广东高考数学中的解析几何大题.doc

高考数学中的解析几何大题一、2007年以来广东高考数学解析几何大题的基本情况年份科类题号知识思想方法2007理科18圆的方程及其几何性质、椭圆的方程及其几何性质、圆与直线位置关系、椭圆与圆的交点、解析几何综合应用数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想待定系数法、定义法、参数法2008理科18椭圆、抛物线、直线的方程及其几何性质、圆锥曲线在解析几何中的综合应用与探究数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想待定系数法、定义法、参数法2009理科19解析几何综合运用、抛物线与直线的交点、中点坐标公式、求动点轨迹方程、动圆与抛物线的位置关系、点到直线的距离转化与化归思想、数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想定义法、参数法、换元法、待定系数法、分析与综合法2010理科20双曲线的性质、求动点轨迹方程（用交轨法）、直线与椭圆的交点转化与化归思想、函数与方程思想、数形结合思想待定系数法、参数法、消去法、换元法、2011理科19解析几何综合运用、圆的方程与两圆位置关系、求动点的轨迹方程、函数的最值函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想参数法、待定系数法2012理科20解析几何综合运用、椭圆的方程与性质、直线与圆的方程及位置关系、点到直线距离公式、三角形面积、最值问题转化与化归思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想参数法、待定系数法、消去法、分析与综合法2013理科20解析几何综合运用、抛物线方程、导数的几何意义及应用、点斜式直线方程、韦达定理、转化与化归思想、函数与方程思想、数形结合思想参数法、待定系数法、消去法、配方法、分析与综合法二、2007年以来广东高考数学解析几何大题的真题1、2007广东理数18（本小题满分14分） 在直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O，椭圆与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。 （1）求圆C的方程； （2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆的右焦点F的距离等于线段OF的长，若存在求出Q的坐标；若不存在，请说明理由。解析：（1）圆C：； （2）由条件可知a=5，椭圆，F（4，0），若存在，则F在OQ的中垂线上，又O、Q在圆C上，所以O、Q关于直线CF对称；直线CF的方程为y-1=,即，设Q（x,y），则，解得所以存在，Q的坐标为。2、2008广东理数18（本小题满分14分）AyxOBGFF1图4设，椭圆方程为，抛物线方程为如图4所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）解：（1）由得，当得，G点的坐标为，AyxOBGFF1图4， ，过点G的切线方程为即，令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，同理以为直角的只有一个。若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和， 。关于的二次方程有一大于零的解，有两解，即以为直角的有两个，因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。3、2009广东理数19（本小题满分分）已知曲线与直线交于两点和，且记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为设点是上的任一点，且点与点和点均不重合（）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）若曲线与点有公共点，试求的最小值解：（1）联立与得，则中点，设线段的中点坐标为，则，即，又点在曲线上，化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则，即，中点的轨迹方程为（）.xAxBD（2）曲线，即圆：，其圆心坐标为，半径由图可知，当时，曲线与点有公共点；当时，要使曲线与点有公共点，只需圆心到直线的距离，得，则的最小值为.4、2010广东理数20.（本小题满分14分）已知双曲线的左、右顶点分别为，点，是双曲线上不同的两个动点。（1）求直线与交点的轨迹的方程；（2若过点的两条直线和与轨迹都只有一个交点，且，求的值。（1）解：由为双曲线的左右顶点知，两式相乘，因为点在双曲线上，所以，即，故，所以，即直线与交点的轨迹的方程为.（2）解法1：设，则由知，。将代入得，即，由与E只有一个交点知，即。同理，由与E只有一个交点知，消去得，即，从而来，又，。解法2：由题意知直线和都是椭圆E的切线，由对称性知，两直线的倾斜角分别为和，设其方程为，代入椭圆E的方程得，即由得，即，5、2011广东理数, 19. （本小题满分14分）设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切.（1）求C的圆心轨迹L的方程.（2）已知点且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标. 6、2012广东理数20.(本小题满分14分)在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆上的点到的距离的最大值为；（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上，是否存在点使得直线与圆相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及相对应的的面积；若不存在，请说明理由。（lby lfx）【解析】（1）设 由，所以设是椭圆上任意一点，则，所以 当时，当时，有最大值，可得，所以 当时， 不合题意故椭圆的方程为： （2）中， 当且仅当时，有最大值， 时，点到直线的距离为 又，此时点7、2013广东理数20（本小题满分14分）已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.() 求抛物线的方程；来源:学。科。网() 当点为直线上的定点时,求直线的方程；() 当点在直线上移动时,求的最小值.() 依题意,设抛物线的方程为,由结合,解得. 所以抛物线的方程为. () 抛物线的方程为,即,求导得设,(其中),则切线的斜率分别为,所以切线的方程为,即,即同理可得切线的方程为因为切线均过点,所以,所以为方程的两组解.所以直线的方程为.() 由抛物线定义可知,所以联立方程,消去整理得由一元二次方程根与系数的关系可得,所以又点在直线上,所以,所以所以当时, 取得最小值,且最小值为.三、高考数学解析几何的基本类型举例例1（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题）椭圆的左、右焦点分别是,离心率为,过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.()求椭圆的方程; ()点是椭圆上除长轴端点外的任一点,连接,设的角平分线交 的长轴于点,求的取值范围;()在()的条件下,过点作斜率为的直线,使得与椭圆有且只有一个公共点,设直线的斜率分别为,若,试证明为定值,并求出这个定值. 【答案】解:()由于,将代入椭圆方程得 由题意知,即 又 所以, 所以椭圆方程为 ()由题意可知:=,=,设其中,将向量坐标代入并化简得:m(,因为, 所以,而,所以 (3)由题意可知,l为椭圆的在p点处的切线,由导数法可求得,切线方程为: ,所以,而,代入中得 为定值. 例2（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题）如图,在正方形中,为坐标原点,点的坐标为,点的坐标为.分别将线段和十等分,分点分别记为和,连结,过做轴的垂线与交于点.(1)求证:点都在同一条抛物线上,并求该抛物线的方程;(2)过点做直线与抛物线交于不同的两点,若与的面积比为,求直线的方程.【答案】解:()依题意,过且与x轴垂直的直线方程为 ,直线的方程为 设坐标为,由得:,即, 都在同一条抛物线上,且抛物线方程为 ()依题意:直线的斜率存在,设直线的方程为 由得 此时,直线与抛物线恒有两个不同的交点 设:,则 又, 分别带入,解得 直线的方程为,即或 例3（2013年高考新课标1（理）已知圆:,圆:,动圆与外切并且与圆内切,圆心的轨迹为曲线 C.()求C的方程;()是与圆,圆都相切的一条直线,与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|. 【答案】由已知得圆的圆心为(-1,0),半径=1,圆的圆心为(1,0),半径=3. 设动圆的圆心为(,),半径为R.()圆与圆外切且与圆内切,|PM|+|PN|=4, 由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为. ()对于曲线C上任意一点(,),由于|PM|-|PN|=2,R2, 当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2. 当圆P的半径最长时,其方程为, 当的倾斜角为时,则与轴重合,可得|AB|=. 当的倾斜角不为时,由R知不平行轴,设与轴的交点为Q,则=,可求得Q(-4,0),设:,由于圆M相切得,解得. 当=时,将代入并整理得,解得=,|AB|=. 当=-时,由图形的对称性可知|AB|=, 综上,|AB|=或|AB|=. 例4（2013年高考上海卷（理）(3分+5分+8分)如图,已知曲线,曲线,P是平面上一点,若存在过点P的直线与都有公共点,则称P为“C1C2型点”.(1)在正确证明的左焦点是“C1C2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);(2)设直线与有公共点,求证,进而证明原点不是“C1C2型点”;(3)求证:圆内的点都不是“C1C2型点”.【答案】:(1)C1的左焦点为,过F的直线与C1交于,与C2交于,故C1的左焦点为“C1-C2型点”,且直线可以为; (2)直线与C2有交点,则 ,若方程组有解,则必须; 直线与C2有交点,则 ,若方程组有解,则必须 故直线至多与