微积分答案(上册)(刘迎东版)第三章答案合集.pdf

兼职赚钱，获得经验，得到知识！ x x f x xx 解： 0 0 0 1 0sincos01,0ln 11. 1 x x x fxfx x 01.f （2） 1 ,0, 1 0,0; x x x f x e x 解： 11 11 0000 00 11 11 0limlim1,0limlim0 00 11 xx xxxx xx xx ee ff xx ee 0f不 存在。 （3） 2, 0, ,0; xx f x x x 解： 2 0 0 0 01,020. x x x fxfxx 0f不存在。 6.已知物体的运动规律为 3 stm，求这物体在 2ts时的速度。 解： 32 3v ts ttt，所以这物体在 2ts时的速度为12/m s。 7.如果 f x为偶函数，且 0f存在，证明 00.f 证明： 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ t（2）该物体达到最高点的时刻。 解： （1） 0 .v ts tvgt （2）该物体达到最高点的时刻速度应为0，所以 0 . v t g 5.求曲线 2 2sinyxx上横坐标为0 x 的点处的切线方程和法线方程。 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ yR （2） 1,f xxg x 而 0 lim1. x g x 试证明 f x在R上处处可导，且 .fxf x 证明：在 1f xxg x 中令0 x 得 01f，所以 000 01 0limlimlim1 0 xxx fxff x fg x xx 。 00 0 limlim 1 lim0. xx x f xxf xfx fxf x fx xx fx fxfx ff x x 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ d xy dy y （2） 2 3 53 3 . yy y d x dy y 证明： （1） 2 232 11 ; dx d dyd xdxyy dydyydyy yy 2 322 2 3 3653 33 11 . d x d yyyyyyy y dyd xdxy dydxdyyy yyy 4.已知物体的运动规律为sin( ,sAt A是常数） ，求物体运动的加速度，并验证 2 2 2 0. d s s dt 解 ： 加 速 度 为 2 2 d s dt ， 而cos ds At dt ， 所 以 2 22 2 sin d s Ats dt ， 于 是 2 2 2 0. d s s dt 5.密度大的陨星进入大气层时，当它离地心为skm时的速度与s成反比。试证陨星的加 速度与 2 s成反比。 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ xxxx yC eCeyCeCe 代入易得 2 0.yy 7.求下列函数所指定阶的导数： （1）cos , x yex求 4 .y 解： 3 4 cossincossin, cossinsincos2sin , 2sin2cos2sincos, 2sincos2cossin4cos . xxx xxx xxx xxx yexexexx yexxexxex yexexexx yexxexxex （2） 2 sin2 ,yxx求 50 .y 解： 50 50 502 50 0 504948 2 5025048 5025048 sin2 50 49 sin250 2sin22 sin2 2 504948 2sin 250 2sin 250 49 2 sin 2 222 2sin250 2cos250 49 2 sin2 . i i i i yCxx xxxxx xxxxx xxxxx （3） 22 2 213yxxx，求 67 ,.yy 解： 6 4yx低阶项，所以 67 4 6!,0.yy 8.求下列函数的n阶导数的一般表达式： （1） 12 12112 ( , nnn nnn yxa xa xaxa a aa 都是常数） 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 解： !. n yn （2） 2 sinyx 解： 2sin cossin2 .yxxx由归纳法可证： 1 1 1 sin22sin 2. 2 n n n n yxx （3）lnyxx 解： 1 ln1,yxy x 由归纳法可证：2n 时， 2 2 1 12 !1 n n n n n n yy xx 。 （4） x yxe 解： 1,2. xx yexyex由归纳法可证： . nx yenx (5) 2 22. x yxxe 解： 2 0 12 2 22 22 1 22121121 2 12223 n in i nix n i nnn xxx n x yCxxe n n xxen xee exn xnn (6) 1 . 1 y x 解： 1 . 1 y x 可归纳得出： 1 1 1 1!. 1 n n n yn x （7） 2 1 1 y x 解： 1111 11211 y xxxx ，所以可归纳得出： 11 !11 1. 2 11 n n nn n y xx 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ （8） 1 n x y x 解：根据多项式的除法， 1 n x y x 某1n次多项式 1 1 n x ，所以 1 ! . 1 n n n y x （9） 1 x ye x 解： 11 000 1! 11 ! i xx nnn n i ii n ixi nn ii iii i en e yCeC xxnix 。 9.求函数 2 ln 1f xxx在0 x 处的n阶导数 03 . n fn 解： 2 0 1 1 2 2 ln 1 11 ln 12ln 1213 !. 2 1 n in i n i n i nn n n fxCxx n n xxnxxn x 所以， 1 1! 0. 2 n n n f n 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率 习题 3.4 1.求由下列方程所确定的隐函数的导数: dy dx （1） 2 290yxy 解： 2 2900, 2220, . d yxyd ydyxdyydx dyy dxyx （2） 33 30 xyaxy 解： 33 22 2 2 300, 33330, . d xyaxyd x dxy dyaxdyaydx dyayx dxyax （3） x y xye 解： , , . x y x y x y x y d xyd e ydxxdyedxdy dyey dxxe （4）1 y yxe 解： 1, , . 1 y yy y y dydxe dye dxxe dy dye dxxe （5）xya 解： 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 0, 11 0, 22 . dxyda dydx yx ydy dxx （6）cosyxy 解： cos, sin, sin . 1 sin dydxy dyxydxdy xydy dxxy （7）sincos0yxxy 解： sincos00, sincossin0, cossin . sinsin d yxxyd xdyyxdxxydxdy yxxydy dxxyx （8）0 xxyy 解： 00, 0, 2 2 . 2 d xxyyd xdyydx dxdy xy xyydy dxxyx 2.求下列隐函数在指定点的导数: dy dx （1） 1 cossin , 2 yxy点,0 2 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 解： ,0 2 11 cossinsincos, 22 sin , 1 1cos 2 1 2. 1 1 2 dydxyxdxydy dyx dx y dy dx （2）ln1, x yey点0,1 0,1 ln10, 1 0, , 1 11 . 1 12 x xx x x d yeyd e dyye dxdy y dyye dx e y dy dx 3.求下列方程确定的隐函数的微分:dy （1） 22 22 1. xy ab 解： 22 22 22 2 2 10, 22 0, . xy dd ab xdxydy ab b x dydx a y （2）. yx xy 解： 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 2 2 lnln lnln, lnln, ln . ln yxxy d yxd xy yx xdydxydxdy xy xyyy dydx xyxx 4。求曲线 222 333 xya在点处的切线方程和法线方程。 解： 222 333 0d xyd a ， 11 33 1 3 1 22 , 3 44 22 0, 33 ,1 aa x dxy dy dyydy dxdx x 所以切线为 22 44 yaxa ，即 2 . 2 xya法线为 22 44 yaxa，即 .yx 5.求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数 2 2 : d y dx （1） 22 1xy 解： 2 2 2 2 2 222 233 220, , 2220, 11 1 . dy xy dx dyx dxy dyd y y dxdx x dy yd yyx dx dxyyyy （2） 222222 b xa ya b 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 解： 22 2 2 2 2 222 2 2 22 22 22 22222 2 24 2224323 220, , 2220, . dy b xa y dx dyb x dxa y dyd y baa y dxdx b x dy ba ba bb xa y a yd yb dx dxa ya ya ya y （3）tanyxy 解： 2 2 2 22 22 22 2 2 22 2 2 235 sec1, csc, 2sectan1sec, 2 1 2 1 csc2 1 1 cot 2. sincossincostan dydy xy dxdx dy xy dx d ydyd y xyxyxy dxdxdx dy xyy xyd y dx dxxyxyxyxyxyy （4）1 y yxe 解： 2 22 22 2 2 2 2 2 332 , , 1 0, 2 2 2 311 . 11 2 1 yy y y yyyy yy yy yy yy yyy yy y dydy exe dxdx dye dxxe d ydydydyd y eexexe dxdxdxdxdx ee dydy exe exe exe eyxexed y dxdx dxxexe y xe 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 6.用对数求导法求下列函数的导数： （1） 1 x x y x 解： lnlnln 1, 1111 lnln 1ln, 111 1 ln. 111 x yxxx dyx xxx y dxxxxx dyxx dxxxx （2）5 52 5 2 x y x 解： 2 2 5 2 52 11 lnln5ln2, 55 11112 , 5552 15112 . 5552 2 yxx dyx y dxxx dyxx dxxx x （3） 4 5 2 3 1 xx y x 解： 4 5 1 lnln24ln35ln1, 2 11145 , 2231 2 3 145 . 2431 1 yxxx dy y dxxxx xx dy dxxxx x （4）sin1 x yxxe 解： 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 11 lnlnln sinln 1, 22 11 1 cot, 221 11 sin1cot. 221 x x x x x x yxxe dye x y dxxe dye xxex dxxe （5） 1 1 x x y x 解： 2 22 22 ln 1ln 1 ln, 111 21 ln ln 1111 11 , 1 21 1 ln. 11 x xx y x x xx x dyxxx xx y dxxx x dyxx x dxxxx （6） 2 2 1 11 xx y xxx 解： 2 2 2 2 2 1 ln2lnln 1ln1ln 1, 2 121121 , 1212 1 12121 . 11212 1 yxxxxx dyx y dxxxxxx dyxxx dxxxxxxxx （7） 12 12 n aaa n yxbxbxb 解： 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 12 1122 12 12 12 12 12 lnlnlnln, 1 , . n nn n n aaa n n n yaxbaxbaxb aaady y dxxbxbxb aaady xbxbxb dxxbxbxb （8） 2 1 x yx 解： 2 2 2 2 2 22 2 lnln 1, 12 ln 1, 1 2 1ln 1. 1 x yxx dyx x y dxx dyx xx dxx 7.求下列参数方程所确定的函数的导数 dy dx ： （1） 2 3 , . xat ybt 解： 22 333 . 222 dybt dtbtbt dxatdtata （2） 1 sin, cos . x y 解： cossincossin . 1 sincos1 sincos ddy dxd 8.写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程： （1） sin , cos2 , xt yt 在 4 t 处； 解： 4 t 对应点为 2 ,0 2 ，此处切线斜率为 2sin22sin2 2 2. coscos dytdtt dxtdtt 法线 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 斜率为 2 4 。所以切线为 2 2 2, 2 yx 法线为 22 . 42 yx （2） 2 2 2 3 , 1 3 , 1 at x t at y t 在2t 处； 解：2t 对应点为 612 , 55 aa ，此处切线斜率为 2323 22 22 2222 22 22 616616 11 4 . 3316316 11 attatattat dt tt dy dxatatatat dt tt 法 线 斜 率 为 3 4 。 所 以 切 线 为 1246 , 535 aa yx 法线为 1236 . 545 aa yx 9.求下列参数方程所确定的函数的二阶导数 2 2 : d y dx （1） 2 , 2 1. t x yt 解： 2 2 23 1, 1 1 1 . dydt dxtdtt d dt d yt t dxdxtdtt （2） cos , sin . xat ybt 解： 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 2 2 223 cos cot , sin cot csc . sinsin dybtdtb t dxatdta b b dt tdt d yba a dxdxatdtat （3） 3, 2 . t t xe ye 解： 2 2 2 23 2 22 , 33 2 4 34 3 . 39 tt t t t t t dye dte dxe dt e e d dt d ye dxdxe dt （4） , . xft ytftf t 设 ft存在且不为零； 解： 2 2 , 1 . fttftftdt dy t dxft dt d t d ydt dxdxft dtft （5） sin , 1 cos . xtt yt 解： 24 2 2 sin cot, 1 cos2 1 cot csccsc 2 222 . 1 cos4 dytdtt dxt dt t tt d d y dxdxt dt （6） , . xacht ybsht 解： 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 22 2 2 223 , . dybchtdtbcht dxashtdtasht bcht b sh tch t d dt d ybasht ash t dxdxashtdta sh t （7） 3 3 cos, sin. xa ya 解： 2 2 22 224 3 sincos tan , 3 cossin tansec1 . 3 cossin3 cossin dyad dxad dd yd dxdxada （8） 2 ln 1, arctan . xt yt 解： 2 2 22 2 23 2 1 1 1 , 1 1 1 1 . 1 dt dy t t dxt dt t d dt d ytt t t dxdxt dt t 10.求下列参数方程所确定的函数的三阶导数 3 3 : d y dx （1） 2 3 1, . xt ytt 解： 2 2 1 3 31. 22 tdt dyt dxtdtt 222 22 2 23 31122 31 231 4 . 24 tttdt d td yt t dxdxtdtt 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 2 422 3 32 6 35 31241231 433 16 . 28 tttt d dt td yt t dxdxtdtt （2） 2 ln 1, arctan . xt ytt 解： 2 2 1 1 1 . 2 2 1 dt dytt t dx dt t 22 2 2 1 12 2 . 2 4 1 t d dt d yt t dxdxt dt t 2 22 34 2 33 2 184 1 41 16 . 2 8 1 ttt d dt td yt t t dxdxt dt t 11.已知 f x是周期为5的连续函数，它在0 x 的某个邻域内满足关系式 1 sin31 sin8fxfxxx， 且 f x在1x 处可导，求曲线 yf x在点 6,6f处的切线方程。 解 ： 在 1 sin31 sin8fxfxxx中 令0 x 可 得 10f， 进 而 得 1 sin11 sin18 3, sinsinsinsin fxffxfxx xxxx 再令0 x 得： 1318,12.fff 由周期性， 5 ,f xf x求导得： 5fxfx，所以 612ff，又 6,66,16,0ff，所以切线为26 .yx 12.当正在高度H水平飞行的飞机开始向机场跑道下降时，如图 3.12 所示，从飞机到机场的 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 兼职赚钱，获得经验，得到知识！ 水平地面距离为L。假设飞机下降的路径为三次函数 32 yaxbxcxd的图形，其中 0 ,0. xLx yH y 试确定飞机的降落路径。 解： 32 2 , 320, 00, 00. yLaLbLcLdH yLaLbLc yd yc 解得： 3 2 2 , 3 , 0, 0. H a L H b L c d 所以降落路径为 32 32 23 . HH yxx LL 13.落在平静水面上的石头，产生同心波纹。若最外一圈波半径的增大速率总是6/m s，问 在2s末扰动水面面积增大的速率是多少？ 解： 2 6 ,2. dSdr rt Srr dtdt 所以 2 212 6144 . t dS dt 14.注水入深8m上顶直径8m的正圆锥形容器中，其速率为 3 4/min.m当水深为5m时，其 表面上升的速率是多少？ 解： 2 32 1 ,3, 321212 hdVdh Vhhh dtdt 所以 2 55 16 43 5,. 1225 hh dhdh dtdt 15.溶液自深1