小学六年级数学竞赛讲座 第1讲 几何综合之立长方体三视图.pdf

第一讲第一讲 几何综合之立长方体三视图几何综合之立长方体三视图 模块一、用三视图求表面积 三视图： 主视图：从前向后看所得的图形； 俯视图：从上向下看所得的图形； 左视图：从左向右看所得的图形； 有小立方体堆砌而成的立体图形，其表面积可用三视图法求解，从三个方向去考虑表面积； S=(正视图面积+俯视图面积+侧视图面积+凹槽增加的面积)2. 例 1如图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为 1 米、2 米、4 米，要在表面刷油漆，如果打正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是 平 方米。 解：正视图面积为 42+22+12=21（平方米） ，侧视图的面积也是 21 平方米， 俯视图的面积是 16 平方米， 所以涂刷油漆的面积为 2(21+21)+16=100(平方米)。 例 2一个大正方体、四个中正方体、四个小正方体拼成如图的立体图形，已知大、中、小三 类正方体的棱长分别为 5 厘米、2 厘米、1 厘米，那么这个立体图形的表面积是 平方 厘米。 解：正视图面积=25+4+1=30，侧视图面积=25+4+1=30，俯视图面积=25， 表面积=2(30+30+25+10+10)=230（平方厘米） 。 模块二、三视图求正立方体堆的表面积 三视图在分析立体几何空间结构时是一种有效的模型，通过三视图我们可以有序、准确地求算立体图 形的表面积、正方体堆的堆积方式。 特别的，在多数问题中，不一定要求我们具体的把三视图画出来，更多的是一种思考方式，通过前后 面、左右面、上下面有序全面地准确地认识题目中的立体图形，在解题中一定要灵活运用三视图。 例 3如图所示，立体图形是由 21 个棱长为 1 的小正方体堆砌而成的，其表面积 是 。 解：主视图面积=9，侧视图面积=9，俯视图面积=9， 表面积=2(9+9+9+6+6)=78. 例 4如图所示，一个 555 的立方体，在一个方向上开有 115 的孔，在另一个方向上 开有 215 的孔，在第三个方向上开有 315 的孔，剩余部分的表面积为 。 解：主视图面积为 253=22，侧视图面积为 251=24，俯视图面积=252=23， 表面积=2(22+23+24+10+16+7)=204. 俯视方向剖面俯视方向剖面侧视方向剖面侧视方向剖面 主视方向剖面主视方向剖面 例 5下面的大正方体是由 125 个棱长 1 厘米的小正方体粘合而成，现在它的三个方向各打一个洞，如下图 阴影所示，则剩余部分的表面积为 。 解：主视图面积=255=20，侧视图面积=254=21，俯视图面积=24， 表面积=2(20+21+24+10+13+14+143)=226. 用标数法： 1 1 2 1 1 2 0 2 2 2 2 0 2 2 2 1 0 0 0 1 1 1 2 1 1 主视方向 侧视方向 1 2 2 2 1 2 2 3 3 2 2 2 0 3 2 2 2 3 3 2 1 2 2 2 1 俯视方向 模块三、三视图求最值问题 例 6用一些棱长为 1 厘米的小正方体码放成一个立体图形，从上向下看这个立体图形，如下图 a，从正面 看如下图 b，则这个立体图形的表面积最多是 平方厘米。 解：只要使得侧视图的面积最大即可，如下图，在俯视图上标上每个小正方体位置的小正方体的个数，得到 俯视方向剖面俯视方向剖面2 主视方向剖面主视方向剖面 侧视方向剖面侧视方向剖面俯视方向剖面俯视方向剖面1 1 1 2 1 1 2 0 0 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 右面的侧视图的面积是最大的。 主视图面积=8，俯视图面积=8，侧视图面积=6， 所以表面积=2(8+8+6+1+1)=48. 例 7小华用一些小正方体堆了一个立体图形，这个立体图形从不同方向看到的图形如下，小华搭这个立体 图形至少用了 个小正方体。 解：如下图得到，至少用了 10 块小正方体。 例 8用棱长为 1 的小立方体粘合而成的立体，从正面、侧面、上面看到的视图均如图所示，那么粘成这个 立体最多需要 块小立方体。 解：从上往下数，第一层有 20 块，第二层有 16 块，第三层有 4 块，第四层有 16 块，第五层有 20 块， 所以一共有 76 块。 2 1 121 2 2 113 2 1 2 随随 堂堂 测测 试试 1如图，在一个棱长为 5 分米的正方体上放一个棱长为 4 分米的小正方体，这个立体图形 的表面积为 平方分米。 解：正视图面积=25+16=41，侧视图面积=41，俯视图面积=25， 所以表面积=2(41+41+25)=214（平方分米） 。 2如图，棱长分别为 1 厘米、2 厘米、3 厘米 5 厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的 多面体的表面积是 平方厘米。 解：正视图面积=25+9+4=38，侧视图面积=25+9=34，俯视图面积=25， 所以表面积=2(38+34+25)=194（平方厘米） 。 3下图是一个棱长为 2 厘米的正方体，在正方体上表面，向下挖一个棱长为 1 厘米的正方形小洞，接着在 小洞的底面向下挖一个棱长为 1 2 厘米的正方形小洞，第三正方形小洞的挖法和前面两个相同且棱长为 1 4 厘 米，那么最后得到的立体图形的表面积是 平方厘米？（横线处填小数） 解：原来路程为 2 厘米的正方体的表面积=64=24 平方厘米， 第一次挖洞，面积增加了 41=4 平方厘米， 第二次又增加了 4 1 4 =1 平方厘米，第三次增加的面积是 4 1 16 = 1 4 =0.25 平方厘米， 所以总面积为 24+4+1+0.25=29.25 平方厘米。 4下图是由 22 个棱长为 1 米的小正方体组成的立体图形，求表面积是多少？ 解：正视图的面积=8 平方米，侧视图的面积=9 平方米，俯视图的面积=9 平方米， 所以表面积=2(8+9+9)=52 平方米。 5用若干个棱长为 1 的小正方体拼成如下图所示的造型，其中一个小孔分别由左至右、由上至下以及由前 至后穿透整个造型，这个立体图形的表面积为多少？ 解：三个方向看是一样的，正视图的面积是 591=44，剖面增加的面积是 16， 所以表面积=2(44+16)3=360. 6如图所示，用若干个棱长为 1 的小正方体拼成如下图 555 的立体图形，从每个面看都有四个穿透的完 全相同的孔，它的表面积是多少？ 解：三个方向看是一样的，正视图的面积是 554=21，有两个剖面，增加的面积是 212=24， 所以表面积=2(21+24)3=270. 7用若干个 1cm1cm1cm 的小立方体堆积成一个立体图形（小立方体不能悬空） ， 它的正视图、左视图、俯视图都是下图的样子，那么堆积成满足条件的立方体最少需 要多少个小立方体 解：如下图