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导数与数列不等式的综合证明问题典例:(2017全国卷3,21)已知函数 。(1)若 ,求a的值;(2)设m为整数,且对于任意正整数n ,求m的最小值。分析:(1)由原函数与导函数的关系可得x=a是在的唯一最小值点,列方程解得 ;(2)利用题意结合(1)的结论对不等式进行放缩,求得,结合可知实数 的最小值为 (1)的定义域为.若,因为,所以不满足题意;若,由知,当时,;当时,所以在单调递减,在单调递增,故x=a是在的唯一最小值点.由于,所以当且仅当a=1时,.故a=1.练习1:已知函数,在时取得极值.(1) 求实数的值;(2) 设,求的最小值;(3) 若数列满足,数列的前和,求证:.整理:在证明中要对证明的式子进行简单的处理为,否则直接另很唐突.练习2:已知函数.(1)若函数在区间(其中)上存在极值,求实数的取值范围;(2)如果当时,不等式恒成立,求实数的取值范围,并且判断代数式与的大小.分析:解:()因为,则,当时,;当时,.所以在上单调递增;在上单调递减,所以函数在处取得极大值.因为函数在区间上存在极值,所以 解得()不等式即为 记,所以.令,则,在上单调递增, ,从而,故在上也单调递增,所以所以;由上述知恒成立,即, (此处采用了放
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