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山东师范大学 硕士学位论文 分形图像控制与防伪标志创新设计的研究 姓名：孙玉林 申请学位级别：硕士 专业：计算机软件与理论 指导教师：刘弘 20080408 分形图像控制与防伪标志创新设计的研究 摘要 分形理论是非线性科学研究中十分活跃的一个分支，它的研究对象是自然界 和非线性系统中出现的不光滑和不规则的几何形体。分形理论是一门交叉性的横 断学科，从振动力学到流体力学、天文学和计算机图形学，从分子生物学到生理 学、生物形态学，从材料科学到地球科学、地理科学，从经济学到语言学、社会 学等等，无不闪现着分形的身影。分形理论有很强的解释能力，能说明大自然的 许多形态发生和自组织过程，分形自相似原理和分形迭代生成原理对于人们更好 地认识世界起到了推动作用。 本文主要致力于分形图像控制及其在防伪标志创新设计中的应用研究。研究 具体从两个方面展开：首先是复映射分形的图像控制。对传统的生成复映射分形 的逃逸时间算法进行了改进，提出了基于组合因子思想的复映射分形生成与控制 的方法，这种方法在分形图像控制和渲染方案控制方面具有普遍的适用性；第二 个研究内容是将上面的研究成果应用到防伪标志的创新设计中。将分形理论和传 统的信息防伪技术结合起来，结合它们各自的优势，设计出基于分形的防伪标志 创新设计系统。论文的具体研究内容和创新点如下： 1 、通过比较目前广泛应用的防伪技术的优点与不足，结合复映射分形图自 身的特点，对分形理论在防伪标志设计中的可行性进行了研究，为防伪设计技术 的研究提供了一个新的思路。 2 、提出了一种基于组合因子思想的复映射分形绘制方法，将项因子引入复 映射公式、渲染方案颜色变化公式中，极大地增强了用户与程序的交互性，有效 地克服了传统逃逸时间算法绘制分形的不足，拓展了逃逸时间算法绘制分形图的 范围，使生成的复映射分形图片视觉效果新颖、参数信息丰富且敏感度高、仿制 难度大，满足防伪标志的设计要求。 3 、应用上面的创新点，设计完成了分形防伪标志创新设计系统，对分形在 防伪设计中的应用设想完成了实现。提出了一种适合于分形防伪设计的防伪流程 并对分形图像与条形码的关联方法作了论述。 本文设计的分形防伪标志创新设计系统由“图像绘制模块”，“图片管理模块 和“条形码关联模块”三部分组成。“图像绘制模块采用基于组合因子思想的 复映射分形绘制方法，能够实现对复映射公式以及渲染方案初始值和颜色变化公 式的指定、绘制、保存等功能，并定义了系统默认支持的f d s 图像格式；“图片 管理模块可以完成对已保存在本地磁盘上的分形图片进行渲染、剪裁等操作， 并可以对两幅分形图进行合成效果操作；“条形码关联模块”实现了设计好的分 形图片与一个条形码之间的关联功能。 系统开发环境搭建在、n d o w sX P 平台上利用V C 抖6 0 丌发实现，本课题耿 自在研的山东省自主创新专项项目“基于分形技术的产品包装及防伪标志创新设 计，2 0 0 6 z Z l 0 的一个研究内容。通过对系统生成的实例进行分析，应用结果 令人满意。 关键词：复映射分形、逃逸时间算法、防伪、条形码 分类号：T P 3 9 1 7 2 F r a c t a lI m a g eC o n t r 0 1a n dR e s e a r c ho f A n t i i m i t a t i o nB r a n d I n n o v a t i v eD e s i g n A B S T R A C T F r a C t a lm e o r vi s 缸a c t i v eb r 胁c ho fn o r I l i I l e a rs c i e l l t i 丘cr e s e 鲫c h ，W 场c hi sm e o b j e c to fs t u d yn o n l i I l e a rs y s t e n l s i 1 1m en a t u 】m 、0 r l da n dn l en o n - s m o o m 强d i 玎e g u l a rg e o m 砌cs h a p e F r a c t a lt h e o r yi s 孤o V 甜a p p i n gd i s c i p l 妇趾di ti sw i d e l y u s e d 五mt h em e c h a l l i c a lv i b r a t i o nt 0n u i dm e c h a n i c s ，a s 蜘) 嗍y 觚dc o m p u t e r 黟a p t l i c s ，j 6 c 蚴m o l e c u l a rb i o l o g yt 0p h y 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，t h i sp a p e rr e s e a r c h e sm ef e a S i b i h 哆o f F r a c t a lt 1 1 e o r y 印p l 灿gt o a n t i i l 面t a t i o nb m dd e s i 印a 1 1 dp r 0 V i d e sa n t i m t a t i o nt e c h n o l o g y r e s e a r c han e wr e s e a r c hi d e a 2 T br e s o l v em ed e f e c to f 乜a d i t i o n a le s c a p et i m ea 1 9 0 r i t l l m ，p r o p o s e dam e t h o d t h a tg e n ei st h es m a l l e s tu I l i to ff 0 册u l ap r o 伊锄，u s e r st h r o u 曲t 1 1 es u p p o ng e n e so f m es y s t e mg e l l e r a t e du n i q u ec o m p l e X 缸l c t i o nd y n 锄i c a l l y T l l i s 姚di m p r o V e d w h a ti se x i s t e di I l 口a d i t i o n a lm e t h o d ，a n dr e a c h e d0 n 也ec o n 昀lo fc o 如【p l e X 如n c t i o n f a c t a lp a t t e m s ，a sw e l la sr e n d e r i n gm c t h o d 3 T h r o u 曲a p p l i c a t i o no ft h ea b o v ei 彻o v a t i o n s ，F r a c t a l 锄t i i m i t a t i o nb 珊d V i 衄o V a t jV ed e s i 口s y S t e mi sd e s i 印e d na C h i e V e sm ee n V i s i o no fa p p l i c a t i o no f F r a c t a lt h e o r yt oa 1 1 t i i m i t a t i o nd e s i 口T I l i sp a p c rp r o p o s e sam e t h o d 、) l 栅c hs u i t a b l e F r a c t a l 锄t i i I I l i t a t i o nd e s i g n ，柚dd i s c u s s e st 1 1 em e t l l o do fc o r r e s p o n d i n gb a rc o d e T l l eF r a c t a la 1 1 t i i m i t a t i o nb r a I l di 皿o V a t i V ed e s i 口s y s t e mc o n s i S t st h r e ep a n s ： I I l l a g eG e I l e r a t i o nM o d u l e ，h a g eM a n a g e m e n tM o d u l e 锄dm e B a rC o d eA s s o c i a t e d M o d u I e I n l a g e ( 疏e r a t i o nM o d u l ec a nd om a l l y0 p e r a t i o I l sS u c h 签d r a w i n 舀 p r e s e r v a ：t i o n ，龇l do m e r 胁c t i o n s ，a n dd e 缸e sad e f - a u l ts y s t 锄t 0s u p p o r t f d si m a g e f b 珊a t ；h n a g eM a n a g 锄e n tM o d u l ec 锄m a l l a g et l l ei m a g e sW 1 1 i C hh a v eb e e I ls t o r e d o nt h e1 0 c a ld i s k s ，a n dc a l ld oo m e r0 p e r a t i o n ss u c h 觞t a j 1 0 r i n go p e 枷o n T h eB a r C o d e 缸s o c i a t e dM o d u l ea u c l l i e v e sd e s i 口o f 觚i m a g el i l l l ( i n gt oab 盯c o d e T h ee x p e r i m e n to fc o m p l e x 如l l c t i o nF r a c t a li n l a g ec o m r o li ss t l l l c t u r e di n W i n d o w s p l a t f 0 珊洲i r o 姗e n ta I l di sd e V e l o p e db yV C + + 6 0 砸sr e s e a r c hi s m | a 、n 丘1 0 mo u rr e s e a r c K n gp r o j e c t ：h l d 印e n d 锄t 妇o V a t i o nS p e c i a lP r o j e c t so f S t 姗d o n gP r o v i n c e ”P r o d u c tp a c k a 咖ga n da n t i i m i 伽o nb 啪di n n o V a t i V ed e s i 口 b a S e0 nF h c t a lt e c h n 0 1 0 戥2 0 0 6 Z Z l0 ”，T h ea n a l y S i so fi n s t a n c e sS h o w st h a tm e r e s u l t sa r eq u i t es a t i s f 弭n g K e y w o r d s ：C o m p l e xF u n c t i o nF r a c t a l ；E s c 印eT i m e 砧g o r i m m ；A m i i I n i t a t i o n ；B a r C o d e C l a S s i f i c a t i o n ：T P 3 9 1 7 2 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得( 注：如 没有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明 并表示谢意。 学位论文作者签名： 剔磁字淤弛 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。 本人授权型童可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在 解密后适用本授权书) 签字日期：2 0 0 扩年r 月之3 同V J7签字日期：2 0 0 扩年r 月王泪 山东师范大学硕士学位论文 第一章绪论 本章首先阐述了本研究课题的背景，其次介绍了分形理论在国内外的研究现 状，最后介绍了本文所作的基本工作及组织结构。 1 1 研究背景 随着经济活动和社会文化的不断发展，市场竞争也越来越激烈。在经济利益 的驱使下，非法仿造、伪造的行为也日趋活跃。某些企业采用的防伪标志不能有 效的遏制假冒产品，而不得不频繁的更换，给企业造成经济损失的同时也给消费 者的正常购买带来了诸多不便。究其原因固然有多种，但主要原因在于以往的防 伪图像设计易仿制，技术易为多数人掌握，防伪技术相对落后等。因此，在进行 防伪图像设计时，应该采用安全可靠程度高、技术公开程度低、图像效果参数不 易被捕捉、重现难度大的技术。 据不完全统计，目前全国有近千家企事业单位从事防伪技术及防伪材料和相 关产品的研发、生产和销售。防伪印刷产品( 不含人民币和证件等特殊防伪产品) 年销售额己由8 0 年代初的几千万元，发展到目前的近百亿元。我国防伪技术产品 市场需求之大、发展速度之快是惊人的。针对我国防伪行业的现状，以及我国加 入W T o 的严峻挑战，中国防伪行业协会召集有关专家及企业技术人员进行多次 研讨，制定了我国防伪产业技术政策，即：以技术创新为动力，结合防伪技术应 具有的综合性、层次性、独占性和系统化、智能化、标准化、数字化等特点，建 立防伪系统安全保证体系和质量保证体系以及认证体系，突出高新技术领域的自 主创新，逐步形成一大批拥有自主知识产权，具有竞争优势的高新技术产品和新 的系统防伪手段，并注重开发、研制高新技术防伪产品与普及大众防伪识别产品 相结合的产品，为打击假冒，保护名优提供有效手段，使我国防伪技术及其产业 走上健康发展的道路。 分形一直是计算机图形学研究的热点问题。分形几何理论由美籍法国数学家 M a n d e l b o n 于1 9 7 5 年提出。具有自相似或自仿射性质的不规则图形统称为分形。 分形在自然界中，有诸如雪花、树木、云彩、闪电、海岸线等静态事物的外观， 在数学范畴有诸如C a I l t o r 集、K o c h 曲线、S i e r p i n 娆三焦形、M a I l d e l b o r t 集、J u l i a 集等数学模型。 分形几何理论经过3 0 多年的发展，已经渗透到诸多应用领域。分形几何学能 为自然界中存在的各种自然事物的外观提供逼真的模拟，可应用于卫星图像、医 学图像、物理图像、地质图像等各种图像的提取和识别，以及电视和通讯中的图 山东师范大学硕士学位论文 像处理和压缩。因而形成了分形几何学和计算机图形学相结合的一个新的研究领 域，并且已经从理论研究进入到应用研究。同时，分形图以其令人叹为观止的艺 术效果和变幻莫测的视觉冲击，在艺术界引起了广泛的关注，分形艺术设计已经 发展成为艺术设计领域的一个重要分支。综上所述，集计算机图形学诸多算法与 艺术美感于一体的分形在防伪设计上将有其重要的应用前景。 本文对分形图像控制方法以及分形理论在防伪设计中的可行性进行了研究， 提出了一种改进的复映射分形图像绘制方法并将其应用到防伪标志的创新设计 中，使生成的分形图像具有视觉效果新颖、参数信息丰富及敏感度高、模仿难度 大等特点，这种基于分形的防伪标志创新设计思想为当前的防伪设计研究提供了 一种新的解决思路。 1 1 1 分形的研究进展 自1 9 7 5 以来，分形理论无论是在数学基础还是在应用方面都有快速发展。 由于分形几何极强的应用性，它在城市地理的蔓延、物理的相变理论、材料的结 构与控制、力学中的断裂与破坏、高分子链的聚合、模式识别、自然图形的模拟、 酶的生长等领域取得令人瞩目的成功。由于应用学科和计算机图形学的影响与推 动，分形的数学理论也得以迅速发展，并且目的更加明确，思想更加深入。近年 来，在复映射分形图案控制与色彩渲染、在维数的估计与算法应用、在分形集的 生长结构、在动力系统的吸引子理论等方面吸引了越来越多的研究人员涉足，其 势方兴未艾，并取得了令人瞩目的成果。 今天，分形理论已经与计算机科学理论等领域相结合，这种结合使人们很多 久悬未解的难题的研究取得突破性的进展，在探索、描述及研究客观世界的复杂 性方面发挥了巨大作用。其作用涉及到几乎整个自然科学和社会科学。混沌分形 已经被认为是研究非线性复杂问题最好的一种工具，成为一个新的学术研究热 点。1 9 9 8 年研究几何与混沌的麦克马伦获菲尔兹奖，再次说明了研究混沌分形 理论在科学研究中的地位。在我国，“国家攀登计划 中有关非线性科学、纳米 材料科学、生命科学等项目中，就列举了有关混沌分形理论的五个专题。“国家 自然科学基金 中也列出混沌分形理论及其应用的内容，并指出这是一项具有跨 学科前沿交叉性特点的基础性和应用基础性的研究，具有广阔的应用前景。我所 在分形项目组在研的是山东省自主创新专项项目“基于分形技术的产品包装及防 伪标志创新设计，2 0 0 6 Z Z l 0 ”，论文中的分形图像控制研究点就是取自该项目的 一个研究内容。把分形理论与数字图像处理技术结合起来，使生成的分形图像可 人工干预，以产生协调自然，丰富多彩，并具有较高艺术性的图案，这是分形理 论在计算机图形学中的一个非常重要的应用方向。 2 山东师范人学顾J ：学位论文 1 1 2 分形的应用领域 分形是一门交叉性特点很强的学科。二十多年来，从震动力学到流体力学、 天文学和计算机图形学，从化学到物理学，建筑学和生物学，无不涉及到分形理 论的应用。其中和计算机图形学相关的主要应用领域如下： ( 1 ) 模拟自然 在分形的计算机生成中，自然景物的模拟是一个重要内容。由于蕴含于自然 景物的图形具有无穷多的随机纹理细节，即使选择简要模型，也需要使用一个庞 大的数据结构，所以采用一般的图形生成方法中使用的静态数据结构来表示一个 自然景物是不可取的。分形理论与计算机图形学相结合可以绘制出逼真的图片， 例如利用人工生命科学中的L 系统理论可模拟植物的生长，利用分形布朗运动理 论可以模拟地形地貌等。 ( 2 ) 分形插值 传统的插值方法“以直代曲 ，显然对大量实际存在的海岸线、心脑电波图、 股票波动曲线等并不是一种良好的近似，因为这些曲线连续但非光滑，几乎处处 不可导。另外，可以对统计数据进行拟和，还可以模拟一些物理过程，在计算机 上产生和绘制许多自然景观。 ( 3 ) 城市形态研究 城市作为人类生产发展的产物，随着社会的进步，它不仅仅只作为一种聚集 地，而且在政治、经济文化等方面扮演了越来越重要的角色，所以加强对城市的 研究无疑具有极重要的意义，而分形理论的产生、发展，则为其提供了新的研究 方法和手段的支持。二者的结合，既能促进分形理论的发展，又能促进城市地理 学的不断深化和发展。 ( 4 ) 计算机艺术 运用分形的自相似性，可以构造出千变万化而且高分辨率的艺术图案，可以 绘制出许多精美绝伦的图像，具有很高的艺术欣赏价值，而且具有实际的应用价 值，如设计墙纸、布匹图案、制作邮政明信片等。 1 2 分形理论在国内外研究现状 近年来，国内外许多学者致力于分形图像控制与分形理论的应用研究，并取 得了影响意义深远的诸多成果。 山东师范人学硕二L 学位论文 1 2 1 分形图像控制的研究现状 美国两位数学家M i c h a e lF r 锄e 和跏a 1 1 aC o g e v i n a 给出了一种圆倒置的有限 集生成的自相似的分形图形，它不同于一般的分形图像，是一个给人强烈感觉的 比例相互独立的分形集1 2 】。 美国伊利诺斯州立大学计算机系的P a u lS h e 衄a n 和J 0 1 1 1 1C ，H a n 给出了一个 图形生成程序，通过一种交互式的方法，使用户可以直接操作一个由周期迭代函 数系统( 剐F S ) 生成的分形图像，这种方法可以让用户指定吸引子上的特定点， 就能够给出这个点在周期中的位置，还可以把其他的点拖到用户需要的位置【3 】。 香港大学K W C h u n g 等人研究了一种新的快速算法，可以由动力系统自动 生成符合美学原则的双曲族分形图形。在理论上考虑了在基本区域边界上的连续 条件，只有双曲族被进行了计算从而提高了算法效率【4 】。 在国内，北京信息工程学院的张廷杰和邱佩璋等人将传统计算几何中的网函 数插值方法与分形插值函数理论相结合，研究出了生成分形C o o l l s 型曲面的一种 新方法婵J 。 华南师范大学计算机科学系王小铭运用分形的自相似特性，在造型和构图过 程中引入递归和迭代，以及对局部过程的随机扰动，完成了图像无穷自相似的应 用实现【9 】。 1 2 2 分形理论应用的研究现状 英国韦尔斯大学理工学院市镇规划系主任巴迪教授运用分形理论对城市边 界变迁的分形性质研究得到了有意义的结果。他通过对加的夫市3 张不同年代 ( 1 8 8 6 年、1 9 0 1 年和1 9 2 2 年) 的精确军事地图的分析，分别计算出了这3 个时期 该市城市边界线的分维值【1 0 1 。 西安交通大学图像处理与识别研究所的王平等人，将迭代函数系统( S ) 应用于医学人体冠状动脉的模拟，建立了冠状动脉分叉模式规则库，丰富了分形 仿真的应用【1 。 浙江大学C A D & C G 国家重点实验室的谭建荣，陈洪亮提出了基于F B M 约 束模型的可控性分形生成方法，通过阈值估计得到约束因子，使得分形生成过程 能够在表面细节具备统计自相似性的同时能更好的对宏观形状进行控制【1 2 】。 西北工业大学的肖华勇建立了生成形状可控的单分支树状图和双分支树状 图的D L A 模型，使图形的生成速度比传统的D L A 模型提高了近1 0 倍【1 3 】。 浙江大学人工智能研究所的吴飞，庄永真等人提出了一种基于分形布朗运动 的音频特征提取和识别的方法，针对音频分形特征符合高斯分布的特点，采用特 4 山东师范火学硕士学位论文 定的算法对音频进行分类，其在音乐和语音的分类上都取得了很好的效果【1 4 】。 1 3 本文的研究内容与思路 本文主要致力于分形图像控制及其在防伪标志创新设计中的应用研究。研究 具体从两个方面展开：首先是复映射分形的图像控制。对传统的生成复映射分形 的逃逸时间算法进行了改进，提出了基于组合因子思想的复映射分形生成与控制 的方法，这种方法在分形图像控制和渲染方案控制方面具有普遍的适用性；第二 个研究内容是将上面的研究成果应用到防伪标志的创新设计中。将分形理论和传 统的信息防伪技术结合起来，结合它们各自的优势，设计出基于分形的防伪标志 创新设计系统。论文的具体研究内容和创新点如下： l 、通过比较目前广泛应用的防伪技术的优点与不足，结合复映射分形图自 身的特点，对分形理论在防伪标志设计中的可行性进行了研究，为防伪设计技术 的研究提供了一个新的思路。 2 、提出了一种基于组合因子思想的复映射分形绘制方法，将项因子引入复 映射公式、渲染方案颜色变化公式中，极大地增强了用户与程序的交互性，有效 地克服了传统逃逸时间算法绘制分形的不足，拓展了逃逸时间算法绘制分形图的 范围，使生成的复映射分形图像视觉效果新颖、参数信息丰富且敏感度高、仿制 难度大，满足防伪标志的设计要求。 3 、应用上面的创新点，设计完成了分形防伪标志创新设计系统，对分形在 防伪设计中的应用设想完成了实现。提出了一种适合于分形防伪设计的防伪流程 并对分形图像与条形码的关联方法作了论述。 系统开发环境搭建在w m d o w s ，平台上利用V C + + 6 0 开发实现，本课题取 自在研的山东省自主创新专项项目“基于分形技术的产品包装及防伪标志创新设 计，2 0 0 6 Z Z l 0 的一个研究内容。通过对系统生成的实例进行分析，应用结果 令人满意。 1 4 本文的组织结构 本论文的组织结构图如图卜1 所示： 山东师范火学硕- 学位论文 分形图像控制与防伪标：基创新设计的研究 IIIl 第一章第二章第三章第四章第五章第六章 绪论 分形理分形在基于组分形防结束语 论概述防伪标合因子 伪标志 志设计的复映 创新设 中的可射分形 计系统 行性研的生成 的实现 究与控制 研究 图卜1 本文组织结构图 后续章节安排如下： 第二章：对分形理论进行了分析。首先叙述了分形的数学基础，包括分形的 定义、测度和维数、分形的基本原理、典型分形集的分析。然后，分析了分形的 基本方法，L 系统和迭代函数系统的基本原理，最后回顾了分形的发展历程。 第三章：首先研究了当今市场上防伪技术的应用现状，简单介绍了一下纸张 防伪技术和油墨防伪技术，重点分析了传统信息防伪技术的原理以及特点。随后 对分形理论和传统信息防伪技术结合的可行性进行了分析，提出了基于分形的防 伪标志创新设计的概念，并总结出了一套针对分形防伪的流程。 第四章：本章是第五章具体实现的一个技术上的改进。首先介绍了逃逸时间 算法以及M a I l d e l b r o t 集等基本理论。针对防伪标志要求的艺术效果好、参数敏 感度高、模仿难度大等要求，提出了基于组合因子思想的复映射分形生成与控制 的方法。以项因子作为组成复数多项式的不可再细分的最小原子，对传统的生成 复映射分形的方法进行了改进。改进后的方法极大地增强了用户与程序间的交互 性，有效地克服了传统逃逸时间算法绘制分形的不足，拓展了逃逸时间算法绘制 分形图的范围，使生成的分形图像视觉效果新颖、图像重现难度大、参数信息丰 富且高度敏感，适合防伪标志的设计要求。 第五章：应用第四章提出的复映射分形绘制技术的改进思想，设计完成了分 形防伪标志创新设计系统，对第三章提出的分形在防伪设计中的应用设想完成了 实现。本章介绍了该系统各个功能模块的设计与实现思路，提出了一种适合于分 形防伪设计的防伪流程并对分形图片的合成以及图片与条形码的关联方法作了 论述。本章最后对系统生成防伪标志的过程进行了演示。通过对实例进行分析， 应用效果满意。 最后针对本文的研究工作进行了总结，并对本课题的后续研究和实现工作进 行了展望。 6 山东师范人学硕二I ：学位论文 第二章分形理论分析 本章首先回顾了分形的定义和特点，然后分析了分形的基本原理和主要方 法，最后归纳总结了分形的实现技术和应用领域。 2 1 分形的数学基础 分形几何是分形理论研究的基础。在客观世界的几何描述方面，分形几何是 描述非规则图形的有效工具，特别是随着计算机图形学的应用发展，由于模拟自 然景物、建筑物配景以及影视特殊效果景物生成的需要，用传统的几何学几乎不 可能描述，而用分形方法实现简单，且效果逼真。分形几何具有细节无限精细以 及统计自相似性的典型特性，它用递归算法使复杂的景物可用简单的规则来生 成。 2 1 1 分形的定义 目前对分形还没有严格的数学定义，只能给出描述性的定义。粗略地说，分 形是对没有特征长度，但具有一定意义下的自相似图形和结构的总称( 所谓特征 长度，是指所考虑的集合对象所含有的各种长度的代表者，例如一个球，可用它 的半径作为它的特征长度) 。 B BM a n d e l b r o t 最先从拉丁形容词丘a c t I l s 创造出岔a c t a l 这一词，丘a C t l l s 的意 思是“破碎的”、“不规则的 。1 9 8 6 年，M a n d e l b r o t 曾建议将分形定义为整体与 局部在某种意义下的对称性的集合，或者具有某种意义下的自相似集合。他曾给 出一个尝试性的定量刻画：分形是其豪斯道夫( H a u s d o r f F ) 维数严格大于其拓扑 维数的集合【15 1 。但是所有这些定义都不够精确、不够全面。英国数学家F a l c o n e r 在其所著分形几何的数学基础及应用一书认为，分形的定义应该以生物学家 给出“生命定义类似方法给出，即不寻求分形的确切简明的定义，而是寻求分 形的特性，将分形看作具有下列性质的集合F 【l6 】： ( 1 ) F 具有无限精细结构，即在任意小的比例尺度内包含整体： ( 2 ) F 是不规则的，以至于它的局部和整体都不能用传统的几何语言来描 述； ( 3 ) F 通常具有近似的或统计意义下的自相似性； ( 4 ) F 在某种方式下定义的“分形维数 与它的拓扑维数不相等，通常下 是大于拓扑维数； 7 山东师范大学硕士学位论文 ( 5 ) F 的定义常常是非常简单的，或者是递归的。 则分形就是同时具有或是在某一尺度空间中同时具有上述五个性质的集合。 2 1 2 测度与维数【1 6 】【1 7 】【1 8 】【1 9 】 测度与维数是分形理论及应用中最基本的数学概念。所谓测度就是测定集合 大小的一种度量，正如长度用于度量线段、面积用于度量正方形域以及体积用于 度量立方形体等等的情形一样，测度是内容更广泛、形式更一般的特殊集函数。 维数是基于测度上的一个数学概念，用于表示集合占有空间的大小。从某种意义 上说，维数是刻画图形占领空间规模和整体复杂性质的量度，是图形最基本的不 变量。在欧几里德空间，确定任意一点的位置所需的独立坐标的数目，就是该空 间的维数。所以在传统的欧氏几何中，维数都为整数。但是自然界存在着大量不 规则物体，这些物体的几何特性用传统的方法根本无法描述，这就促使人们重新 考虑维数的定义，从而促成了分形几何的产生和发展。 2 1 2 1H a u s d o r f f 预0 度 H a u s d o r f r 测度是分形理论及其应用中最基本的一种测度，它是L e b e s g u e 测 度在维数不一定是整数时的推广。 一、L e b e s g u e 的定义 实直线尺中点集的L e b e s g u e 测度是有界区间长度的推广。设是尺中的一 个有界区间，可以是开区间( 口，6 ) ，半开半闭区间口，6j 或者闭区间 口，6 ， 其中口6 。称区间，的长度为，的L e b e s g u e 测度，或者简称测度，即( ，) = 6 一口： 设G 是R 中的一个非空有界开集。G 有结构表示：G = U ( ，钆) 其中( 吒，仇) 蠢 是一组互不相交的开区间，称为G 的构成区间。 定义2 1G 的L e b e s g u e 测度是它的一切构成区间长度的和：( G ) = ( 瓯一) ， 七 对于有界集G ，( G ) o 。 事实上，存在有界开区间( 口，6 ) ，使得( G ) = ( 吼一吼) 6 一口 ， 七 G c ( 口，6 ) ；设F 是R 中的一个非空有界闭集。取一个开区间( 盘，6 ) ，使，c ( 口，6 ) ， 令G = ( 口，6 ) 一F ，则G 为非空有界开集。 定义2 2F 的L e b e s g u e 测度为：( F ) = 6 一口一( G ) 。 山东师范火学硕上学位论义 从几何上可以看出，闭集F 的测度与区间( 以，6 ) 的选取无关。 二、H a u s d o r f f 测度的定义 定义2 3 设U 为待测的集合，如果U 为胛维欧氏空间尺“中任意非空子集，【，的 直径定义为：I 【，l - s u p I x y I ：x ，y U ) ，即U 内任意两点之间距离的最大值。 式中的s u p 是上确界的缩写。 定义2 4 如果 ) 为可数( 或有限) 个直径不超过万的集构成的覆盖F 的集类， 即Fc U q 且对每一个f ，都有o 为，的万一覆盖) 。 式中缸是下确界的缩写。则日5 ( F ) = 岫联旷) 被称为F 的s 维H a u s d o r 仃 测度。于是考虑所有直径不超过万的，的覆盖，并试图使这些直径的J 次幂的和 达到最小。当万减少时，能覆盖F 的集类是减少的，所以下确界联( ，) 是万的减 函数，随着万的减小而增加，却当万一0 时趋于一极限。 2 1 2 2H a u s d o r f f 维数 定义2 6 对于R “中任意子集F 和实常数万 1 ，珥( F ) 是s 的减函数，故日陋) 也 是减函数，即下列结论成立：若s f 且 ) 为F 的一个占覆盖，有： 珥( ，) I I f I UI 。 ff 故取下确界到日；( F ) 艿卜。乓( ，) ，令万专o ，可知若日5 ( ，) ，则对s f 有日( F ) = 0 。因此，存在s 的一个临界值在该点处日5 ( F ) 从跳跃到O 。这个临 界值称为F 的h a u s d o r f r 维数，记为d i m 二，也常记为D H 。形式上： 故： d i m 二= i n f p ：日5 ( F ) = o ) = s u p p ：日5 ( ，) = ) 。 9 山东师范大学硕士学位论文 踟= 船舞；。 若s = d i m 二，日( F ) 可能是。或或可能满足o H 5 旷) 。满足最后条 件的称为s 集。 2 1 2 3 其它几种重要的分形维数 一、盒维数见 盒维数是一个广泛应用的维数，与H a u s d o 世维数相比较，盒维数的计算相 对简单一些。 定义2 7 设R ”中任意有界子集F ，根据F 的有界性，总可以找到一个以维矩形， 使F 包含在这个矩形之中。将矩形分割成若干个边长为s 的小矩形，于是必然有 些小矩形包含F 中的点，将所有包含F 中的点的小矩数目记为0 ) ，则尸的盒 维数D 6 定义为： 驸) = 觋( 器) a 二、容量维数皿 定义2 8 设尺“中任意有界子集F ，用半径为s 的甩维球覆盖，时，假定 ) 是 球的个数的最小值，则，的容量维数D c 定义为： 孵，= 娥意将。 三、相似维数色 定义2 9 设尺“中任意有界子集F ，只要将局部放大一定倍数总可以得到与整体 一致的图形，则称F 为自相似集。对自相似集F 来说，定义相似维数q 为： w ) = 尚。 其中m 是组成F 的相似子集的个数，c 为相似比例系数。 四、信息维数D l O 山东师范人学硕J ：学位论文 定义2 1 0 设尺”中任意有界子集F ，总可以找到一个n 维矩形，便F 包含在这个 矩形之中。将矩形分割为( s ) 个边长为s 的小矩形，记P 是F 中的点落在第f 个 小矩形中的概率，则F 的信息维数口定义为： w ) = 烘( 翁。 其中： 胎，= 等驰c 争 胎) = 驰( 吉) 。 假若所有小矩形以相等的概率包含，中的点，则露= 1 ) ，于是 ，( 占) = 1 I l 0 ) 。这样以来，信息维数与容量维数便是一致的。为计算信息维数， 应该计算概率e 。计算只的简单方法是用落在第f 个小矩形中的点的频率代替概 率，因此为了求得只的较好的近似值，计算的点数将是很大的，这样使计算机付 出很大的开销。 五、关联维数D 定义2 1 1 设已经测得数据五，恐，其中薯是第f 时刻的实测值( 可称之 为时间序列) 。记向量( 五，恐，) 为咒，( 艺，j c 3 ，钉) 为坎，于是得数据( 向 量) M ，儿，。为了研究m 维空间的任意两点乃与乃关联，考虑它们的“距 离”：勺= IM 一乃I 。如果占为给定的正数，若 占，认为 与乃具有很强的相 关性，记录满足 s 的数目，它与总数目之比为C p ) ，定义关联维数D 为： D ：l i n l 堕盟。 5 + o l I ls 其中，如果上式中占很大，可使C ( 占) = 1 ，D = O ：若s 很小，则使吩 D ( E ) ，则F 的分维为D ( C ) 。 五、匹配原理 若要分形集E 和五有效的组成分形集F ，则要求E 和E 的分维相等或者局 部的分维相等。 六、级差原理 分形整体是分形集，F 由分属于不同层次的分形子集E ( f _ 1 ，2 ，3 ，玎) 组 1 2 山东师范大学硕j ：学位论文 成，f 称为级次。F 以某种方式与F 相似。f 越小，越简单；f 越大，结构越复杂。 墨为1 级子集，即生成元，最简单。f o 。为分形整体。级次f 越接近的子集越 相似，反之，级次f 相差越大，相似程度越小。 七、自仿射原理 设在d 维欧几里德空间，分形集F 由，2 个不相重叠的子集E ( 扛1 ，2 ，3 ，刀) 组 成。若互通过仿射变换气( 足= l ，2 ，3 ，蠢) 后与F 重合，则称F 为自仿射分形集。 仿射变换的含义是某点z = ( 五，恐，屯) 变换为另一点x = ( ，i 五，吃恐，屹o ) ，这 里，；，匕，不全相等，= ( ，；，吃，屹) 为比例矢量。自仿射分形的分形维不是唯 一的，根据需要，可以引入不同的分维来表征系统的分形特征。 2 1 4 典型分形集的分析【2 3 1 【2 4 】【2 5 1 【2 6 】 一、K 0 c h ( 科奇) 曲线 1 9 0 4 年，瑞典数学家v o n K 0 c h 发现了一种曲线，这种益线有一个奇怪的特 性：它处处连续、处处不光滑、不可微。如果在一个正三角形上按生成规则生成， 则曲线形状像雪花，故又称为科奇雪花曲线，如图2 1 所示。科奇曲线是一种典 型的分形曲线，在分形理论建立过程中，具有重要的地位。 从一个简单的图形出发( 通常是一条直线或一个多边形，称为源图形) ，按 照一定的