区域D内的最大值和最小值.根据实际情况,我们往往可以判断最大值或最小值在区域D的内部达到，若函数在D内仅有一个驻点，则可以断定，该驻点就是最大值点或最小值点.,27,例9,解,解得唯一驻点,即做成正三角形时面积最大.,28,三角形中,以正三角形面积为最大:,四边形中,以正方形面积为最大：,29,解,例10,先求函数在D内的驻点，,解方程组,30,为最小值.,31,例11,解,32,由,由实际问题，此即最佳分配方案.,33,解法1,例12,因驻点唯一，且由问题的实际含义可知必有最大利润，,34,因驻点唯一，且由问题的实际含义可知必有最大利润，,解法2,例12,35,练习：,P317习题八,36,附录、最小二乘法,37,例价格与供给量的观察数据见下表：,散点图,由图可以看出，x与y之间存在一定的相关关系，且这种关系是线性关系.,38,达到最小.,上述估计a,b的方法称为最小二乘法.,LSE(LeastSquareEstimation),求线性经验公式(回归直线方程),使,39,称为正规方程组,其中,40,系数行列式,所以方程组有唯一解,41,记