建模示例之 如何预报人口的增长.doc

建模示例： 如何预报人口的增长人类社会进入20世纪以来，在科学技术和生产力飞速发展的同时，世界人口也以空前的规模增长。统计数据显示：年1625183019301960197419871999人口（亿）5102030405060可以看出，人口每增加十亿的时间，由一百年缩短为十二三年。我们赖以生存的地球，已经携带着它的60亿子民踏入21世纪。长期以来，人类的繁殖一直在自发地进行着。只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶化，人们才猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系、人口数量的变化规律，以及如何进行人口控制等问题。我国是世界第一人口大国，地球上每五个人中就有一个中国人。在20世纪的一段时间内我国人口的增长速度过快，请看：年1908193319531964198219902000人口（亿）3.04.76.07.210.311.312.95有效地控制我国人口的增长，不仅是使我国全面进入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理想来说，也是我们义不容辞的责任。认识人口数量的变化规律，建立人口模型，做出准确的预报，是有效控制人口增长的前提。长期以来人们在这方面作了不少工作，下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两个世纪的美国人口统计数据（以百万为单位），对模型作检验，最后用它预报2010年美国的人口。年人口17903.918005.318107.218209.6183012.9184017.1185023.2186031.4年人口187038.6188050.2189062.9190076.0191092.01920106.51930123.21940131.7年人口1950150.71960179.31970204.01980226.51990251.42000281.4表1 美国人口统计数据1) 指数增长模型最简单的人口增长模型使人所共识的：记今年人口为，年后人口为，年增长率为，则 (1)显然，这个公式的基本条件是年增长率保持不变。二百多年前英国人口学家马尔塞斯（Malths，17661834）调查了英国一百多年的人口统计资料，得出了人口增长率不变的假设，并据此建立了著名的人口指数增长模型。模型建立 记时刻的人口为，当考察一个国家或一个较大地区的人口时，是一个很大的整数。为了利用微积分这一数学工具，将视为连续、可微函数。记初始时刻（）的人口为. 假设人口增长率为常数，即单位时间内的增量等于乘以. 考虑到时间内人口的增量，显然有令，得到满足微分方程： ， (2)有这个方程很容易解出 (3)时(3)式表示人口将按指数规律随时间无限增长，称为指数增长模型。年人口17903.918005.318107.218209.6183012.9184017.1185023.2186031.4年人口187038.6188050.2189062.9190076.0191092.01920106.51930123.21940131.7年人口1950150.71960179.31970204.01980226.51990251.42000281.4参数估计 (3)式的参数和可以用表1的数据估计。为了利用简单的线性最小二乘法，将(3)式取对数，可得， (4)以1790年至1900年的数据拟合(4)式，用MATLAB软件计算可得=0.2743/10年，=4.1884. 以全部数据（1790年至2000年）拟合(4)式，得=0.2022/10年，=6.0450.结果分析 用上面得到的参数和代入(3)式，将计算结果与实际数据作比较。表2中计算人口是用1790年至1900年的数据拟合的结果，计算人口是用全部数据（1790年至2000年）拟合的结果，图3、图4是它们的图形表示（+号是实际数据，曲线是计算结果）。可以看出，用这个模型基本上能够描述十九世纪以前美国人口的增长，但是进入20世纪后，美国人口增长明显变慢，这个模型就不合适了。年实际人口计算人口计算人口17903.94.26.018005.35.57.418107.27.29.118209.69.511.1183012.912.513.6184017.116.516.60185023.221.720.30186031.428.624.90187038.637.630.5188050.249.537.3189062.965.145.7190076.085.655.9191092.068.41920106.583.71930123.2102.51940131.7125.51950150.7153.61960179.3188.01970204.0230.11980226.5281.71990251.4344.82000281.4422.1表2 指数增长模型拟合美国人口数据的结果图3 指数增长模型拟合图形图4 指数增长模型拟合图形练习 用1900至2000年的数据拟合指数增长模型，计算并作图，观察结果。历史上，指数增长模型与十九世纪以前欧洲一些地区人口统计数据可以很好地吻合，迁往加拿大的欧洲移民后代人口也大致符合这个模型。另外，用它做短期人口预测可以得到较好的结果。显然，这是因为在这些情况下，模型的基本设计人口增长率是常数大致成立。但是长期以来，任何地区的人口都不可能无限增长，即指数模型不能描述、也不能预测较长时期的人口演变过程。这是因为，人口增长率事实上是在不断地变化着。排除灾难、战争等特殊时期，一般说来，当人口较少时，增长较快，即增长率较大；人口增加到一定数量以后，增长就会慢下来，即增长率变小。表3是用数值微分的三点公式计算的美国人口增长率（/年），可以看到，进入20世纪后增长率明显下降。用平均增长率作为，用指数增长模型描述美国人口的变化，结果当然会与表1的统计数据相差很大。年增长率17902.9518003.1118102.9918202.9718302.9118403.0118503.0818602.45年增长率18702.4418802.4218902.0519001.9119101.6619201.4619301.0219401.04年增长率19501.5819601.4919701.1619801.0519901.0920001.16表3 美国人口增长率（/年）看来，为了使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况，必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这个基本假设21.2) 阻滞增长模型（Logistic模型）模型建立 分析人口增长到一定数量后增长率下降的主要原因，人们注意到，自然资源、环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，并且随着人口的增长，阻滞作用越来越大。所谓组织增长模型就是考虑到这个因素，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率的影响上，使得随着人口数量的增加而下降。若将表示为的函数，则它应是减函数。于是方程(2)写作， (5)对的一个最简单的假定是，设为的线性函数，即 (6)这里称固有增长率，表示人口很少时（理论上是=0）的增长率。为了确定系数的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量，称人口容量。当时人口不再增长，即增长率应，代入(6)式得，于是(6)式为 (7)(7)式的另一种解释是，增长率与人口尚未实现部分的比例成正比，比例系数为固有增长率.将(7)代入方程(5)得， (8)方程(8)右端的因子体现人口自身的增长趋势，因子则体现了资源和环境对人口增长的阻滞作用。显然，越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增长是两个因子共同作用的结果。如果以为横轴，为纵轴作出方程(8)的图形（图5），可以分析人口增长速度随着的增加而变化的情况，从而大致地看出的变化规律。ox图5 曲线图 xto图6 xt曲线图练习 根据图5 与的关系，分析随的变化情况：较小（从而较小）时和较大（从而较大）时的增长速度有何不同，多大时人口增长最快，时？等，由此你能大致画出的图形吗。实际上，方程(8)可以用分离变量法求解得到 (9)读者可以用计算机画出(9)式的图形，它是一条S形曲线（图6），增加得先快后慢，时，拐点在. 你在上面的联系中画的图形与这个图形一样吗。参数估计 为了利用简单的线性最小二乘法估计这个模型的参数和，我们不用(9)式，而将方程(8)表为 (10)上式左端可以从表1的数据用数值微分计算，右端对参数，是线性的。我们利用1860年至1990年的数据（去掉个别异常数据），用MATLAB软件计算得到=0.2557/10年，=392.0886.参数估计也可以借助专家的经验。例如，某些人口学家估计世界人口的固有增长率=0.029，又知道世界人口在1960年为29.8亿时，增长率是1.85，即=0.0185，于是按照方程(8)，世界人口容量为=29.8(1-0.0185/0.029)=82.3 亿。实际上，20世纪70年代世界人口为40亿左右时增长率达到最大，然后开始下降。注意到阻滞增长模型中时最大，可以看出上述结果的一致性。结果分析 用上面得到的参数和代入(9)式，将计算结果与实际数据作比较，得表4和图7年实际人口计算人口17903.93.918005.35.018107.26.518209.68.3183012.910.7184017.113.7185023.217.5186031.422.3187038.628.3188050.235.8189062.945.0190076.056.2191092.069.71920106.585.51930123.2103.91940131.7124.51950150.7147.21960179.3171.31970204.0196.21980226.5221.21990251.4245.3表4 阻滞增长模型拟合美国人口数据的结果图7 阻滞增长模型拟合图形（以1790年为起点）可以看出，用这个模型拟合时虽然中间一段（19世纪中叶到20世纪中叶）不大好，但是最后一段（二十世纪中叶以后）吻合的不错。模型检验 在估计阻滞增长模型的参数时没有用2000年的实际数据，是为了用它作模型检验。我们用模型计算2000年的人口，与已知的实际数据（281.4百万）比较，来检验模型时候合适。为简单起见，可利用和方程(7)作如下计算得到=274.5百万，与实际数据的误差约2.5，可以分为该模型是相当满意的。人口预报 应将2000年的实际数据加进去重新估计参数，可得=0.2490/10年，=433.9886. 然后再利用模型检验中的计算方法预报美国2010年的人口，得到年的人口，得到=306.0百万。这个预报结果的准确性如何。让我们拭目以待。由方程(8)表示的阻滞增长模型，是荷兰生物学家Verhulst19世纪中叶提出的。它不仅能够大体上描述人口及许多物种数量（如森林中的树木、鱼塘中的鱼群等）的变化，而且在社会经济领域也有广泛的应用，例如耐用消费平的销售就可以用它来描述。基于这个模型能够描述一些事物符合逻辑的客观规律，人们常称