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高等数学手册高等数学手册 1.11.11.11.1 空间解析几何空间解析几何 1.1.11.1.11.1.11.1.1 向量代数向量代数 定理：设向量 a0，那么，向量 b 与向量 a 平行的充分 必要条件是：存在唯一的实数，使b=a 非零向量 a 与三条坐标轴正向的夹角，称为它的 方向角。向量的模、方向角与坐标之间的关系： ax=acos，ay=acos，az=acos 其中，cos，cos，cos称为向量 a 的方向余弦。 Cos 2 +cos 2 +cos 2 =1 设向量 a 和向量 b 的夹角为（0） ，向量 a 和 向量 b 的数量积为一个数量，记做 ab=cosba。 向量 a 和向量 b 垂直的充分必要条件是 ab=0。 向量 a 和向量 b 的向量积为一个向量 c，记做 ab，c 的模sinbac=，c 的方向垂直于 a 与 b 所决定的平民，c 的 指向按右手法则确定。 设向量 a= zyx aaa,，b= zyx bbb,，则 ab=axbx+ayby+azbz ab= zyx zyx bbb aaa kji = xyyxzxxzyzzy babababababa, 向量 a 和向量 b 平行的充分必要条件是 ab=0 ab=-ba 1.1.21.1.21.1.21.1.2 平面平面 设平面过点 M0（x0， y0， z0） ， 它的一个法向量n=CBA,， 则平面的方程为 A（x-x0）+B（y-y0）+C（z-z0）=0。 设平面与 x，y，z 轴分别交于 P（a，0,0） ，Q（0，b，0）， 和 R（0,0，c）三点（其中 a0，b0，c0） ，则平面方 程为：1=+ c z b y a x 。 设有平面 A1x+B1y+C1z+D1=0 和平面 A2x+B2y+C2z+D2=0，则 两平面的夹角由下式确定： cos= 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 CBACBA CCBBAA + + 两平面相互垂直相当于 212121 CCBBAA+ =0 两平面相互平行相当于 2 1 2 1 2 1 C C B B A A = 空间一点到 M0（x0，y0，z0）到平面 Ax+By+Cz+D=0 的距 离为：d= 222 000 A DCzByAx CB+ + 1.1.31.1.3 直线直线 设空间直线 L 是平面 A1x+B1y+C1z+D1=0 和平面 A2x+B2y+C2z+D2=0 的交线，则 L 的方程为 =+ =+ 0DzCyBxA 0DzCyBxA 2222 1111 设直线 L 过点 M0（x0，y0，z0） ，它的一个方向向量为 s=pnm,，则直线的方程为 p zz n yy m xx 000 = = 如设参数 t 如下： p zz n yy m xx 000 = = =t 则 += += += ptzz ntyy mtxx 0 0 0 设直线 1 0 1 0 1 0 p zz n yy m xx = = 和直线 2 0 2 0 2 0 p zz n yy m xx = = ，它们 的夹角可由下式确定 cos= 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 pnmpnm ppnnmm + + 两直线相互垂直相当于0 212121 =+ppnnmm 两直线相互平行相当于 2 1 2 1 2 1 p p n n m m = 直线 p zz n yy m xx 000 = = 与平面 Ax+By+Cz+D=0 的夹角可 由下式确定：sin= 222222 pnmCBA CpBnAm + + 直线与平面垂直相当于 p C n B m A = 直线与平面平行或直线在平面上相当于0=+CpBnAm 1.1.41.1.4 柱面柱面 旋转曲面旋转曲面 二次曲面二次曲面 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线形成的轨迹叫 做柱面。定曲线叫做准线，动直线叫做母线。 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成 的曲面叫做旋转曲面。 三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。 球面：()()() 2 2 0 2 0 2 0 Rzzyyxx=+ 圆锥面： 2 2 2 2 2 z a y a x =+ 椭圆锥面： 2 2 2 2 2 z b y a x =+ 椭球面：1 2 2 2 2 2 2 =+ c z b y a x 椭圆抛物面：z b y a x =+ 2 2 2 2 ，z b y a x =+ 2 2 2 2 双曲抛物面：z b y a x = 2 2 2 2 单叶双曲面：1 2 2 2 2 2 2 =+ c z b y a x 双叶双曲面：1 2 2 2 2 2 2 = c z b y a x .1.5.1.5 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线 C 的一般方程为 () () = = 0, 0, zyxG zyxF ， 由以上方程组消 去变量 z 后所得方程()0,=yxH必定包含投影柱面。 1.21.2 微分学微分学 1.2.11.2.1 极限极限 函数( )xf当 0 xx（或x）时的极限存在的充分必要条 件是函数的左、右极限均存在且相等，即( )( ) + = 00 xfxf。 极限存在准则和两个重要极限： （1）夹逼准则和极限1 sin lim 0 = x x x （2）单调有界准则和极限e x x x = + 1 1lim， ex x x 11 1lim= 当0x时，常用等价无穷小： xxsintgx()xIn+11 x e Ina ax1 () n x n 11+ ， xcos1 2 2 1 x，11+ n x n x 1.2.21.2.21.2.21.2.2 连续连续 若( )( ) 0 0 limxfxf xx = ，则称( )xf在 0 x连续。 1.2.31.2.31.2.31.2.3 导数导数 设函数( )xf在 0 x的某邻域内有定义，若极限 x y x 0 lim= ()() x xfxxf x + 00 0 lim存在，则称函数( )xf在 0 x处可导，并称此极限 为( )xf在 0 x处的导数。 曲线( )xfy=在点()() 00, xfx处的切线方程为：( )() 00 xxxfyy=， 法线方程为 ( ) () 00 1 xx xf yy = 基本求导公式：基本求导公式： () 1 = xx，()xxcossin= ，()xxsincos= ，()xsexx 2 tan= ， ()xx 2 csccot= ，()xxxtansecsec= ，()xxxcotcsccsc= ， ( )Inaaa xx = ，() xIna x a 1 log= ，() 2 1 1 arcsin x x = ，() 2 1 1 arccos x x = ， () 2 1 1 arctan x x + = ，() 2 1 1 cot x xarc + = 求导法则：求导法则： 设( )xuu=，( )xvv=均可导，则： ()vuvu= ；()uCCu= ；()vuvuuv+= ； 2 v vuvu v u = ； 反函数的求导法则：反函数的求导法则： 若( )yx=在区间 y I内单调、 可导且( )0y，则它的反函数 ( )xfy=在对应的区间 x I内也可导，且( ) ( )y xf = 1 复合函数的求导法则：复合函数的求导法则： 设( )ufy=，( )xu=均可导，则复合函数( )xfy=也可导， 且 dx du du dy dx dy =或( )( )( )xufxy= 隐函数的求导法则：隐函数的求导法则： 设方程()0,=yxF确定一个隐函数( )xfy=， x F、 y F连续且 y F0，则隐函数( )xfy=可导，且 y x F F dx dy = 由参数方程所确定的函数的求导法则：由参数方程所确定的函数的求导法则： 若函数( )xfy=由参数方程 ( ) ( ) = = ty tx 所确定， 且( )tx=，( )ty= 都可导，( )0t，则 ( ) ( )t t dx dy = 几个常见函数的几个常见函数的 n n n n 阶导数公式：阶导数公式： ( ) ( ) x n x ee=；()( ) += 2 sinsin nxx n ；()( ) += 2 coscos nxx n ； ()( )()() n n xnx + = 11；() ( ) () () ()n nn x n xIn + =+ 1 !1 11 1 高阶导数的求导法则：高阶导数的求导法则： ()( ) ( )( )nn n vuvu+=；()( ) () ( )kkn n k k n n vuCuv = = 0 1.2.41.2.41.2.41.2.4 微分及其应用微分及其应用 函数( )xfy=在点 0 x可微分的充要条件是( )xf在点 0 x可导， 且当( )xf在点 0 x可导时，其微分一定是( )dxxfdy= 1.2.51.2.51.2.51.2.5 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用 罗尔定理罗尔定理： 若函数( )xf在闭区间ba,在连续， 在开区间()ba, 内可导，且( )( )bfaf=，则至少有一个()ba,，使得( )0=f。 拉格朗日中值定理：拉格朗日中值定理：若函数( )xf在闭区间ba,在连续， 在 开区间()ba,内可导，则至少有一点()ba,，使得下式成立： ( )( )( )()abfafbf= 罗必塔法则：罗必塔法则： 关于 0 0 的情形， 设当()xax或时，( )0xf且( )0xF； 在点 a 的某去心邻域内（或当Nx时），( )xf及( )xF都存在 且( )xF0； () ( ) ( )xF xf x ax lim存在 （或为无穷大） ， 则 () ( ) ( ) () ( ) ( )xF xf xF xf x ax x ax = limlim。 对于 型，也有相应的罗必塔法则。 设函数( )xf在 0 x处具有二阶导数， 且( )( )0 , 0 =xfxf， 那么： 当( )0 xf时，函数( )xf在 0 x处取得极小值。 设( )xf在ba,上连续，在()ba,内具有一阶和二阶导数： 若在()ba,内( )0 xf，则( )xf在ba,上的图形是凹的； 若在()ba,内( )0 xf，则( )xf在ba,上的图形是凸的。 连续曲线( )xfy=上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐 点。如果( )0= xf或( )xf 不存在，而( )xf 在 0 x的左、右两侧临 近异号，则点() 00, xfx就是曲线的一个拐点。 曲线( )xfy=在任一点()yx,处的弧微分是dxyds 2 1 +=， 曲率 是 () 2/3 2 1y y K + =。 偏导数概念：偏导数概念： 函数()yxfz,=对 x、y 的偏导数依次记作()()yxf x z x ,或 ， ()()yxf y z y ,或 ，它们的定义如下： ()( ) x xfyxxf x z x + = , lim 0 ， ()( ) y xfyyxf y z y + = , lim 0 多元复合函数的求导法则：多元复合函数的求导法则： 设()yxu,=、()yxv,=均具有偏导数，而()vufz,=具有连续 偏导数，则复合函数()()yxyxfz,=的偏导数存在，且 x v v z x u u z x z + = ， y v v z y u u z y z + = 当( )xu=，( )xv=，()vufz,=时， dx dv v z dx du u z dx dz + =； 当()yxu,=，( )yv=，()vufz,=时， x u u z x z = ， y v v z y u u z y z + = 隐函数求导法则：隐函数求导法则： 设方程()0,=zyxF确定一个隐函数()yxfz,=， 函数()zyxF,具 有连续偏导数且0 z F，则有 z x F F x z = ， z y F F y z = 全微分概念：全微分概念： 若函数()yxfz,=的全增量 ()()( )oyBxAyxfyyxxfz+=+=,， 其中A， B 仅与 x， y 有关，而()()2 2 yx+=，则称函数()yxfz,=在点()yx,可微分， 并称yBxA+为函数()yxfz,=在点()yx,的全微分，记住dz，即 yBxAdz+= 函数可微分的条件：函数可微分的条件： 若函数()yxfz,=再点()yx,可微分，则偏导数 x z ， y z 必定存 在，且全微分dy y z dx x z dz + = 对于一元函数来说，函数可导必定连续，而可导与可微 分两者是等价的。 对于多元函数来说，可导与连续之间没有必然联系；可 微分必定可导，反之不真；可微分必定连续，反之不真；当 偏导数存在且连续时，必定可微分，反之不真。 空间曲线的切线与法平面：空间曲线的切线与法平面： 空间曲线 ( ) ( ) ( ) = = = tz ty tx 在对应参数 0 tt=的点() 000 ,zyx处的切线方 程为 ( )( )( ) 0 0 0 0 0 0 t zz t yy t xx = = ，法平面方程为 ( )()( )()( )()0 000000 =+zztyytxxt 曲面的切平面与法线：曲面的切平面与法线： 曲面()0,=zyxF在其上一点() 000 ,zyxM处的切平面方程为 ()()()()()()0, 000000000000 =+zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyx 法线方程是 ()()() 000 0 000 0 000 0 ,zyxF zz zyxF yy zyxF xx zyx = = 方向导数与梯度：方向导数与梯度： 设有方向l，它的方向余弦为cos、cos，函数()yxf,在点 () 000 ,yxP沿方向 l 的方向导数为 () ()() t yxftytxf l f t yx 0000 0 , ,cos,cos lim 00 + = + 当函数()yxf,在点() 000 ,yxP可微分时， 方向导数可按以下公 式计算： () ()()cos,cos, 0000 , 00 yxfyxf l f yx yx += 函数()yxf,在点() 000 ,yxP的梯度是一个向量： 0 时，具有极值 () 00,y xf，且当 A0 时，() 00,y xf为极小值。 当 AC-B 2 = p n n p ，当 p1 时，级数收敛，当 0 = n n n n uu满足 ().2 . 1 1 = + nuu nn 及0 lim = n n u，则() = 1 1 n n nu 收敛，且有余项 1+ nn ur 2.若任意项级数 =1n n u绝对收敛，则该级数收敛 3.设 =1n n u为任意项级数，若l u u n n n = + 1 lim 或lun n = lim ，则当 则当1l或+=l时，级数发散；当 l=1 时，级数可能收敛也可能发散 幂级数的收敛性幂级数的收敛性 阿贝尔定理：若级数 =0n n nx a当()0 00 =xxx时收敛，则对适 合 0 xx的一切 x，级数 =0n n nx a发散 幂级数的收敛半径及其求法幂级数的收敛半径及其求法 若幂级数 =0n n nx a在某些点收敛， 在某些点发散， 则必存在 唯一的正数 R，使当Rx，级数 发散。这个 R 称为幂级数的收敛半径 定理：若幂级数 =0n n nx a，= + n n n a a 1 lim 或= n n a lim ，则它的 收敛半径 += =+ = 时，当 时，当 时当 0 0 0, 1 R 幂级数的性质 1.幂级数 =0n n nx a的和函数在其收敛域上连续。 2.幂级数 =0n n nx a的和函数在其收敛区间上可导， 且有逐项 求导、逐项积分公式。逐项求导、逐项积分后所得到的幂级 数和原级数有相同的收敛 泰勒级数泰勒级数 若( )xf在点 0 x处具有各阶导数，则幂级数 ( )( )()n n n xxxf n 00 0 ! 1 = 称为函数( )xf在点 0 x处的泰勒级数，特别当0 0 =x时，级数 ( )( )nn n xf n 0 ! 1 0 = 称为函数( )xf的迈克劳林级数 设函数在点 0 x处的某邻域() 0 xU内具有各阶导数， 则( )xf在 该邻域内能展开成泰勒级数 （即( )xf的泰勒级数收敛于( )xf本 身）的充分必要条件是( )xf的泰勒公式中的余项 ( ) ()( ) () ()() + = + + nxx n f xR n n n 0 !1 1 0 1 ，其中()1 0 , 00 +=xxx 常用函数的幂级数展开式 ()11.1 1 1 2 += + xxxx x n ()+=xx n xxe nx . ! 1 . !2 1 1 2 () () ()+，( )0BP，那么 () ()() ( ) ()() () () = = n j jj iiii i APAP APAP BP APAP BAP 1 B B B B B B B BB B B B 超几何概率公式超几何概率公式 设 N 见产品中有 M 件次品，其余 N-M 件是非次品，随机 地从这 N 件产品中任取 n 件，则 n 件产品中有 k 次次品的概 率为( ) n N kn MN k M C CC AP = 随机变量的分布函数四条性质：随机变量的分布函数四条性质： 有界性：( )10xF，+x 单调性：当 21 xx时，( )() 21 xFxF 右连续：( )( ) 0 0 limxFxF xx = + ( )0lim= xF x ，( )1lim= + xF x ()( )( )aFbFbxaP= ()( )( )xFxFxXP xx = 0 lim 0 设连续型随机变量 X 的概率密度函数为( )xp，则连续型 随机变量()XFY=的分布函数为( )()()yXfPyFY=， 对( )yFY求导可 得()XFY=的概率密度函数( )ypY 常见的离散型随机变量：常见的离散型随机变量： 二点分布 二项分布：参数为 n，p（n 是自然数，10的泊松分布的概率分布为 () !k ekXP k =，.2 . 1 . 0=k 常用的连续型随机变量：常用的连续型随机变量： 均匀分布：( ) = 其他 , 0 , 1 bxa abxp，( ) = 其他, 0 0,xe xp x ，( ) = 其他 , 0 0,1xe xF x 正态分布：( ) () , 2 12 2 2 = x exp+x 当1, 1 2 =时， 称()1 , 0N为标准正态分布， 分布函数为( )x 当 X 服从正态分布() 2 ,N时，X 的分布函数为 ( ) = x xF，+x () = ab bxaP，+ba 定理：如果 X 服从正态分布() 2 ,N，那么ckXY+=服从正 态分布() 22 ,kckN+，特殊地， X 服从标准正态分布()1 , 0N。 随机变量数字特征的常用形式：随机变量数字特征的常用形式： 1.数学期望： 当 X 为连续型随机变量时，如果 X 的概率密度函数为 ( )xp，那么规定 X 的数学期望为()( )dxxxpXE + = 规定随机变量函数()XFY=的数学期望为( )( ) ( )dxxpxfYE + = 数学期望的性质： ( )ccE=；()()XkEkXE=；()( )cXEcXE+=+； ()( )( )cYlExkEclYkXE+=+； 当 X 与 Y 相互独立时，()() ( )YEXEXYE= 2.方差与标准差 X 的方差()()()()2 2 2 XEXEXEXEXD= 方差的性质 ( )0=cD；()()XkkXDD 2 =；()()XDcXD=+； 当 X 与 Y 相互独立时，()( )( ) YDlxDkclYkXD 22 +=+ 3.中心化与标准化 给定随机变量 X，称()XEXX= * 为 X 的中心化随机变量， 称 () ()XD XEX X = * 为 X 的标准化随机变量 ()0 * =XE，()( )XDXD= * ；()0 * =XE，()1 * =XD 常用随机变量的数学特性常用随机变量的数学特性 二点分布：()pXE=，()()ppXD=1 二项分布：()npXE=，()()pnpXD=1 泊松分布：()()=XDXE 均匀分布：() 2 ba XE + =，() () 12 2 ab XD = 指数分布：() 1 =XE，( ) 2 1 =XD 正态分布() 2 ,N：( )=XE，() 2 =XD 定理：设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 服从正态分布 () 2 11, N，Y 服从正态分布() 2 22, N，那么clYkXZ+=服从正态 分布() 2 2 2 2 1 2 21 ,lkclkN+ 行列式行列式 () ij ji ij MA + =1称 ij A为 n 阶行列式中对应于元素 ij a的代数余 子式。 n 阶行列式的值定义：( ) + = = 2n,. 1n, 1112121111 11 当 当 nn ij AaAaAa a a 常见的特殊行列式的值： 对角行列式： = n i ii a 1 上（下）三角行列式： = n i ii a 1 次对角行列式：() () = n i ii nn a 1 1 2 1 1 行列式的性质行列式的性质 对调行列式中任意两行或任意两列一次，则行列式的 值改变符号,记号 ji cc 用常数 k 乘行列式中某一行或某一列的全体元素，则 行列式的值等于 k 乘原行列式的值，记号 i kc 把行列式的某一行（列）的全体元素乘常数后加到另 一行（列）的对应元素上，行列式的值不变 行列式经过转置后，其值不变，DDT= 如果行列式中某一行（列）上的元素都可以表示成两 数之和，则 D 等于下列两个行列式之和。 行列式中任意一行（列）的元素与另一行（列）元素 的代数余子式的乘积之和总是等于零。 矩阵矩阵 nm矩阵记做( ) nm ij a 或( ) ij a 同型矩阵：两个矩阵 A、B 的行数相等且列数相等 数量阵：n 阶方阵主对角线上的元素全相等，且其余元 素都是 0 单位阵：数量阵中主对角线上的元素全是 1，记做 n E 对角阵：除主对角线上的元素外，其他元素都是 0 矩阵的运算及其性质矩阵的运算及其性质 1.矩阵的加法：() nm ijij baBA +=+，当0=+BA时，称 B 是 A 的负矩阵，记做 B=-A 2.数乘矩阵：() nm ij aA = 3.矩阵与矩阵相乘：设矩阵( ) lm ij aA =，( ) nl ij aB =，矩阵 A 与 B 的成绩记做 AB，规定 AB 是一个nm矩阵， ( ) nm ij cAB =，其中. 2211 += ljiljijiij bababac 4.方阵的幂：设 n 阶方阵=A，其中 = n a a . 1 ， n bb,., 1 =。 记 = = n i iib ac 1 ，则AcA kk1 = 5.矩阵的转置： ()AA T T =，() T T AA=，() TT T BABA+=+，() TT T ABAB= 对称阵：AAT=，对任意一个矩阵，AAT与 T AA都是对称阵 6.方阵的行列式：AAT=，AA n =，BABAAB= 当0=A时，称 A 为奇异阵，当0A时，称 A 为非奇异 阵 7.方阵的伴随矩阵：EAAAAA= * ， 1 * = n AA 8.方阵的逆矩阵：EAB=或EBA=，称 B 为 A 的逆矩阵， 记做 1 A 定理：方阵可逆的充分必要条件是0A，当 A 可逆时， 1 A是唯一的，且 A A A * 1 = ()AA= 1 1 ，() 1 1 1 =AA ，()() T T AA 1 1 =， 1 1 =AA，() 111 =ABAB 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 如果矩阵 A 经过初等变换后成为 B，则 AB，称矩阵 A 与 B 等价 定理：nm矩阵 A 与 B 等价的充分必要条件是，存在 m 阶可逆阵 P 与 n 阶可逆阵 Q，使得BPAQ= 定理：方阵 A 可逆的充分必要条件是 AE 求逆矩阵：求逆矩阵： 对nn2矩阵()EA做行初等变换，当 A 可逆时，必定有 () ()BEEA，方阵 B 恰是方阵 A 的逆矩阵 矩阵的秩矩阵的秩 如果矩阵 A 至少有一个 r 阶非零子式 r D，且全体 r+1 阶 子式都等于 0，那么称 r D为矩阵 A 的最高阶非零子式，正整 数 r 称为矩阵 A 的秩，记做( )AR 定理：设 A，B 是两个同型矩阵，则 AB 的充分必要条 件是( )( )BRAR= 矩阵的秩的性质： ()( )ARAR T =；( )00=AAR； ( ) T AAR=1，其中，是两个非零列向量 ( )( )()( )( )BRARBARBRAR+,max；()( )( )BRARBAR+ ()( )( )BRARABR,min，当 B 是可逆矩阵时，()( )ARABR= 如果0=AB，那么( )( )nBRAR+，其中 A 是nm矩阵，B 是ln矩阵 向量组的相关性向量组的相关性 如果向量与一组数 m kkk., 21 满足 mm kkk+=. 2211 ， 那么称向量是向量组 m ., 21 的线性组合 如果有一组不全为0的数 m kkk., 21 ， 使0. 2211 =+ mm kkk 那么称向量组 A： m ., 21 线性相关 如果中要求的一组不全为 0 的数 m kkk., 21 不存在，那 么称向量组 A： m ., 21 线性无关 定理 5：给定向量组 A： m ., 21 及与其对应的nm矩阵 A 向量组 A 线性相关的充分必要条件是( )） 时，向量组必定线性相关 定理 6：量组 A： m ., 21 线性相关的充分必要条件是 m ., 21 中至少有一个向量可以用其余向量线性表示 定理7： 如果向量组 m ., 21 线性无关， 而向量组,., 21m 线性相关，那么必定可以由 m ., 21 线性表示，且表示方式 是唯一的。 向量组的最大无关组与秩向量组的最大无关组与秩 给定一个向量组 A，如果在向量组 A 中能选出 r 个向量 r ., 21 满足 r ., 21 线性无关 向量组 A 中任意1+r个向量都线性相关， 那么称向量组 r ., 21 为向量组 A 的最大线性无关向量组，称正整数 r 为向 量组 A 的秩 定理 8：如果向量组 A 由有限个向量构成，且对应的矩 阵为 A，那么向量组的秩=( )AR 如果两个向量组 A 与 B 可以相互线性表示，那么称向量 组 A 与向量组 B 等价 定理 9：如果向量组 A 可以由向量组 B 线性表示，那么 向量组 A 的秩向量组 B 的秩 定理 10：如果向量组 A 与向量组 B 等价，那么他们的秩 相等 定理 11：如果矩阵 A 经过行初等变换成为 B，那么矩阵 A 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价；如果矩阵 A 经过列 初等变换成为 B，那么矩阵 A 的列向量组与矩阵 B 的列向量 组等价。 向量的内积向量的内积 yxT为向量 x 与 y 的内积，记作yx,，即 nn TT yxyxyxxyyxyx+=., 2211 由于0xxT，称xxT为向量 x 的范数（或 x 的模，或 x 的 长度） ，记作x 如果两个向量 x 与 y 的内积为 0，那么称向量 x 与 y 正 交。 如果由非零向量构成的向量组中任意两个向量都正交， 那么称这个向量组为正交向量组。 定理 12：设 m ., 21 是一个正交向量组，则 m ., 21 必定 线性无关。 设 A 是 n 阶方阵，如果 A 满足 EAAT=或 T AA= 1 或 A 的行向量组是正交向量组，且全体 向量都是单位向量或 A 的列向量组是正交向量组，且全体向 量都是单位向量，么称 A 是正交阵。 交阵是，1=A，当 A 与 B 都是正交阵时，AB 也是正交 阵。 线性方程组线性方程组 向量方程bAx=的解称为线性方程组的解向量。 当常数向量 b=0 时，称0=Ax为齐次线性方程组；当常数 向量 b0 时，称bAx=为非齐次线性方程组。 给定齐次线性方程组0=Ax 0=Ax有非零解的充分必要条件是( )nrAR= 0=Ax无非零解的充分必要条件是( )nrAR= 当nm时，0=Ax必定有非零解。 给定非齐次线性方程组bAx=,bAA=